Ley de Bernoulli
Hasta ahora se han tratado los fluidos en reposo. Esta sección trata de los fluidos que están en movimiento de forma constante, de manera que la velocidad del fluido en cada punto dado del espacio no cambia con el tiempo. Cualquier patrón de flujo que sea estable en este sentido puede verse en términos de un conjunto de líneas de corriente, las trayectorias de partículas imaginarias suspendidas en el fluido y arrastradas por él. En un flujo constante, el fluido está en movimiento pero las líneas de corriente son fijas. Donde las líneas de corriente se agolpan, la velocidad del fluido es relativamente alta; donde se abren, el fluido se estanca relativamente.
Cuando Euler y Bernoulli sentaron las bases de la hidrodinámica, trataron el fluido como una sustancia invisible idealizada en la que, al igual que en un fluido en reposo en equilibrio, las tensiones de corte asociadas a la viscosidad son nulas y la presión p es isotrópica. Llegaron a una ley sencilla que relaciona la variación de p a lo largo de una línea de corriente con la variación de v (el principio se atribuye a Bernoulli, pero parece que Euler llegó a él primero), que sirve para explicar muchos de los fenómenos que presentan los fluidos reales en movimiento constante. A la inevitable pregunta de cuándo y por qué está justificado despreciar la viscosidad, no hay una respuesta única. Algunas respuestas se darán más adelante en este artículo, pero antes se abordarán otras cuestiones.
Consideremos un pequeño elemento de fluido de masa m, sobre el que -aparte de la fuerza debida a la gravedad- sólo actúa una presión p. Esta última es isótropa y no varía con el tiempo, pero puede variar de un punto a otro del espacio. Es una consecuencia bien conocida de las leyes del movimiento de Newton que, cuando una partícula de masa m se mueve bajo la influencia de su peso mg y de una fuerza adicional F desde un punto P en el que su velocidad es vP y su altura es zP hasta un punto Q en el que su velocidad es vQ y su altura es zQ, el trabajo realizado por la fuerza adicional es igual al aumento de la energía cinética y potencial de la partícula, es decir que
En el caso del elemento fluido considerado, F puede relacionarse de manera sencilla con el gradiente de la presión, y se encuentra
Si las variaciones de la densidad del fluido a lo largo de la línea de corriente de P a Q son despreciables, el factor ρ-1 puede tomarse fuera de la integral del lado derecho de (131), que en consecuencia se reduce a ρ-1(pQ – pP). Entonces (130) y (131) pueden combinarse para obtener
Como esto se aplica para dos puntos cualesquiera que puedan ser visitados por un solo elemento del fluido, se puede deducir inmediatamente el importante resultado de Bernoulli (o de Euler) de que a lo largo de cada línea de corriente en el flujo estacionario de un fluido no viscoso la cantidad
Es constante.
¿En qué circunstancias son despreciables las variaciones de la densidad? Cuando son muy pequeñas en comparación con la propia densidad, es decir, cuando
se utiliza el símbolo Δ para representar la magnitud del cambio a lo largo de una línea de corriente de la cantidad que la sigue, y donde Vs es la velocidad del sonido (véase más adelante Flujo compresible en gases). Esta condición se cumple para todos los problemas de flujo que tienen que ver con el agua y que se tratan a continuación. Si el fluido es aire, se cumple adecuadamente siempre que la mayor excursión en z sea del orden de metros y no de kilómetros y siempre que la velocidad del fluido sea en todas partes inferior a unos 100 metros por segundo.
La ley de Bernoulli indica que, si un fluido no viscoso fluye a lo largo de una tubería de sección transversal variable, la presión es relativamente baja en los estrechamientos donde la velocidad es alta y relativamente alta donde la tubería se abre y el fluido se estanca. Muchas personas encuentran esta situación paradójica cuando la ven por primera vez. Seguramente, dicen, un estrechamiento debería aumentar la presión local en lugar de disminuirla. La paradoja se evapora cuando uno aprende a pensar en los cambios de presión a lo largo de la tubería como causa y en los cambios de velocidad como efecto, en lugar de al revés; es sólo porque la presión cae en una constricción que el gradiente de presión aguas arriba de la constricción tiene el signo correcto para hacer que el fluido se acelere.
Paradojas o no, las predicciones basadas en la ley de Bernoulli están bien verificadas por el experimento. Pruebe a sujetar dos hojas de papel de forma que cuelguen verticalmente a unos dos centímetros de distancia y sople hacia abajo para que haya una corriente de aire entre ellas. Las hojas se juntarán por la reducción de la presión asociada a esta corriente. Los barcos se juntan por la misma razón si se mueven por el agua en la misma dirección y a la misma velocidad con una pequeña distancia entre ellos. En este caso, la corriente resulta del desplazamiento de agua por la proa de cada barco, que tiene que fluir hacia atrás para llenar el espacio creado cuando la popa se mueve hacia adelante, y la corriente entre los barcos, a la que ambos contribuyen, es más fuerte que la corriente que se mueve por sus lados exteriores. Como otro sencillo experimento, escuche el sonido sibilante que produce un grifo que está casi, pero no del todo, cerrado. Lo que ocurre en este caso es que el flujo está tan constreñido y la velocidad dentro de la constricción es tan alta que la presión en la constricción es realmente negativa. Con la ayuda de los gases disueltos que normalmente están presentes, el agua cavita al pasar, y el ruido que se oye es el de pequeñas burbujas que se desploman cuando el agua se ralentiza y la presión vuelve a subir al otro lado.
Dos dispositivos prácticos que utilizan los ingenieros hidráulicos para controlar el flujo de líquidos a través de las tuberías se basan en la ley de Bernoulli. Uno de ellos es el tubo de venturi, una longitud corta con una constricción en ella de forma estándar (véase la figura 5A), que puede insertarse en la tubería propiamente dicha. Si la velocidad en el punto P, donde el tubo tiene un área de sección transversal AP, es vP y la velocidad en la constricción, donde el área es AQ, es vQ, la condición de continuidad -la condición de que la masa que fluye a través del tubo por unidad de tiempo tiene que ser la misma en todos los puntos de su longitud- sugiere que ρPAPvP = ρQAQvQ, o que APvP = AQvQ si la diferencia entre ρP y ρQ es despreciable. Entonces la ley de Bernoulli indica 
Encyclopædia Britannica, Inc.
Así, uno debería ser capaz de encontrar vP, y por lo tanto la cantidad Q (= APvP) a la que los ingenieros se refieren como la tasa de descarga, midiendo la diferencia de nivel h del fluido en los dos tubos laterales mostrados en el diagrama. A bajas velocidades, la diferencia de presión (pP – pQ) se ve muy afectada por la viscosidad (véase más adelante Viscosidad), y la ecuación (135) no es fiable en consecuencia. Sin embargo, el tubo venturi se utiliza normalmente cuando la velocidad es lo suficientemente grande como para que el flujo sea turbulento (véase más adelante Turbulencia). En tales circunstancias, la ecuación (135) predice valores de Q que concuerdan con los valores medidos por medios más directos con una precisión de unas pocas partes por ciento, aunque el patrón de flujo no sea realmente estable en absoluto.
El otro dispositivo es el tubo de Pitot, que se ilustra en la figura 5B. Las líneas de corriente del fluido se dividen a medida que se acercan al extremo romo de este tubo, y en el punto marcado Q en el diagrama hay un estancamiento completo, ya que el fluido en este punto no se mueve ni hacia arriba ni hacia abajo ni hacia la derecha. De la ley de Bernoulli se deduce inmediatamente que
Como en el caso del tubo venturi, se debería poder hallar vP a partir de la diferencia de nivel h.
Otro resultado sencillo merece ser mencionado aquí. Se trata de un chorro de fluido que sale a través de un agujero en la pared de un recipiente lleno de líquido a presión. La observación de los chorros muestra que después de emerger se estrechan ligeramente antes de establecerse en una sección transversal más o menos uniforme conocida como vena contracta. Esto se debe a que las líneas de chorro convergen en el orificio del interior del recipiente y se ven obligadas a seguir convergiendo durante un breve tiempo en el exterior. Fue Torricelli quien sugirió por primera vez que, si el exceso de presión en el interior del vaso es generado por una cabeza de líquido h, entonces la velocidad v en la vena contracta es la velocidad que alcanzaría una partícula libre al caer a través de una altura h -es decir que
Este resultado es una consecuencia inmediata, para un fluido no viscoso, del principio de conservación de la energía que consagra la ley de Bernoulli.
En el siguiente apartado se utiliza la ley de Bernoulli de forma indirecta para establecer una fórmula de la velocidad a la que se desplazan las perturbaciones sobre la superficie del agua poco profunda. En esta fórmula se encuentra la explicación de varios fenómenos interesantes relacionados con las ondas de agua. Los fenómenos análogos que tienen que ver con las ondas sonoras en los gases se tratan más adelante en Flujo compresible en los gases, donde se introduce una forma alternativa de la ley de Bernoulli. Esta forma de la ley se limita a los gases en flujo constante, pero no se limita a las velocidades de flujo que son mucho menos que la velocidad del sonido. La complicación que representa la viscosidad se ignora de nuevo a lo largo de estas dos secciones.