Homotopía, en matemáticas, forma de clasificar las regiones geométricas mediante el estudio de los diferentes tipos de trayectorias que se pueden trazar en la región. Dos trayectorias con puntos finales comunes se llaman homotópicas si una puede deformarse continuamente en la otra dejando fijos los puntos finales y permaneciendo dentro de su región definida. En la parte A de la figura, la región sombreada tiene un agujero; f y g son trayectorias homotópicas, pero g′ no es homotópica a f o g ya que g′ no puede deformarse en f o g sin pasar por el agujero y salir de la región.

Más formalmente, la homotopía consiste en definir un camino mapeando puntos del intervalo de 0 a 1 a puntos de la región de forma continua, es decir, de forma que los puntos vecinos del intervalo se correspondan con puntos vecinos del camino. Un mapa de homotopía h(x, t) es un mapa continuo que asocia a dos trayectorias adecuadas, f(x) y g(x), una función de dos variables x y t que es igual a f(x) cuando t = 0 e igual a g(x) cuando t = 1. El mapa corresponde a la idea intuitiva de una deformación gradual sin salir de la región cuando t cambia de 0 a 1. Por ejemplo, h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) es una función homotópica para las trayectorias f y g en la parte A de la figura; los puntos f(x) y g(x) están unidos por un segmento de línea recta, y para cada valor fijo de t, h(x, t) define una trayectoria que une los mismos dos puntos finales.

De particular interés son las trayectorias homotópicas que comienzan y terminan en un solo punto (véase la parte B de la figura). La clase de todas estas trayectorias homotópicas entre sí en una región geométrica dada se denomina clase de homotopía. Al conjunto de todas estas clases se le puede dar una estructura algebraica llamada grupo, el grupo fundamental de la región, cuya estructura varía según el tipo de región. En una región sin agujeros, todas las trayectorias cerradas son homotópicas y el grupo fundamental consta de un solo elemento. En una región con un solo agujero, todas las trayectorias son homotópicas y giran alrededor del agujero el mismo número de veces. En la figura, las trayectorias a y b son homotópicas, al igual que las trayectorias c y d, pero la trayectoria e no es homotópica a ninguna de las otras trayectorias.

De la misma manera se definen las trayectorias homotópicas y el grupo fundamental de las regiones en tres o más dimensiones, así como en las variedades generales. En dimensiones superiores también se pueden definir grupos homotópicos de mayor dimensión.