Este texto presenta una introducción a nivel de posgrado a la geometría diferencial para estudiantes de matemáticas y física. La exposición sigue el desarrollo histórico de los conceptos de conexión y curvatura con el objetivo de explicar la teoría de Chern-Weil de las clases características sobre un haz principal. A lo largo del camino nos encontramos con algunos de los puntos culminantes de la historia de la geometría diferencial, por ejemplo, el Teorema Egregio de Gauss y el teorema de Gauss-Bonnet. Los ejercicios que aparecen a lo largo del libro ponen a prueba la comprensión del material por parte del lector y, en ocasiones, ilustran extensiones de la teoría. Inicialmente, los requisitos previos para el lector incluyen una familiaridad pasajera con los colectores. Después del primer capítulo, se hace necesario entender y manipular las formas diferenciales. Se requiere un conocimiento de la cohomología de Rham para el último tercio del texto.
El material de prerrequisito está contenido en el texto del autor An Introduction to Manifolds, y puede ser aprendido en un semestre. Para beneficio del lector y para establecer notaciones comunes, el Apéndice A recuerda los fundamentos de la teoría de los manifiestos. Además, en un intento de hacer la exposición más autocontenida, se incluyen secciones sobre construcciones algebraicas como el producto tensorial y la potencia exterior.
La geometría diferencial, como su nombre indica, es el estudio de la geometría utilizando el cálculo diferencial. Se remonta a Newton y Leibniz en el siglo XVII, pero no fue hasta el siglo XIX, con los trabajos de Gauss sobre superficies y Riemann sobre el tensor de curvatura, cuando la geometría diferencial floreció y se sentaron sus bases modernas. En los últimos cien años, la geometría diferencial ha demostrado ser indispensable para comprender el mundo físico, en la teoría general de la relatividad de Einstein, en la teoría de la gravitación, en la teoría gauge y ahora en la teoría de cuerdas. La geometría diferencial también es útil en topología, varias variables complejas, geometría algebraica, variedades complejas y sistemas dinámicos, entre otros campos. El campo ha encontrado incluso aplicaciones a la teoría de grupos, como en el trabajo de Gromov, y a la teoría de la probabilidad, como en el trabajo de Diaconis. No es descabellado afirmar que la geometría diferencial debería estar en el arsenal de todo matemático.