Homomorphism, (Greek homoios morphe, “similar form” から), 2つの群、2つの環、2つの場など、2つの代数系のメンバー（要素）間の特別な対応関係(res correspondence). 2つの同型システムは同じ基本構造を持ち、その要素や演算は全く異なるように見えるが、一方のシステムに関する結果は他方のシステムにも同様に適用されることが多い。 したがって、新しい系が既知の系に同型であることを示すことができれば、一方の既知の特徴を他方に適用することができ、それによって新しい系の分析を単純化することができる。 例えば、GとHをグループとする。 Gの要素はg、g′、…と表し、それらは何らかの操作⊕を受ける。 (この記号は乗算のような演算と考えられるかもしれないが、回転など算術以外の演算を示すこともある)。 同様に、Hの要素はh, h′,…, で表され、それらは何らかの操作⊗を受ける。 GからHへの同型性とは、Gのすべての要素とHのいくつかの要素との間の対応g → hであり、次の性質を持つ：g → hおよびg → h′ ならば、g ⊕ g → h ⊗ h′ である。 つまり、Gの要素の積に対応するHの要素は、Gの2つの要素に対応するHの要素の、同じ順序の積である。よりコンパクトに表現すると、積の「像」は像の積、つまり対応関係によって演算が保存される。

2つの代数系のメンバー間の対応は、GからHへの関数fとして書くことができ、fをGからHに「写像」するものとして話すことができる。 fが群Gから群Hへの同型であるという条件は、f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′).

同型性は写像fに条件を課す。eがGの恒等式の場合、g ⊕ e = gなので f(g ⊕ e) = f(g) である。 さらに、fは同相なので、f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e) となり、f(g) = f(g) ⊗ f(e) である。 このことから、群の打ち消し法則により、f(e)はHの恒等式に等しいことがわかる。このように、同型写像は一方の群の一意な恒等式要素を他方の群の一意な恒等式要素に写像する。 同様に、同相作用は一方の群の要素gの逆数を要素f(g)の逆数に写像する。 このため、同型写像は構造保存写像と呼ばれる。

特殊なタイプの同相には、独自の名前がついています。 GからHへの1対1の同相を単相といい、「上」つまりHのすべての要素をカバーする同相をエピモルフィズムといいます。 特に重要な同型は、GからHへの同型が一対一であり、かつ上である同型である。 この場合、GとHは本質的に同じ系であり、要素の名前だけが異なる。 このように、同型性は代数系の分類や列挙に有用であり、異なる系がどの程度密接に関連しているかを識別することができるからである

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