La compulsión de los matemáticos por hacer las cosas cada vez más complejas es a la vez una bendición y una maldición. Su afán por tomar una idea y llevarla lo más lejos posible puede dar lugar a nuevos y fascinantes conocimientos. El inconveniente es que, a medida que las matemáticas se vuelven más abstractas y adquieren poder para describir enormes franjas de conocimiento conceptual, se vuelven cada vez más difíciles de describir con palabras.
Así que, con la cabeza pesada, dirijo el foco de esta serie sobre los Problemas del Premio del Milenio a la Conjetura de Hodge. Es una sorprendente intersección de varios campos de las matemáticas, pero un dolor en el toro para resumir. Así que, como es el Día Mundial de las Matemáticas, empezaré con una promesa: en cuanto las cosas se pongan demasiado complejas, lo dejaré mientras esté en marcha.
Los humanos han estado estudiando las matemáticas de las formas desde mucho antes de que un triángulo llamara la atención de Pitágoras por primera vez alrededor del 500 a.C.. A lo largo de las generaciones, se estudiaron formas cada vez más complicadas hasta que, unos dos mil años después, parecía que se estaban agotando. Los matemáticos habían hecho todo lo que se les ocurrió con las formas, y en el camino proporcionaron la base para todo, desde la ingeniería hasta la pintura en perspectiva. Entonces, en 1637, un joven y brillante matemático-filósofo se dio cuenta de que, si se abstraía un poco más, la geometría era en realidad lo mismo que el álgebra.
Utilizando el sistema de coordenadas cartesianas que ahora lleva su nombre, Descartes reflexionó mucho sobre cómo una línea geométrica era sólo un conjunto de números. Las ecuaciones también pueden producir un conjunto de números como sus soluciones. Si ambos conjuntos de números eran exactamente iguales, entonces una línea dibujada en un trozo de papel podía considerarse lo mismo que la solución de una ecuación.
Este fue un momento decisivo en las matemáticas que permitió aplicar a la geometría todas las herramientas desarrolladas en el álgebra. Es la razón por la que tu profesor de matemáticas de la escuela se entusiasmó al convertir las gráficas lineales en ecuaciones: cualquier línea aleatoria puede considerarse como el conjunto de soluciones de una ecuación como y = mx + c. Cualquier círculo es el conjunto de soluciones de (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Ahora bien, si quieres ver dónde se cruza una determinada línea con un determinado círculo, puedes dibujar las formas geométricamente o simplemente comparar las ecuaciones algebraicamente. Ambos métodos darán la misma respuesta.
Los matemáticos no se contentaron con limitarse a las líneas y pronto descubrieron que ecuaciones más complicadas, o incluso conjuntos de ecuaciones que funcionaban juntas, podían producir formas sorprendentes en todo tipo de dimensiones. Algunas podían visualizarse como formas -como las ecuaciones cuyo conjunto de soluciones traza la superficie de un anillo, conocido como toro-, pero muchas de ellas estaban más allá de lo que podemos imaginar y sólo eran accesibles mediante el álgebra y una imaginación muy extendida.
Como los matemáticos estaban ahora tratando con objetos más allá de lo que podemos visualizar, estas «formas» pasaron a conocerse en general como «ciclos algebraicos». Si un ciclo algebraico era una forma agradable, suave y, en general, que se comportaba bien, también se ganaba el título de «colector».
Entonces ocurrieron dos cosas a la vez. En primer lugar: un grupo de matemáticos conocidos como topólogos empezaron a estudiar lo que ocurre si se dibujan formas en un colector. Podrías imaginar que tienes un donut en forma de anillo y dibujas un triángulo justo alrededor de la parte superior (ver imagen superior). O tal vez un pentágono.
En realidad, ¿se necesitan ambos? Si la forma pudiera deslizarse y estirarse, entonces el triángulo podría deformarse en el pentágono. Los topólogos agruparon todas las formas que podían distorsionarse de una a otra (sin salirse de la superficie del colector) en una «clase de homología», una especie de forma generalizada. Todas las formas que pasan por el «agujero» del donut formarían una clase de homología diferente.
En segundo lugar, un grupo de matemáticos que se llamaban a sí mismos algebristas empezaron a tomar conjuntos de ecuaciones que ya producían bonitos colectores ordenados y a añadir más ecuaciones. Estas ecuaciones adicionales producían nuevos ciclos algebraicos dentro de esas variedades.
No pasó mucho tiempo antes de que la gente se diera cuenta de que los topólogos que dibujaban clases de homología en las variedades y los algebristas que incrustaban ciclos algebraicos en las variedades eran en realidad la misma cosa. Fue una repetición de cuando las formas geométricas se encontraron por primera vez con las ecuaciones algebraicas. La dificultad radicaba en que nadie sabía con certeza cuándo una clase de homología sobre un colector contenía al menos una forma que también era descriptible como un ciclo algebraico.
En resumen, un colector es una forma extraña (posiblemente de alta dimensión) que puede describirse mediante un conjunto de ecuaciones. Si se añaden más ecuaciones, se obtienen formas más pequeñas, conocidas como ciclos algebraicos, dentro de ese colector.
El problema es: si se dibuja cualquier forma aleatoria -posiblemente desagradable- en un colector, ¿cómo se puede saber si se puede estirar hasta conseguir una forma diferente que pueda describirse como un bonito ciclo algebraico?
El matemático escocés William Hodge tuvo una gran idea sobre cómo se podía saber qué clases de homología de cualquier colector eran equivalentes a un ciclo algebraico. Sólo que no pudo demostrarlo. Si puedes demostrar que su método siempre funciona, entonces el premio de un millón de dólares es tuyo.
Mi problema es que hasta ahora he estado hablando en términos de bonitas coordenadas numéricas ordinarias y dimensiones espaciales normales. La Conjetura de Hodge utiliza en realidad lo que se conoce como coordenadas numéricas complejas y dimensiones espaciales complejas. Así que, aunque me encantaría describirles toda la conjetura, este es exactamente el punto en el que prometí que me detendría.
Matt Parker trabaja en el departamento de matemáticas de Queen Mary, Universidad de Londres, y puede encontrarse en línea en standupmaths.com
Para saber más sobre la conjetura de Hodge este vídeo de una conferencia de Dan Freed de la Universidad de Texas en Austin es muy recomendable
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