Omorfismo, (dal greco homoios morphe, “forma simile”), una speciale corrispondenza tra i membri (elementi) di due sistemi algebrici, come due gruppi, due anelli o due campi. Due sistemi omomorfi hanno la stessa struttura di base e, mentre i loro elementi e le loro operazioni possono apparire completamente diversi, i risultati su un sistema spesso si applicano anche all’altro sistema. Così, se si può dimostrare che un nuovo sistema è omomorfo a un sistema noto, alcune caratteristiche note di uno possono essere applicate all’altro, semplificando così l’analisi del nuovo sistema.

In un omomorfismo, elementi corrispondenti di due sistemi si comportano in modo molto simile in combinazione con altri elementi corrispondenti. Per esempio, che G e H siano gruppi. Gli elementi di G sono indicati con g, g′,…, e sono soggetti a qualche operazione ⊕. (Anche se il simbolo può essere pensato come una qualche operazione come la moltiplicazione, il simbolo può altrettanto bene indicare la rotazione o qualche altra operazione non aritmetica). Allo stesso modo, gli elementi di H sono indicati con h, h′,…, e sono soggetti a qualche operazione ⊗. Un omomorfismo da G a H è una corrispondenza g → h tra tutti gli elementi di G e alcuni elementi di H che ha la seguente proprietà: se g → h e g′ → h′, allora g ⊕ g′ → h ⊗ h′. In altre parole, l’elemento di H corrispondente a un prodotto di elementi in G è il prodotto, nello stesso ordine, degli elementi di H corrispondenti ai due elementi in G. Espresso in modo più compatto, l'”immagine” del prodotto è il prodotto delle immagini, o la corrispondenza conserva l’operazione.

Una corrispondenza tra membri di due sistemi algebrici può essere scritta come una funzione f da G a H, e si parla di f come “mappatura” di G a H. La condizione che f sia un omomorfismo del gruppo G al gruppo H può essere espressa come il requisito che f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′).

Gli omorfismi impongono condizioni su un mapping f: se e è l’identità di G, allora g ⊕ e = g, quindi f(g ⊕ e) = f(g). Inoltre, poiché f è un omomorfismo, f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e), quindi f(g) = f(g) ⊗ f(e). Per le leggi di cancellazione dei gruppi, questo implica che f(e) è uguale all’identità in H. Così, gli omomorfismi mappano l’unico elemento identitario di un gruppo all’unico elemento identitario dell’altro gruppo. Allo stesso modo, gli omomorfismi mappano l’inverso di un elemento g in un gruppo all’inverso dell’elemento f(g). Questo è il motivo per cui gli omomorfismi sono chiamati mappe che conservano la struttura.

Tipi speciali di omomorfismi hanno i loro nomi. Un omomorfismo uno-a-uno da G a H è chiamato monomorfismo, e un omomorfismo che è “onto”, o copre ogni elemento di H, è chiamato epimorfismo. Un omomorfismo particolarmente importante è un isomorfismo, in cui l’omomorfismo da G a H è sia uno-a-uno che onto. In quest’ultimo caso, G e H sono essenzialmente lo stesso sistema e differiscono solo nei nomi dei loro elementi. Quindi, gli omomorfismi sono utili per classificare ed enumerare i sistemi algebrici, poiché permettono di identificare quanto strettamente siano correlati sistemi diversi.