Electrodinámica cuánticaEditar

Hasta la llegada de la mecánica cuántica, el único ejemplo bien conocido de simetría gauge era el del electromagnetismo, y el significado general del concepto no se comprendía del todo. Por ejemplo, no estaba claro si eran los campos E y B o los potenciales V y A las cantidades fundamentales; si eran los primeros, entonces las transformaciones gauge podían considerarse nada más que un truco matemático.

Experimento de Aharonov-BohmEditar

En la mecánica cuántica, una partícula como un electrón se describe también como una onda. Por ejemplo, si se realiza el experimento de la doble rendija con electrones, se observa un patrón de interferencia ondulatorio. El electrón tiene la mayor probabilidad de ser detectado en los lugares donde las partes de la onda que pasan por las dos rendijas están en fase entre sí, lo que da lugar a una interferencia constructiva. La frecuencia de la onda del electrón está relacionada con la energía cinética de una partícula individual del electrón a través de la relación cuántica-mecánica E = hf. Si no hay campos eléctricos o magnéticos presentes en este experimento, entonces la energía del electrón es constante y, por ejemplo, habrá una alta probabilidad de detectar el electrón a lo largo del eje central del experimento, donde por simetría las dos partes de la onda están en fase.

Pero supongamos ahora que los electrones en el experimento están sujetos a campos eléctricos o magnéticos. Por ejemplo, si se impusiera un campo eléctrico en un lado del eje pero no en el otro, los resultados del experimento se verían afectados. La parte de la onda del electrón que pasa por ese lado oscila a una velocidad diferente, ya que a su energía se le ha añadido -eV, donde -e es la carga del electrón y V el potencial eléctrico. Los resultados del experimento serán diferentes, porque las relaciones de fase entre las dos partes de la onda del electrón han cambiado, y por lo tanto los lugares de interferencia constructiva y destructiva se desplazarán hacia un lado u otro. Lo que ocurre aquí es el potencial eléctrico, no el campo eléctrico, y esto es una manifestación del hecho de que son los potenciales y no los campos los que tienen una importancia fundamental en la mecánica cuántica.

Explicación con potencialesEditar

Incluso es posible tener casos en los que los resultados de un experimento difieren cuando se cambian los potenciales, incluso si ninguna partícula cargada se expone a un campo diferente. Un ejemplo de ello es el efecto Aharonov-Bohm, mostrado en la figura. En este ejemplo, el encendido del solenoide sólo provoca la existencia de un campo magnético B dentro del solenoide. Pero el solenoide se ha colocado de forma que el electrón no puede atravesar su interior. Si uno creyera que los campos son las magnitudes fundamentales, entonces esperaría que los resultados del experimento no cambiaran. En realidad, los resultados son diferentes, porque al encender el solenoide se modificó el potencial vectorial A en la región que sí atraviesan los electrones. Ahora que se ha establecido que son los potenciales V y A los que son fundamentales, y no los campos E y B, podemos ver que las transformaciones gauge, que cambian V y A, tienen un significado físico real, en lugar de ser meros artefactos matemáticos.

Invariancia gauge: los resultados de los experimentos son independientes de la elección del gauge para los potencialesEditar

Nótese que en estos experimentos, la única cantidad que afecta al resultado es la diferencia de fase entre las dos partes de la onda del electrón. Supongamos que imaginamos las dos partes de la onda de electrones como pequeños relojes, cada uno con una sola manecilla que barre en círculo, llevando la cuenta de su propia fase. Aunque esta caricatura ignora algunos detalles técnicos, conserva los fenómenos físicos que son importantes aquí. Si ambos relojes se aceleran en la misma medida, la relación de fase entre ellos no cambia, y los resultados de los experimentos son los mismos. No sólo eso, sino que ni siquiera es necesario cambiar la velocidad de cada reloj en una cantidad fija. Podríamos cambiar el ángulo de la aguja de cada reloj en una cantidad variable θ, donde θ podría depender tanto de la posición en el espacio como del tiempo. Esto no tendría ningún efecto sobre el resultado del experimento, ya que la observación final de la ubicación del electrón se produce en un único lugar y tiempo, de modo que el desfase en el «reloj» de cada electrón sería el mismo, y los dos efectos se anularían. Este es otro ejemplo de transformación gauge: es local, y no cambia los resultados de los experimentos.

ResumenEditar

En resumen, la simetría gauge alcanza toda su importancia en el contexto de la mecánica cuántica. En la aplicación de la mecánica cuántica al electromagnetismo, es decir, la electrodinámica cuántica, la simetría gauge se aplica tanto a las ondas electromagnéticas como a las ondas electrónicas. De hecho, estas dos simetrías gauge están íntimamente relacionadas. Si se aplica una transformación gauge θ a las ondas de los electrones, por ejemplo, entonces hay que aplicar también una transformación correspondiente a los potenciales que describen las ondas electromagnéticas. La simetría gauge es necesaria para que la electrodinámica cuántica sea una teoría renormalizable, es decir, una en la que las predicciones calculadas de todas las cantidades físicamente medibles son finitas.

Tipos de simetrías gaugeEditar

La descripción de los electrones en la subsección anterior como pequeños relojes es, en efecto, una declaración de las reglas matemáticas según las cuales las fases de los electrones deben sumarse y restarse: deben tratarse como números ordinarios, excepto que en el caso de que el resultado del cálculo caiga fuera del rango de 0≤θ<360°, lo obligamos a «envolverse» en el rango permitido, que cubre un círculo. Otra forma de decirlo es que un ángulo de fase de, por ejemplo, 5° se considera completamente equivalente a un ángulo de 365°. Los experimentos han verificado esta afirmación comprobable sobre los patrones de interferencia formados por las ondas electrónicas. Excepto por la propiedad «envolvente», las propiedades algebraicas de esta estructura matemática son exactamente las mismas que las de los números reales ordinarios.

En la terminología matemática, las fases de los electrones forman un grupo abeliano bajo adición, llamado grupo del círculo o U(1). «Abeliano» significa que la adición conmuta, de modo que θ + φ = φ + θ. Grupo significa que la adición se asocia y tiene un elemento de identidad, a saber, «0». Además, para cada fase existe un inverso tal que la suma de una fase y su inverso es 0. Otros ejemplos de grupos abelianos son los enteros bajo adición, 0 y negación, y las fracciones no nulas bajo producto, 1 y recíproco.

Como forma de visualizar la elección de un calibre, considere si es posible saber si un cilindro ha sido retorcido. Si el cilindro no tiene protuberancias, marcas o arañazos, no podemos saberlo. Sin embargo, podríamos dibujar una curva arbitraria a lo largo del cilindro, definida por alguna función θ(x), donde x mide la distancia a lo largo del eje del cilindro. Una vez hecha esta elección arbitraria (la elección del gauge), es posible detectarla si alguien tuerce el cilindro más adelante.

En 1954, Chen Ning Yang y Robert Mills propusieron generalizar estas ideas a los grupos no conmutativos. Un grupo gauge no conmutativo puede describir un campo que, a diferencia del campo electromagnético, interactúa consigo mismo. Por ejemplo, la relatividad general afirma que los campos gravitatorios tienen energía, y la relatividad especial concluye que la energía es equivalente a la masa. Por tanto, un campo gravitatorio induce otro campo gravitatorio. Las fuerzas nucleares también tienen esta propiedad de autointeracción.

Bosones gaugeEditar

Sorprendentemente, la simetría gauge puede dar una explicación más profunda de la existencia de interacciones, como las interacciones eléctrica y nuclear. Esto surge de un tipo de simetría gauge relacionada con el hecho de que todas las partículas de un tipo determinado son experimentalmente indistinguibles entre sí. Imaginemos que Alicia y Betty son gemelas idénticas, etiquetadas al nacer con brazaletes que dicen A y B. Como las niñas son idénticas, nadie podría saber si han sido cambiadas al nacer; las etiquetas A y B son arbitrarias y pueden intercambiarse. Este intercambio permanente de sus identidades es como una simetría gauge global. También existe una simetría gauge local correspondiente, que describe el hecho de que, de un momento a otro, Alicia y Betty podrían intercambiar sus papeles mientras nadie mira, y nadie podría saberlo. Si observamos que el jarrón favorito de mamá está roto, sólo podemos inferir que la culpa es de una de las gemelas, pero no podemos saber si la culpa es 100% de Alice y 0% de Betty, o viceversa. Si Alice y Betty son, de hecho, partículas mecánicas cuánticas en lugar de personas, entonces también tienen propiedades ondulatorias, incluida la propiedad de superposición, que permite sumar, restar y mezclar ondas de forma arbitraria. De ello se deduce que ni siquiera estamos limitados a intercambios completos de identidad. Por ejemplo, si observamos que existe una cierta cantidad de energía en un lugar determinado del espacio, no hay ningún experimento que pueda decirnos si esa energía es 100% de A y 0% de B, 0% de A y 100% de B, o 20% de A y 80% de B, o alguna otra mezcla. El hecho de que la simetría sea local significa que ni siquiera podemos contar con que estas proporciones se mantengan fijas mientras las partículas se propagan por el espacio. Los detalles de cómo se representa esto matemáticamente dependen de cuestiones técnicas relacionadas con los espines de las partículas, pero para nuestros propósitos actuales consideramos una partícula sin espín, para la que resulta que la mezcla puede especificarse mediante alguna elección arbitraria de la galga θ(x), donde un ángulo θ = 0° representa el 100% de A y el 0% de B, θ = 90° significa el 0% de A y el 100% de B, y los ángulos intermedios representan mezclas.

De acuerdo con los principios de la mecánica cuántica, las partículas no tienen realmente trayectorias a través del espacio. El movimiento sólo puede describirse en términos de ondas, y el momento p de una partícula individual está relacionado con su longitud de onda λ por p = h/λ. En términos de mediciones empíricas, la longitud de onda sólo puede determinarse observando un cambio en la onda entre un punto del espacio y otro punto cercano (matemáticamente, por diferenciación). Una onda con una longitud de onda más corta oscila más rápidamente y, por tanto, cambia más rápidamente entre puntos cercanos. Supongamos ahora que fijamos arbitrariamente un indicador en un punto del espacio, diciendo que la energía en ese lugar es un 20% de A y un 80% de B. A continuación, medimos las dos ondas en otro punto cercano para determinar sus longitudes de onda. Pero hay dos razones completamente diferentes por las que las ondas podrían haber cambiado. Podrían haber cambiado porque estaban oscilando con una determinada longitud de onda, o podrían haber cambiado porque la función de calibre cambió de una mezcla 20-80 a, digamos, 21-79. Si ignoramos la segunda posibilidad, la teoría resultante no funciona; aparecerán extrañas discrepancias en el momento, violando el principio de conservación del momento. Hay que cambiar algo en la teoría.

De nuevo hay cuestiones técnicas relacionadas con el espín, pero en varios casos importantes, incluyendo las partículas cargadas eléctricamente y las partículas que interactúan a través de las fuerzas nucleares, la solución al problema es imputar realidad física a la función gauge θ(x). Decimos que si la función θ oscila, representa un nuevo tipo de onda cuántica-mecánica, y que esta nueva onda tiene su propio momento p = h/λ, lo que resulta ser un parche para las discrepancias que de otro modo habrían roto la conservación del momento. En el contexto del electromagnetismo, las partículas A y B serían partículas cargadas, como los electrones, y la onda mecánica cuántica representada por θ sería el campo electromagnético. (Aquí ignoramos las cuestiones técnicas que plantea el hecho de que los electrones tienen realmente espín 1/2, no espín cero. Esta simplificación excesiva es la razón por la que el campo gauge θ resulta ser un escalar, mientras que el campo electromagnético se representa en realidad por un vector formado por V y A). El resultado es que tenemos una explicación para la presencia de interacciones electromagnéticas: si intentamos construir una teoría gauge-simétrica de partículas idénticas que no interactúan, el resultado no es autoconsistente, y sólo se puede reparar añadiendo campos eléctricos y magnéticos que hagan que las partículas interactúen.

Aunque la función θ(x) describe una onda, las leyes de la mecánica cuántica requieren que también tenga propiedades de partícula. En el caso del electromagnetismo, la partícula correspondiente a las ondas electromagnéticas es el fotón. En general, estas partículas se denominan bosones gauge, donde el término «bosón» se refiere a una partícula con espín entero. En las versiones más simples de la teoría, los bosones de gauge no tienen masa, pero también es posible construir versiones en las que tienen masa, como es el caso de los bosones de gauge que transmiten las fuerzas de desintegración nuclear.