Introducción

Preparar un objeto, realizar una medición sobre él y registrar el resultado constituyen una imagen simplificada de un experimento físico sobre el objeto. Repetir el mismo procedimiento varias veces permite recoger estadísticas (frecuencias relativas) de los resultados registrados. La idea de causalidad estadística expresa entonces la creencia de que esta estadística podría ser aproximada y modelada por una medida de probabilidad en función de la medición y la preparación.

Esta sencilla imagen suele darse como antecedente intuitivo en la formulación de teorías físicas probabilísticas de los objetos, construidas sobre la dualidad estadística entre los conceptos de estados (clases de equivalencia de preparaciones) y observables (clases de equivalencia de mediciones) donde la dualidad viene dada por una función de probabilidad que asigna con cada estado y cada observable una medida de probabilidad que pone de manifiesto las probabilidades de resultado de la medición para este observable en ese estado.

En un enfoque axiomático, se pretende introducir estructuras físicamente plausibles para las colecciones de todos los estados concebibles (preparaciones) y observables (mediciones) de tal manera que la forma de la función de probabilidad pueda ser determinada.

En este trabajo, esbozamos tal enfoque para la mecánica cuántica. En §2, se recuerda brevemente el marco general y las estructuras relevantes del espacio de Hilbert. En §3, se utiliza un teorema de Solér para identificar la estructura ortomodular general con una estructura hilbertiana. Se expone el papel de la simetría oculta en este teorema crucial. Por último, repasamos algunos argumentos que indican que la mecánica cuántica debe formularse en un espacio de Hilbert complejo (§4).

Estructuras básicas

(a) Punto de partida

Sea S y O dos conjuntos no vacíos, los conjuntos de todos los estados y todos los observables de un sistema físico a estudiar. Un observable va unido a un conjunto no vacío Ω y a una sigma-álgebra de subconjuntos de Ω. Dejamos que , o simplemente E, denote un observable. El conjunto Ω se toma para describir los posibles resultados de la medición para el observable, mientras que los elementos de la σ-álgebra se entienden como los conjuntos de prueba dentro de los cuales se cuentan los grupos de resultados. En la mayoría de las aplicaciones, este conjunto es un subconjunto (abierto o cerrado) de la recta real (o del plano) y la σ-álgebra son los correspondientes conjuntos de Borel.

La suposición básica del enfoque seguido aquí es la siguiente: para cada estado α∈S y para cada observable E, existe una medida de probabilidad , que da las probabilidades de resultado de la medición para el observable E en el estado α.

El conjunto S de estados está naturalmente dotado de una estructura convexa y como tal puede ser visto como un subconjunto convexo de un espacio vectorial real. Esta estructura permite distinguir entre los estados puros, los elementos extremos de S, y los estados mixtos, sus elementos no extremos. Dejamos que ex(S) denote el conjunto de estados puros aunque, para empezar, puede estar vacío. Si α=λβ1+(1-λ)β2 es una mezcla de los estados β1,β2, con un peso 0≤λ≤1, entonces, por definición de la estructura convexa de S, p(α,E,X)=λp(β1,E,X)+(1-λ)p(β2,E,X) para cada observable E y un conjunto de valores . Cada par (E,X) define así una función afín S∋α↦p(α,E,X)∈. Decimos que una función afín f:S→ es una función experimental, o efecto, si f(α)=p(α,E,X) para algún par (E,X). Dejamos que E⊂S denote el conjunto de todas las funciones experimentales. Claramente, 0,1∈E y si f∈E, entonces también f⊥=1-f∈E. El orden natural de las funciones S→ da a E la estructura de un conjunto parcialmente ordenado con los límites universales 0,1, y el mapa f↦f⊥ es un antiautomorfismo involutivo. Evidentemente, E no tiene por qué ser una red (con respecto a ≤) y el mapa f↦f⊥ no tiene por qué ser una ortocomplementación. Ocasionalmente, también podemos considerar los estados como funciones sobre E escribiendo α(f)=f(α). Preservan tanto el orden como la involución.

Resulta que en la formulación de axiomas para la teoría el par (S,E) de estados y funciones experimentales es más fácil de manejar que el par de estados y observables. Nótese también que cada f∈E, junto con f⊥∈E, puede entenderse como una medida sí-no (o un observable de dos valores), con f(α)=p(α,E,X) y f⊥(α)=p(α,E,X′) dando las probabilidades para los resultados sí y no, respectivamente.

(b) Caso del espacio de Hilbert

Antes de seguir con la estructura general, recordemos algunos aspectos conocidos de la mecánica cuántica en el espacio de Hilbert. Supongamos que el conjunto S de estados puede identificarse con el conjunto de operadores positivos de traza uno sobre un espacio de Hilbert complejo separable . Entonces cada función experimental f se extiende a un funcional lineal positivo sobre , la clase de traza autoadjunta. Por lo tanto, para cualquier f, existe un único operador positivo unitario acotado 0≤E≤I tal que f(α)=tr para todo α∈S. Sea (E,X) un par para el que f(α)=p(α,E,X)=tr. Como, para cualquier α, el mapa X↦p(α,E,X) es una medida de probabilidad, concluimos que el observable E es una medida de operador positiva normalizada . Aquí, es natural suponer que el conjunto E de todas las funciones experimentales se identifica con el conjunto de operadores de efecto, operadores positivos acotados unitariamente sobre .

Supongamos a continuación que el conjunto de funciones experimentales E coincide con la red de proyección de . En ese caso, cualquier estado puede verse como una medida de probabilidad en . Por el teorema de Gleason, si cualquier medida de probabilidad sobre surge de un único operador de traza positiva y se tiene de nuevo la fórmula de traza para las probabilidades: para cualquier , P(α)=α(P)=tr, donde el estado α se identifica con el elemento de dado por el teorema de Gleason. En este enfoque, es natural suponer que el conjunto S de estados coincide con el conjunto de todas las medidas de probabilidad sobre y, por tanto, , de modo que los observables pueden identificarse con las medidas normalizadas valoradas por proyección .

También se podría partir de la suposición de que el conjunto E de funciones experimentales se identifica con todo el conjunto de operadores de efecto. Entonces, de nuevo, cualquier estado cuando se restringe a su subconjunto puede identificarse con un elemento de , con la fórmula de rastreo dando las probabilidades.

Por último, se podría suponer que y que cualquier estado α:E→ no sólo preserva el orden y la involución, sino que también es parcialmente aditivo (es decir, para todo , si , entonces α(A+B)=α(A)+α(B)) y tiene la siguiente propiedad de continuidad: si (Ai)i∈I es una red creciente en , entonces . Entonces, de nuevo, sin utilizar el teorema de Gleason, cada estado α puede identificarse con un único elemento de y α(E)=tr.

(c) Caso ortomodular

(i) Estructura general

En un enfoque axiomático basado en la dualidad estadística (S,E), la estrategia consiste en plantear supuestos físicamente plausibles sobre las posibilidades de las preparaciones y las mediciones. Tanto el enfoque de Mackey (lógica cuántica) como el de Davies-Lewis (convexidad) comparten este trasfondo común.

Para las preparaciones, una suposición típica se refiere a la existencia de un conjunto suficientemente grande de estados puros (estados de máxima información), por ejemplo, en el sentido de que este conjunto es lo suficientemente grande como para determinar el orden de las funciones experimentales. Otra suposición común es que los estados puros no sólo pueden prepararse, sino también identificarse con mediciones adecuadas de sí-no. Esta suposición ya entrelaza los conjuntos de estados y funciones experimentales, las mediciones sí-no, más allá de la dualidad. Otras suposiciones relativas a la estructura del conjunto E se formulan típicamente como un requisito para la existencia de un subconjunto suficientemente grande L⊂E de mediciones sí-no que califican como mediciones ideales, de primera clase y repetibles.

Desde los trabajos pioneros de Mackey y Davies & Lewis , los tipos de argumentos anteriores se han estudiado ampliamente en la literatura; véanse, por ejemplo, las monografías o nuestro reciente estudio . No repetimos estos argumentos sino que nos limitamos a exponer el conocido resultado final:

• (a) Existe un subconjunto L⊂E de efectos, llamados proposiciones o efectos agudos, que tiene una estructura L=(L,≤,⊥,0,1) de un entramado completo parcialmente ordenado, ortocomplementado, ortomodular, con los límites universales 0 y 1, que es atomístico, separable, tiene la propiedad de cobertura y es irreducible.

• (b) El conjunto S de estados puede verse como un conjunto σ-convexo de medidas de probabilidad sobre L, que tiene un conjunto suficiente ex(S) de estados puros: para cualquier a,b∈L, a≤b si α(a)≤α(b) para todo α∈ex(S).

• (c) Existe una correspondencia biyectiva entre los conjuntos ex(S), los estados puros de S, y At(L), los átomos de L, dada por la proyección del soporte α↦s(α), siendo s(α) el elemento más pequeño para el que α(b)=1,b∈L.

Comentamos aquí sólo las dos propiedades, quizás, de aspecto más técnico: la separabilidad y la irreductibilidad. Cualquier observable E cuyas funciones experimentales asociadas son proposiciones (o efectos agudos) puede verse como σ-homorfismo , siendo el rango una sub-σ-álgebra booleana de L. La separabilidad de L implica que cualquier sub-σ-álgebra booleana de L puede verse como un rango de un observable con el espacio de valores reales . La irreductibilidad de L muestra que la dualidad (S,E) describe un objeto cuántico propio. En efecto, esta propiedad se deduce, por ejemplo, de la suposición de que para cualesquiera dos estados puros α,β∈ex(S), α≠β, existe un tercero γ∈ex(S), α≠γ≠β, que es su superposición (por ejemplo en el sentido de que el soporte de γ está contenido en la unión de los soportes de α y β).

El mapa ⊥, cuando se restringe a L, es, efectivamente, una ortocomplementación y hace que L sea ortomodular; es decir, para cualquier a,b∈L, si a≤b, entonces b=a∨(a∧b⊥). Recordamos que se dice que a y b son mutuamente ortogonales, a⊥b, si a≤b⊥. Son estas estructuras las que permiten definir medidas de probabilidad sobre L. Sea Prob(L) el conjunto de todas las medidas de probabilidad sobre L; es decir, todos los mapas μ:L→ para los que para cualquier secuencia de elementos ortogonales entre sí ai∈L. Por el punto (b), el conjunto S de estados es un subconjunto sigma-convexo de Prob(L), y, por (c), los estados puros están en correspondencia onto uno a uno con los átomos de L. Aunque es obvio, destacamos que el conjunto de estados puede ser un subconjunto propio de todas las medidas de probabilidad sobre L.

Se sabe que el conjunto L de proposiciones con las propiedades del punto (a) anterior admite una coordinación vectorial-espacial.

(ii) Realización del espacio ortomodular

Sea (V,K,*,f) un espacio hermitiano, es decir, V es un espacio vectorial (izquierdo) sobre un anillo de división K, el mapa K∋λ↦λ*∈K es un antiautomorfismo involutivo y el mapa V ×V ∋(u,v)↦f(u,v)∈K es una forma hermitiana (no singular).

Se dice que un subespacio M⊂V es f-cerrado si M=M⊥⊥, donde

El conjunto Lf(V) de todos los subespacios f-cerrados de V forma un entramado ortocomplementado completo irreducible con respecto a la inclusión del subconjunto ⊆ y al mapa M↦M⊥. También es atomística y tiene la propiedad de cobertura. Contiene todos los subespacios de dimensión finita, y los subespacios unidimensionales ={λv | λ∈K},v≠0, son los átomos de Lf(V). Se sabe que el entramado Lf(V) es ortomodular exactamente cuando el espacio (V,K,*,f) es ortomodular ; es decir, si para cualquier M∈Lf(V),

La afirmación inversa es una colección de resultados fundamentales de la geometría proyectiva. Las pruebas detalladas se dan en los libros de Varadarajan y Maeda & Maeda . Este resultado supone que la longitud de la red L, es decir, la longitud de una cadena máxima en L, es al menos 4, lo que significa que el espacio vectorial V es al menos tridimensional.

Teorema 2.1

Si la longitud de es al menos 4, entonces existe un espacio ortomodular (V,K,*,f) tal que el entramadode los subespacios cerrados por f de V es orto-isomorfo a, en definitiva,.

El conjunto S de estados puede identificarse ahora como un subconjunto de todas las medidas de probabilidad sobre Lf(V), es decir S⊂Prob(Lf(V)); cada α∈S tiene su soporte s(α)∈Lf(V) y cada M∈Lf(V) es un soporte de algún α∈S. Además, los estados puros α∈ex(S) están en correspondencia onto uno a uno con los átomos ∈Lf(V), y están determinados unívocamente por sus valores en los átomos, es decir, por los números α()∈. Claramente, si (V,K,*,f) es un espacio ortomodular clásico es decir, un espacio de Hilbert sobre entonces f es producto interior y por el teorema de Gleason

para cualquier v′∈,v′≠0,u′∈,u′≠0. En este caso, el conjunto Prob(Lf(V)) de todas las medidas de probabilidad sobre Lf(V) coincide con el conjunto de estados S del objeto, porque ahora.

Las estructuras generales anteriores relativas al par (S,L), L⊂E, implican que el espacio vectorial ortomodular V debe admitir un conjunto rico de medidas de probabilidad sobre Lf(V). En el caso de dimensiones finitas, esto no es suficiente para que el espacio sea un espacio de Hilbert. En efecto, si , , , con el mapa identidad como involución , entonces es un espacio ortomodular. El conjunto es el conjunto de todos los subespacios de y para cada uno la fórmula anterior define una medida de probabilidad sobre . Si denota el casco σ-convexo de todas esas medidas de probabilidad en , entonces el par comparte todas las propiedades enumeradas en los puntos anteriores (a)-(c) aunque no es un espacio de Hilbert. En este caso, es un subconjunto propio de . (Para más detalles, véase .) También hay espacios ortomodulares de dimensión infinita que no son espacios de Hilbert pero que admiten conjuntos ricos de medidas de probabilidad . Sin embargo, sigue siendo una cuestión abierta si un espacio ortomodular de dimensión infinita, con las propiedades (b) y (c), debe o no ser un espacio de Hilbert.

Un teorema de Solér caracteriza los espacios de Hilbert entre los espacios ortomodulares de dimensión infinita con una propiedad que está, al menos, parcialmente abierta a una justificación operativa. Pasamos a esa cuestión a continuación.

Teorema de Solér y simetría

(a) Teorema de Solér

Consideremos de nuevo la dualidad estadística (S,E) con las propiedades (a)-(c) de §2c(i). Por la separabilidad de L, cualquier familia de elementos mutuamente ortogonales en L es a lo sumo contablemente infinita. Es natural suponer que tales secuencias contablemente infinitas existen; por ejemplo, en un caso muy natural en el que el objeto físico a considerar puede ser localizado en un espacio euclidiano, esta condición está garantizada. Así pues, suponemos que existe al menos una secuencia infinita de átomos mutuamente ortogonales en L. En este caso, el espacio ortomodular (V,K,*,f) asociado a L es de dimensión infinita y existe al menos una secuencia infinita de vectores (ei)⊂V que es ortogonal; es decir, f(ei,ej)=0 para todo i≠j. El teorema de Solér caracteriza los espacios de Hilbert entre tales espacios ortomodulares.

Teorema 3.1

Sea (V,K,*,f) un espacio ortomodular de dimensión infinita. Si existe una secuencia ortogonal infinitacon la propiedad

3.1

entonces K es(números reales),(números complejos) o(cuaterniones), y (V,K,*,f) es el espacio de Hilbert correspondiente. Para, la involución * es el mapa de identidad; para, es la conjugación compleja; y para, es la conjugación cuaterniónica.

La «condición de norma» adicional (3.1) parece bastante inocente, pero en realidad es una condición muy fuerte, como puede entenderse a partir del trabajo de Keller . Aunque esta propiedad se expresa en términos de la forma f y no está directamente relacionada con las propiedades de la dualidad, tiene una conexión con ella a través de la teoría de la simetría.

(b) Simetría

Hay varias formulaciones naturales de la noción de simetría en la mecánica cuántica y todas resultan ser equivalentes (por ejemplo ). Esto sigue siendo válido también para las dualidades estadísticas con las propiedades (a)-(c) de §2c(i). Con vistas a aplicar la teoría de la simetría en el contexto del teorema 3.1, adoptamos la siguiente definición de la noción de simetría: una simetría es un mapeo biyectivo ℓ:At(L)→At(L) que es tal que para cualquier p,q∈At(L), los átomos p y q son mutuamente ortogonales si y sólo si sus imágenes ℓ(p) y ℓ(q) son tales. Recordemos que para Lf(V), los átomos y son ortogonales exactamente cuando f(v′,u′)=0 para algunos y, por tanto, todos los vectores no nulos v′∈, u′∈. Como los átomos y los estados puros están en correspondencia onto uno a uno, podemos considerar igualmente una simetría como una biyección en ex(S), entendiendo que la ortogonalidad mutua de los estados puros significa la ortogonalidad mutua de los átomos correspondientes, los soportes de los estados puros.

Al igual que en la teoría del espacio de Hilbert, cualquier simetría ℓ puede implementarse mediante un mapa S que actúe sobre el espacio vectorial subyacente V . En efecto, extendiendo una simetría ℓ:At(L)→At(L) a una proyectividad de (V,K,*,f), es decir, una biyección preservadora del orden sobre el entramado de todos los subespacios de V (por ejemplo ), el primer teorema de representación fundamental de la geometría proyectiva junto con la versión de dimensión infinita del teorema de Birkhoff-von Neumann da el siguiente resultado.

Teorema 3.2

Para cualquier simetría, existe un mapa biyectivo g-lineal S:V →V que preserva la ortogonalidad, tal que para cualquier v∈V , v≠0, ℓ()={Sv′ | v′∈}. Si T es otro mapa biyectivo h-lineal V →V que induce la misma simetría, entonces existe un λ∈K tal que Sv=λTv para cualquier v∈V . Además, existe un ρ∈Cent(K), ρ≠0, ρ=ρ*, tal que

3.2

para todo u,v∈V .

Recordamos que la noción de mapa g-lineal S:V →V significa que S es aditivo en V , g:K→K es un isomorfismo y S(λv)=g(λ)Sv para todo v∈V,λ∈K.

Lema 3.3

Sea , dos átomos mutuamente ortogonales enLf(V). Si hay vectores no nulosx′∈ yy′∈ tales que

entonces hay una simetría ℓ que intercambia los átomos y , es decir ℓ()= y ℓ()= y tiene una superposición de ellos como punto fijo, es decir hay un átomo ≤∨ tal que ℓ()=.

Este lema, demostrado en , sugiere que para que una dualidad estadística (S,E) con las propiedades (a)-(c) de §2c(i) tenga una realización en el espacio de Hilbert el conjunto de simetrías debe ser suficientemente rico. Vale la pena subrayar que la noción de superposición de estados puros, que también está detrás de la irreductibilidad de L, juega un papel en este lema. Además, es interesante recordar que un objeto cuántico es elemental respecto a un grupo de simetría G si existe un homomorfismo de grupo definido sobre G y que toma valores en el conjunto Sym(L) de todas las simetrías de At(L) tal que para cualquier estado puro α∈ex(S) el conjunto {ℓg(α) | g∈G} es completo en el sentido de las superposiciones, es decir, cualquier otro estado puro β∈ex(S) puede expresarse como una superposición de algunos estados puros ℓg(α), g∈G .

Supongamos ahora que para dos átomos mutuamente ortogonales y existe una simetría ℓ tal que ℓ()= y ℓ()= para algún ≤∨. Sea S,g,ρ un triple que implementa ℓ según el teorema 3.2. Para cualquier y′∈, existe un x′∈ tal que Sx′=y′. Entonces, f(y′,y′)=f(Sx′,Sx′)=g(ρ)g(f(x′,x′)). Suponiendo que la forma f es tal que para cada v∈V el número f(v,v) es un elemento conmutativo de K, es decir f(v,v)∈Cent(K), entonces, para cualquier z′∈, Sz′=λz′ para algún λ∈K, y por tanto λλ*f(z′,z′)=f(λz′,λz′)=g(ρ)g(f(z′,z′)). Esta ecuación da g(ρ)=λλ* siempre que g(f(z′,z′))=f(z′,z′). Entonces también f(y′,y′)=f(λx′,λx′), que es lo que se necesita en el teorema 3.

Las observaciones anteriores muestran que si el conjunto de simetrías es suficientemente abundante en el sentido de que para cada átomo ortogonal por pares existe una simetría que intercambia los átomos y mantiene una superposición de ellos como punto fijo y si la forma f es suficientemente regular en el sentido de que para cada v∈V , f(v,v)∈Cent(K) y g(f(v,v))=f(v,v) para cualquier automorfismo g de K, entonces se cumplen las condiciones del teorema de Solér, y por tanto el espacio ortomodular de dimensión infinita (V,f,*,K) que modela una dualidad estadística (S,E), con las propiedades (a)-(c) de §2c(i), es un espacio de Hilbert sobre o .

Concluimos que hasta la cuestión de la regularidad de la forma se entiende bien la necesidad de una realización en un espacio de Hilbert de dimensión infinita de la dualidad estadística (S,E) de un sistema cuántico.

El caso de

Nos queda la cuestión de la elección del campo numérico. No podemos dar una respuesta definitiva a esta cuestión, pero queremos señalar algunos resultados, básicamente conocidos, que, tomados en conjunto, apoyan la elección del campo complejo como el de la mecánica cuántica.

Es bien sabido que las estructuras básicas de la mecánica cuántica son igualmente válidas en cada uno de los tres casos de un espacio de Hilbert de dimensión infinita sobre o . Por el teorema de Gleason, teorema 4.23, los estados del sistema pueden identificarse con los operadores positivos de traza unitaria y los observables como las medidas de operadores positivos normalizados , con la fórmula de traza tr que da las probabilidades de resultado de la medición. Además, los observables agudos (valorados por la proyección) están en correspondencia uno a uno con los operadores autoadjuntos , teorema 4.11; para un estudio sistemático de la teoría de operadores en espacios de Hilbert cuaterniónicos (por ejemplo). Además, con el teorema de Solér, el teorema 3.2 se reduce al teorema de Wigner , teorema 4.29.

Es igualmente conocido que los tres casos presentan algunas diferencias notables. Sólo en el caso complejo los grupos unitarios uniparamétricos corresponden, mediante el teorema de Stone, a los operadores autoadjuntos A que actúan en . En los casos real y cuaterniónico, esto implica cambios importantes en la estructura de los observables definidos en términos de sus propiedades de simetría características (p. ej. , cap. 22, , cap. 18, ). Recordamos también que hay transformaciones de simetría que sólo pueden realizarse en el caso complejo (por ejemplo, ). Además, la derivabilidad de las relaciones de incertidumbre de la preparación del tipo Heisenberg-Kennard-Robertson y la operación de la inversión del tiempo parecen requerir números complejos (por ejemplo , p. 66, , , pp. 47-49). En particular, parece que una interpretación sistemática de la mecánica cuántica en un espacio real de Hilbert requiere efectivamente su incrustación en uno complejo. Por lo tanto, aunque no es una necesidad lógica, se podría aplicar la navaja de Occam para dejar de lado el caso real como una complicación innecesaria cuando se compara con la formulación de la mecánica cuántica en un espacio de Hilbert complejo.

¿Y los cuaterniones? A la vista de la extensa monografía de Adler Quaternionic Quantum Mechanics and Quantum Fields , podría parecer fuera de lugar cuestionar esta posibilidad. Sin embargo, desde un punto de vista matemático, y también de acuerdo con , se podría señalar que la mayoría de los resultados importantes de la teoría de operadores en los espacios de Hilbert cuaterniónicos se obtienen mediante una reducción al caso complejo utilizando la técnica de las «rebanadas» como se aplica, por ejemplo, en . Por lo tanto, al igual que en el caso real, la navaja de Occam también podría utilizarse para excluir los cuaterniones. Sin embargo, existe un problema fundamental con la mecánica cuántica cuaterniónica, el problema de los sistemas compuestos. Discutiremos brevemente este punto a continuación.

La teoría de los sistemas compuestos es una de las partes más esenciales de la mecánica cuántica, tanto desde el punto de vista fundacional como práctico. Por tanto, sean (S,L,E), (S1,L1,E1) y (S2,L2,E2) las descripciones estadísticas de tres sistemas cuánticos propios y , respectivamente, y dejemos que , , i=1,2, den sus realizaciones en el espacio de Hilbert, siendo K,Ki una de o en cada caso.

Suponga que es una composición de y ; es decir, y son subsistemas de y está compuesta por ellos y por nada más. Esta idea conduce a algunos requisitos obvios relativos a las descripciones estadísticas de los tres sistemas (por ejemplo, el capítulo 24). En particular, debe haber morfismos unitales inyectivos (mapas de reconocimiento) hi:Li→L tales que para cada a1∈L1,a2∈L2, las proposiciones h1(a1),h2(a2)∈L sean compatibles (medibles conjuntamente), y para cualesquiera dos átomos (estados puros) p1∈At(L1) y p2∈At(L2), h1(p1)∧h2(p2) sea un átomo (estados puros) de L.

Analógicamente con el teorema 3.2, se puede demostrar que el mapa

puede, en el presente contexto, ser implementado por un mapa (g1,g2)-bilinealtal que

(véase , teorema 2.22, o , teorema 9 y , teorema 24.4.1). En particular, se deduce que los morfismos gi:Ki→K conmutan con las respectivas involuciones, es decir, para cada λi∈Ki, así como entre sí, es decir g1(λ1)g2(λ2)=g2(λ2)g1(λ1) para todo λi∈Ki.

Consideremos ahora el caso cuaterniónico; es decir, supongamos que (y por tanto también ). Como cualquier automorfismo de es interno, se tiene ahora que ambas gi son de la forma para alguna . Pero no hay ninguna , con |c1|=|c2|=1, para la cual

pueda sostenerse para toda. Esto nos lleva a la conclusión de que la mecánica cuántica sobre espacios de Hilbert cuaterniónicos es incapaz de describir sistemas compuestos tal y como se formaliza en términos de los mapas de reconocimiento descritos anteriormente. Evidentemente, este resultado, debido a , está relacionado con el problema del producto tensorial de los espacios de Hilbert cuaterniónicos (por ejemplo ).

Por otra parte, si , entonces también , teorema 12, en cuyo caso las funciones g1,g2 son la identidad o las conjugaciones complejas. Los cuatro casos (g1,g2) conducen a las cuatro soluciones del producto tensorial: , , y , siendo el espacio dual de (véase o , cap. 24). Aunque los espacios de Hilbert subyacentes son isomorfos sólo en los pares y , las lógicas (retículos de proyección) son isomorfas en cada caso. Por lo tanto, las consideramos equivalentes, y elegimos utilizar , apareciendo así las otras opciones más bien como complicaciones innecesarias.

Conclusión

Usando el marco general de las teorías físicas probabilísticas, uno puede plantear suposiciones físicamente plausibles sobre las posibilidades de las preparaciones y mediciones en un sistema físico de manera que la teoría resultante toma esencialmente la forma de la mecánica cuántica en un espacio de Hilbert de dimensión infinita sobre los números reales, los números complejos o los cuaterniones. En cada caso, las características básicas de la mecánica cuántica siguen siendo válidas: los estados como operadores de traza positiva, los observables como medidas de operadores positivos normalizados y la regla de Born (la fórmula de la traza) que da las probabilidades del resultado de la medición. En los casos reales y cuaterniónicos, sin embargo, la definición de los observables concretos en términos de sus propiedades de simetría naturales se convierte en algo complicado. Estas complicaciones pueden manejarse de todos modos, en el caso real incrustando el espacio de Hilbert real en uno complejo, en el caso cuaterniónico reduciendo la teoría a la teoría compleja. Por lo tanto, parece que ambas opciones implican sólo complicaciones innecesarias en comparación con la teoría compleja. Además, la mecánica cuántica cuaterniónica adolece de ser incapaz de describir sistemas compuestos.

Accesibilidad a los datos

Este artículo no tiene datos adicionales.

Contribuciones de los autores

Este artículo es un subproducto de una colaboración a largo plazo entre los autores. Los autores tienen contribuciones iguales mutuamente entrelazadas.

Intereses en competencia

Declaramos que no tenemos intereses en competencia.

Financiación

No hemos recibido financiación para este estudio.

Notas a pie de página

Una contribución de 15 a un número temático ‘Second quantum revolution: foundational questions’.

Dedicamos este artículo al profesor Maciej Ma̧czynski con motivo de su 80 cumpleaños.