Esto es parte de una serie sobre conceptos erróneos comunes.

¿Verdadero o falso?

El infinito es el número que está al final de la recta numérica real.

Por qué algunos dicen que es cierto: porque el infinito es el número que es mayor que todos los demás números.

Por qué algunos dicen que es falso: porque el infinito no es un número y la recta numérica no tiene fin.

La afirmación es falsa \color{#D61F06}{{textbf{false}}.

Prueba:

La idea errónea que se maneja aquí es que «si sigues subiendo por la recta numérica pasando por números de conteo cada vez más grandes, entonces eventualmente los números de conteo simplemente se rinden (en algún lugar después del punto en que tu profesor se cansa de hacer marcas de tic), y habrá un signo de infinito (∞\infty∞) allí para marcar el final de la recta numérica.» Alternativamente, algunos dicen que «el infinito está al final de la recta numérica, pero todavía hay infinitos números menos que el infinito y entre el infinito y cualquier otro punto de la recta.» Ambas nociones tienen raíces en conceptos relacionados con el cálculo; sin embargo, ambas son fundamentalmente incorrectas.

Cuando tu profesor «termina la recta numérica» con ∞\infty∞, se trata en realidad de una taquigrafía engañosa para representar que la recta numérica continúa para siempre. Una forma menos engañosa de representar esta noción podría ser extender la recta numérica hacia fuera con una flecha. Además, podríamos indicar que los números enteros continúan después de que decidamos dejar de registrarlos utilizando la notación común de serie de término general: «…n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,…» para describir, en este caso, el conjunto de todos los números enteros no negativos. Este conjunto también se conoce comúnmente como los «números naturales (N\mathbb{N}N)» o como los «enteros no negativos».

El error de concepto está en elegir tratar a ∞\infty∞ como un número entero o entero o como uno de los números reales. Esto no es lo mismo que creer que ∞\infty∞ es «real» o «irreal» en el sentido inglés de la palabra. El infinito es un concepto «real» y útil. Sin embargo, el infinito no es un miembro del conjunto de «números reales» definido matemáticamente y, por lo tanto, no es un número de la recta numérica real.

El conjunto de los números reales, R\mathbb{R}R, se explica en lugar de definirse en la mayoría de las escuelas preuniversitarias. E, incluso entonces, suele explicarse sólo brevemente, con una descripción del tipo «todos los puntos de una recta numérica», y con el seguimiento adicional de que «los números reales negativos están a la izquierda de 0 y los números positivos son los que están a la derecha de 0.»

A la mayoría de los estudiantes no se les enseña una definición rigurosa de los números reales a menos que se conviertan en licenciados en matemáticas en una universidad. Una de las definiciones más comunes que se aprenden entonces es que los números reales son el conjunto de cortes Dedekind de los números racionales. Dada cualquier definición rigurosa de los números reales, es inmediatamente evidente que el «infinito» no es un miembro del conjunto de los números reales.

Refutación: En el estudio de los límites, el infinito (∞infty∞) se trata como cualquier otro número. ¿Por qué hacemos esto en el cálculo si el infinito no es realmente un número?

Respuesta: A muchos se les enseña sobre los límites en precálculo o en cálculo exactamente como lo describes, y la forma en que se trata el infinito sí sugiere, engañosamente, que el infinito es un número más. Por ejemplo, dada una función con una asíntota horizontal en 5, podríamos decir que el límite de f(x)f(x)f(x) a medida que xxx se acerca al infinito es cinco: f(x)x→∞=5f(x)_{x\rightarrow \infty} = 5f(x)x→∞=5, y si f(x)f(x)f(x) tiene una asíntota vertical en 171717, se nos enseña a decir que f(x)x→17=∞f(x)_{x\rightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Esta es la primera exposición de muchos estudiantes a ∞\infty∞, y es una introducción muy engañosa, ya que implica que ∞\infty∞ puede ser tratado como un número que es simplemente «más grande que todos los demás números».

Sin embargo, en este contexto, el infinito es sólo una abreviatura de una noción bien definida de una función que no tiene un límite de cualquier valor real, sino que aumenta para siempre sin límite. Ver el wiki sobre los límites de las funciones para más detalles!

Rebate: Definitivamente he visto el infinito en los libros de texto de matemáticas, y a veces se define como un número mayor que todos los números no infinitos. ¿Por qué está ahí si no es un concepto matemático real?

Respuesta: En realidad hay conjuntos numéricos matemáticos, como los números cardinales y los números ordinales, en los que muchas versiones definidas de forma diferente de ∞\infty∞ son números. Y los sistemas numéricos rigurosamente definidos que incluyen ∞infty∞ tienen muchas aplicaciones valiosas. Por ejemplo, en el conjunto de números cardinales, el infinito es en realidad una medida de cuántos números reales hay. Sin embargo, el conjunto de números reales R\mathbb{R}R se define de manera que omite cualquier versión del infinito.

Además, al considerar los números cardinales, debemos cambiar nuestra intuición sobre el infinito: no es un número en el sentido de «línea numérica», como se aplican los reales. En su lugar, es un concepto para medir y comparar los tamaños de los conjuntos.