Homomomorfismi, (kreikankielestä homoios morphe, ”samankaltainen muoto”), erityinen vastaavuus kahden algebrallisen systeemin, kuten kahden ryhmän, kahden renkaan tai kahden kentän, jäsenten (elementtien) välillä. Kahdella homomorfisella järjestelmällä on sama perusrakenne, ja vaikka niiden elementit ja operaatiot voivat näyttää täysin erilaisilta, yhtä järjestelmää koskevat tulokset pätevät usein myös toiseen järjestelmään. Jos siis voidaan osoittaa, että uusi systeemi on homomorfinen tunnetun systeemin kanssa, tiettyjä tunnettuja toisen systeemin ominaisuuksia voidaan soveltaa toiseen, mikä yksinkertaistaa uuden systeemin analyysia.

Homomorfismissa kahden systeemin vastaavat elementit käyttäytyvät hyvin samankaltaisesti yhdessä muiden vastaavien elementtien kanssa. Olkoot esimerkiksi G ja H ryhmiä. Merkitään G:n alkioita g, g′,…, ja niihin kohdistuu jokin operaatio ⊕. (Vaikka symboli voidaan ajatella joksikin operaatioksi, kuten kertolaskuksi, symboli voi yhtä hyvin merkitä rotaatiota tai jotain muuta ei-aritmeettista operaatiota). Vastaavasti H:n alkioita merkitään h, h′,…, ja niihin kohdistuu jokin operaatio ⊗. Homomorfismi G:stä H:een on kaikkien G:n alkioiden ja joidenkin H:n alkioiden välinen vastaavuus g → h, jolla on seuraava ominaisuus: jos g → h ja g′ → h′, niin g ⊕ g′ → h ⊗ h′. Toisin sanoen H:n alkio, joka vastaa G:n alkioiden tuloa, on samassa järjestyksessä olevien H:n alkioiden tulo, jotka vastaavat kahta G:n alkiota. Tiiviimmin ilmaistuna tuotteen ”kuva” on kuvien tulo eli vastaavuus säilyttää operaation.

Kahden algebrallisen systeemin jäsenten välinen vastaavuus voidaan kirjoittaa funktiona f G:stä H:een, ja f:stä puhutaan G:n ”kuvaajana” H:een. Ehto, että f on ryhmän G homomorfismi ryhmään H, voidaan ilmaista vaatimuksena, että f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′).

Homomorfismit asettavat ehtoja kuvaukselle f: jos e on G:n identiteetti, niin g ⊕ e = g, joten f(g ⊕ e) = f(g). Lisäksi, koska f on homomorfismi, f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e), joten f(g) = f(g) ⊗ f(e). Ryhmien kumoamislakien nojalla tämä merkitsee, että f(e) on yhtä suuri kuin identiteetti H:ssa. Näin ollen homomorfismit kuvaavat yhden ryhmän ainoan identiteettielementin toisen ryhmän ainoaan identiteettielementtiin. Vastaavasti homomorfismit kuvaavat yhden ryhmän elementin g käänteislukua elementin f(g) käänteisluvuksi. Tämän vuoksi homomorfismeja kutsutaan rakennetta säilyttäviksi kartoiksi.

Erikoistyyppisillä homomorfismeilla on omat nimensä. Yksi yhteen homomorfismia G:stä H:een kutsutaan monomorfismiksi, ja homomorfismia, joka on ”onto” eli kattaa jokaisen H:n alkion, kutsutaan epimorfismiksi. Erityisen tärkeä homomorfismi on isomorfismi, jossa homomorfismi G:stä H:een on sekä yksi yhteen että onto. Viimeksi mainitussa tapauksessa G ja H ovat olennaisesti sama järjestelmä ja eroavat toisistaan vain alkioidensa nimissä. Näin ollen homomorfismit ovat hyödyllisiä algebrallisia järjestelmiä luokiteltaessa ja lueteltaessa, koska niiden avulla voidaan tunnistaa, kuinka läheisesti eri järjestelmät ovat sukua toisilleen.