Espacio de Banach en nLab

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Idea

Un espacio de Banach â¬mathcal{B} es tanto un espacio vectorial (sobre un campo normado como â\mathbb{R}) como un espacio métrico completo, de forma compatible. Por lo tanto es un espacio vectorial completo normado.

Una fuente de espacios de Banach simples proviene de considerar un espacio cartesiano â n\mathbb{R}^n (o K nK^n donde KK es el campo normado) con la norma:

â(x 1,â¦,x n)â pââ i=1 n|x i| pp {\|(x_1,\ldots,x_n)|_p} \coloneqq \root p {\sum_{i = 1}^n {|x_i|^p}

donde 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty (esto no tiene sentido estrictamente para p=âp = \infty, pero tomando el límite como pââp \ a \infty y leyendo â â=limⶠnâ n\mathbb{R}^\infty = \underset{longrightarrow}{lim}_n \mathbb{R}^n como límite directo (a diferencia del límite inverso) llegamos a la fórmula â(x 1,â¦,x n)â ââmax i|x i||(x_1,\ldots,x_n)||_\infty} \coloneqq \max_i {|x_i|}).

Sin embargo, la teoría de estos espacios no es mucho más complicada que la de los espacios vectoriales de dimensión finita porque todos tienen la misma topología subyacente. Sin embargo, cuando se observan ejemplos de dimensiones infinitas, las cosas se vuelven más complicadas. Los ejemplos más comunes son los espacios de Lebesgue, los espacios de Hilbert y los espacios secuenciales.

En la literatura, lo más frecuente es ver espacios de Banach sobre el campo â\mathbb{R} de los números reales; los espacios de Banach sobre el campo â\mathbb{C} de los números complejos no son muy diferentes, ya que también son sobre â\mathbb{R}. Pero también se estudian sobre números p-ádicos. A menos que se indique lo contrario, asumimos que es sobre el campo de los números reales.

Definiciones

Sea VV un espacio vectorial sobre el campo de los números reales. (Se puede generalizar un poco la elección del campo.) Una pseudonorma (o seminorma) en VV es una función

âââ:Vââ {\| – ||}colon V \to \mathbb{R}

tal que:

  1. â0ââ¤0 {\|0|} \leq 0 ;
  2. ârvâ=|r|âvâ {|r v\|} = {|r|} {\|v\|} (para rr un escalar y vv un vector);
  3. âv+wââ¤âvâ+âwâ {\|v + w\|} \leq {||v||} + {\|w\|} .

De lo anterior se deduce que âvâ¥0{|v\|} \geq 0; en particular, â0â=0{|0\|} = 0. Una norma es una pseudonorma que satisface una inversa a ésta: v=0v = 0 si âvâ=0{|v\|} = 0.

Una norma sobre VV es completa si, dada cualquier secuencia infinita (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) tal que

(1)lim m,nââââ i=m m+nv iâ=0, \lim_{m,n\to\infty} {\left\| \sum_{i=m}^{m+n} v_i \right\|} = 0 ,

existe una suma (necesariamente única) SS tal que

(2)lim nâââSââ i=1 nv iâ=0; \lim_{n\to\infty} {\left\| S – \sum_{i=1}^n v_i \right\|} = 0 ;

escribimos

S=â i=1 âv i S = \sum_{i=1}^infty v_i

(con el lado derecho indefinido si no existe tal suma).

Entonces un espacio de Banach es simplemente un espacio vectorial dotado de una norma completa. Como en la recta real, tenemos en un espacio de Banach que

ââ i=1 âv iââ¤â i=1 ââv iâ, {\left\| \sum_{i=1}^\infty v_i \right\|} \leq \\\\\\\\\\\\nla suma_i=1\nde v_i\\nde v_i

con el lado izquierdo garantizado para existir si el lado derecho existe como un número real finito (pero el lado izquierdo puede existir incluso si el lado derecho diverge, la distinción habitual entre convergencia absoluta y condicional).

Si no insistimos en que el espacio sea completo, lo llamamos un espacio (vectorial) normado. Si tenemos un espacio vectorial topológico tal que la topología proviene de una norma, pero no hacemos una elección real de dicha norma, entonces hablamos de un espacio normable.

Espacios de Banach como espacios métricos

Los tres axiomas para una pseudonorma son muy similares a los tres axiomas para una pseudometría.

En efecto, en cualquier espacio vectorial pseudonorma, que la distancia d(v,w)d(v,w) sea

d(v,w)=âwâvâ. d(v,w) = {\|w – v\|} .

Entonces dd es una pseudométrica, que es invariante de la traslación en el sentido de que

d(v+x,w+x)=d(v,w) d(v+x,w+x) = d(v,w)

siempre se cumple. A la inversa, dada cualquier pseudométrica invariante por traslación dd en un espacio vectorial VV, sea âvâ{|v\|}

âvâ=d(0,v). {\|v\|} = d(0,v) .

Entonces âââ{|-\|} satisface los axiomas (1â3) para una pseudonorma, excepto que puede satisfacer (2) sólo para r=0,±1r = 0, \pm 1. (En otras palabras, es sólo una G-pseudonorma.) En realidad será una pseudonorma si la pseudometría satisface una regla de homogeneidad:

d(rv,rw)=|r|d(v,w). d(r v,r w) = {|r|} d(v,w) .

Por tanto, las pseudonormas corresponden precisamente a las pseudométricas homogéneas invariantes de traslación.

De forma similar, las normas corresponden a las métricas homogéneas invariantes de traslación y las normas completas corresponden a las métricas completas homogéneas invariantes de traslación. En efecto, (1) dice que la secuencia de sumas parciales es una secuencia de Cauchy, mientras que (2) dice que la secuencia de sumas parciales converge a SS.

Así pues, un espacio de Banach puede definirse equivalentemente como un espacio vectorial dotado de una métrica completa homogénea invariante de traslación. En realidad, se suele ver una especie de aproximación híbrida: un espacio de Banach es un espacio vectorial normado cuya métrica correspondiente es completa.

Mapas entre espacios de Banach

Si VV y WW son espacios vectoriales pseudonormados, entonces la norma de una función lineal f:VâWf\colon V \to W puede definirse de cualquiera de estas formas equivalentes:

  • âfâ=sup{âfvâ|âvââ¤1} {\|f\|} = \sup \ {\|f v\|} \;|\; {\|v\|} |leq 1 \} ;
  • âfâ=inf{r|âv,âfvââ¤râvâ} {\|f\|} = \inf \ {r||||; \forall{v},\\\}; {\|f v\||} |leq r {\|v||} \} .

(A veces se ven otras formas, pero éstas pueden romperse en casos degenerados.)

Para espacios de dimensión finita, cualquier mapa lineal tiene una norma finita bien definida. En general, los siguientes son equivalentes:

  • ff es continuo (según la medida de la pseudometría en VV y WW) en 00;
  • ff es continuo (en todas partes);
  • ff es uniformemente continuo;
  • ff es Lipschitz continuo;
  • âfâ{|f\||} es finito (y, en matemáticas constructivas, localizado);
  • ff está acotado (según las bornologías dadas por la pseudometría en VV y WW).

En este caso, decimos que ff está acotado. Si f:VâWf\colon V \to W se supone que no es lineal, entonces las condiciones anteriores ya no son equivalentes.

Los propios mapas lineales acotados de VV a WW forman un espacio vectorial pseudonormado â¬(V,W)\mathcal{B}(V,W). Éste será un espacio de Banach si (y, excepto para los casos degenerados de VV, sólo si) WW es un espacio de Banach. ¡De este modo, la categoría BanBan de los espacios de Banach es una categoría cerrada con â\mathbb{R} como unidad.

El lector avispado notará que aún no hemos definido Ban\mathbf{Ban} como categoría! (sorprendentemente en el nLab) Hay muchas formas (no equivalentes) de hacerlo.

En el análisis funcional, la noción habitual de «isomorfismo» para los espacios de Banach es un mapa lineal biyectivo acotado f:VâWf\colon V \a W tal que la función inversa f â1:WâVf^{-1}\colon W \a V (que es necesariamente lineal) también está acotada. En este caso se pueden aceptar como morfismos todos los mapas lineales acotados entre espacios de Banach. Los analistas a veces se refieren a esto como la “categoría isomórficaâ€.

Otra noción natural de isomorfismo es una isometría lineal sobreyectiva. En este caso, tomamos un morfismo como un mapa lineal corto, o contracción lineal: un mapa lineal ff tal que âfââ¤1{|f\|} \leq 1. Esta categoría, que es la que los teóricos de la categoría denominan generalmente Ban\mathbf{Ban}, es denominada a veces por los analistas como «categoría isométrica». Nótese que esto hace que el «conjunto subyacente» (en el sentido de Ban\mathbf{Ban} como categoría concreta como cualquier categoría cerrada) de un espacio de Banach sea su bola unitaria (cerrada)

Hom Ban(â,V)â {v|âvââ¤1} Hom_Ban(\mathbb{R},V) \cong \{ v |||; {\|v\|} |leq 1 \\ ~ -}

en lugar del conjunto de todos los vectores en VV (el conjunto subyacente de VV como un espacio vectorial).

Yemon Choi: Esto es realmente aquí para recordar a mí mismo cómo hacer cajas de consulta. Pero ya que estoy en ello, ¿es realmente correcto referirse al «functor de bola unitaria» como «tomar el conjunto subyacente»? Me he dado cuenta de que en la discusión sobre homos internos en homos internos se afirma que «toda categoría cerrada es una categoría concreta (representada por II), y el conjunto subyacente del homo interno es el homo externo», lo que parece requerir que «conjunto subyacente» se interprete en este sentido más laxo.

Toby: Claro, pero el punto de poner «conjunto subyacente» entre comillas es precisamente para señalar que el conjunto subyacente teórico de la categoría no es lo que uno esperaría normalmente.

Mark Meckes: Iâve ampliado esta sección en parte para ser coherente con analystsâ terminología. He hecho algunas suposiciones sobre las convenciones de los teóricos de la categoría que podrían no ser correctas. (Si encuentro tiempo podría escribir sobre otras categorías de espacios de Banach en las que piensan los analistas.)

Toby: ¡A mí me parece bien!

Desde la perspectiva de un teórico de la categoría, la categoría isomorfa es realmente la imagen completa del functor de inclusión de BanBan a TVSTVS (la categoría de espacios vectoriales topológicos), que puede denotarse Ban TVSBan_{TVS}. Si estás trabajando en Ban TVSBan_{TVS}, entonces sólo te importa la estructura topológica lineal de tu espacio (aunque también te importa que se pueda derivar de alguna métrica); si estás trabajando en BanBan, entonces te importa toda la estructura del espacio.

Ejemplos

Muchos ejemplos de espacios de Banach están parametrizados por un exponente 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty. (A veces también se puede probar con 0â¤p<10 \leq p \lt 1, pero estos generalmente no dan espacios de Banach.)

  • El espacio cartesiano â n\mathbb{R}^n es un espacio de Banach con

    â(x 1,â¦,x n)â p=â i|x i| pp. {\\a6}(x_1,\ldots,x_n)|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p} .

    (Podemos permitir que p=âp = \infty tomando un límite; el resultado es que âxâ â=max i|x i|{|x\_\infty} = \max_i {|x_i|}). Todo espacio de Banach de dimensión finita es isomorfo a éste para algún nn y pp; de hecho, una vez fijado nn, el valor de pp es irrelevante hasta el isomorfismo.

  • El espacio de secuencias l pl^p es el conjunto de secuencias infinitas (x 1,x 2,â¦)(x_1,x_2,\ldots) de números reales tales que

    â(x 1,x 2,â¦)â p=â i|x i| pp {\|(x_1,x_2,\ldots)|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}

    existe como número real finito. (La única cuestión es si la suma converge. De nuevo p=âp = \infty es un límite, con el resultado de que âxâ â=sup i|x i|{|x\_\infty} = \sup_i {|x_i|}). Entonces l pl^p es un espacio de Banach con esa norma. Todas estas son versiones de â â\mathbb{R}^\infty, pero ya no son isomorfas para diferentes valores de pp. (Véanse las clases de isomorfismo de los espacios de Banach.)

  • Más generalmente, sea AA un conjunto cualquiera y sea l p(A)l^p(A) el conjunto de funciones ff de AA a â\mathbb{R} tales que

    âfâ p=â x:A|f(x)| pp {\|f|_p} = \root p {\sum_{x: A} {|f(x)|^p}

    existe como un número real finito. (De nuevo, âfâ â=sup x:A|f(x)|{\f||_\infty} = \sup_{x\colon A} {|f(x)|}.) Entonces l p(A)l^p(A) es un espacio de Banach. (Este ejemplo incluye los ejemplos anteriores, para AA un conjunto contable.)

  • En cualquier espacio de medida XX, el espacio de Lebesgue â p(X)\mathcal{L}^p(X) es el conjunto de funciones medibles de valor real definidas casi en todas partes en XX tales que

    âfâ p=â»|f|| pp {\f|_p} = \root p {\int {|f|^p}

    existe como número real finito. (De nuevo, la única cuestión es si la integral converge. Y de nuevo p=âp = \infty es un límite, con el resultado de que âfâ â{\f\|_\infty} es el sumo esencial de |f|{|f|}). Como tal, â p(X)\mathcal{L}^p(X) es un espacio vectorial pseudonormado completo; pero identificamos funciones que son iguales en casi todas partes para convertirlo en un espacio de Banach. (Este ejemplo incluye los ejemplos anteriores, para XX un conjunto con medida de conteo.)

  • Cualquier espacio de Hilbert es un espacio de Banach; esto incluye todos los ejemplos anteriores para p=2p = 2.

Operaciones sobre espacios de Banach

La categoría BanBan de espacios de Banach es pequeña completa, pequeña cocompleta, y simétrica monoidal cerrada con respecto a su hom interna estándar (descrita en hom interna). Algunos detalles siguen.

  • La categoría de espacios de Banach admite productos pequeños. Dada una pequeña familia de espacios de Banach {X α} αâA\{X_\alpha\}_{\alpha \}en A}, su producto en BanBan es el subespacio del producto del espacio vectorial

    â αâAX α\\\d_{\alpha \}en A} X_\alpha

    consistente en tuplas AA â¨x αâ©\langle x_\alpha \gle que están uniformemente acotadas (es decir, existe CC tal que âαâA:âx αââ¤C\forall \alpha \in A: {|x_\alpha\|} \leq C), tomando el menor de dichos límites superiores como la norma de â¨x αâ©langulo x_\alpha \\gle. Esta norma se denomina norma â\\Ninfty; en particular, el producto de una familia de copias de â\Nmathbb{R} o â\Nmathbb{C} es lo que normalmente se denota como l â(A)l^{infty}(A).

  • La categoría de espacios de Banach admite igualadores. En efecto, el igualador de un par de mapas f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y en BanBan es el núcleo de fâgf-g bajo la norma heredada de XX (el núcleo es cerrado ya que fâgf-g es continuo, y por tanto es completo). De hecho todo igualador es una sección par por el teorema de Hahn-Banach. Todo monomorfismo extremo es ya un igualador (y una sección): Sea f:XâYf\colon X \a Y un monomorfismo extremo, ι:â(f)âY\iota\colon \aIm(f) \a Y la incrustación de Im(f)Im(f) en el codominio de ff y fâ²:XâIm(f)fprime \colon X \a Im(f) ff con codominio restringido. Dado que fâ²f\prime es un epimorfismo, f=ιfâ²f=\iota f\prime, y ff extrema, fâ²f\prime es un isomorfismo, por lo que ff es una incrustación.

  • La categoría de espacios de Banach admite coproductos pequeños. Dada una pequeña familia de espacios de Banach {X α} αâA\{X_\alpha\}_{\alpha \}en A}, su coproducto en BanBan es la terminación del coproducto del espacio vectorial

    ⨠αâAX α\\bigoplus_{\alpha \}en A} X_\alpha

    con respecto a la norma dada por

    â⨠sâSx sâ=â sâSâx sâ, {\left\| \bigoplus_{s \in S} x_s \right\|} = \sum_{s \in S} {\|x_s\|} donde SâAS \\\subseteq A es finito y âx sâ{|x_s\|} denota la norma de un elemento en X sX_s. Esta norma se llama la 11-norma; en particular, el coproducto de una familia de copias de â\mathbb{R} o â\mathbb{C} es lo que normalmente se denota como l 1(A)l^1(A).

  • La categoría de espacios de Banach admite coequalizadores. En efecto, el coecualizador de un par de mapas f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y es el cokernel de fâgf-g bajo la norma del cociente (en la que la norma de un coset y+Cy + C es la norma mínima alcanzada por los elementos de y+Cy + C; aquí CC es la imagen (fâg)(X)(f-g)(X), que es cerrada). Es normal que la norma del cociente en Y/CY/C sea completa dado que la norma en YY es completa.

  • Para describir el producto tensorial Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y de dos espacios de Banach (haciendo que BanBan sea simétrico monoidal cerrado con respecto a su hom interno habitual), sea F(XÃY)F(X \times Y) el espacio vectorial libre generado por el conjunto XÃYX \times Y, con norma sobre un elemento típico definido por

    â 1â¤iâ¤na i(x iây i)â=â 1â¤iâ¤n|a i|âx iâ ây iâ. {\left\|| \sum_{1 \leq i \leq n} a_i (x_i \otimes y_i) \right\|} = \sum_{1 \leq i \leq n} {|a_i|} {|x_i|} \cdot {|y_i|}.

    Denotemos que F¯(XÃY)\cdot{F}(X \times Y) denota su terminación con respecto a esta norma. A continuación, tomar el cokernel de F¯(XÃY)\Nsobrelínea{F}(X \Ntiempo Y) por el cierre del subespacio abarcado por las relaciones bilineales obvias. Este cociente es Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y.

    • En la literatura sobre espacios de Banach, el producto tensorial anterior suele llamarse producto tensorial proyectivo de espacios de Banach; véase otro producto tensorial de espacios de Banach. El producto y el coproducto se consideran sumas directas; véase otras sumas directas de espacios de Banach.

    Por describir:

    • duales (p+q=pqp + q = p q);
    • compleción (BanBan es una subcategoría reflexiva de PsNVectPsNVect (espacios vectoriales pseudonormados)).
    • Ban como una categoría (algo mayor) con duales.

    Integración en espacios de Banach

    Este párrafo describe algunos aspectos de la teoría de la integración en espacios de Banach que son relevantes para entender la literatura sobre AQFT. En el contexto dado, los elementos de un espacio de Banach â¬\mathcal{B} se llaman a veces vectores, una función o medida que toma valores en â¬\mathcal{B} se llaman por tanto funciones vectoriales y medidas vectoriales. Las funciones y medidas que toman valores en el campo sobre el que se define el espacio de Banach como espacio vectorial se llaman funciones y medidas escalares.

    Consideraremos dos tipos de integrales:

    • integrales de funciones vectoriales con respecto a una medida escalar, concretamente la integral de Bochner,

    • integrales de funciones escalares con respecto a una medida vectorial, concretamente la integral espectral de un operador normal sobre un espacio de Hilbert.

    Integral de Bochner

    La integral de Bochner es una generalización directa de la integral de Lesbegue a funciones que toman valores en un espacio de Banach. Siempre que se encuentre una integral de una función que toma valores en un espacio de Banach en la literatura de AQFT, es seguro asumir que se trata de una integral de Bochner. Dos puntos ya explicados por Wikipedia son de interés:

    1. Una versión del teorema de convergencia dominada es cierta para la integral de Bochner.
    2. Hay teoremas que no son válidos para la integral de Bochner, en particular el teorema de Radon-Nikodym no se cumple en general.
    • Wikipedia

    referencia: Joseph Diestel: âSecuencias y Series en Espacios de Banachâ (entrada ZMATH), capítulo IV.

    La integral espectral

    La integral con respecto a la medida espectral de un operador normal acotado sobre un espacio de Hilbert es un ejemplo de integral de espacio de Banach con respecto a una medida vectorial. En este párrafo presentamos un resultado bien conocido, pero algo menos citado, que es de utilidad en algunas pruebas en algunos enfoques de AQFT, es la versión del teorema de convergencia dominada para el entorno dado.

    Sea A un operador normal acotado en un espacio de Hilbert y E su medida espectral (la «resolución de identidad» en los términos de Dunford y Schwartz). Sea Ï(A)\Nsigma(A) el espectro de A. Para una función compleja acotada de Borel f tenemos entonces

    f(A)ââ» Ï(A)f(λ)E(dλ) f(A) \coloneqq \int_{sigma(A)} f(\lambda) E(d\lambda)
    Teorema (convergencia dominada)

    Si la sucesión uniformemente acotada {f n}\ {f_n\} de funciones complejas de Borel converge en cada punto de Ï(A)\Nsigma(A) a la función ff, entonces f n(A)âf(A)f_n(A) \Na f(A) en la topología del operador fuerte.

    Véase Dunford, Schwartz II, capítulo X, corolario 8.

    Propiedades

    Relación con los espacios bornológicos

    Todo límite inductivo de los espacios de Banach es un espacio vectorial bornológico. (Alpay-Salomon 13, prop. 2.3)

    A la inversa, todo espacio vectorial bornológico es un límite inductivo de espacios normados y de los espacios de Banach si es cuasi-completo (Schaefer-Wolff 99)

    • Espacio de Banach reflexivo

    • Espacio de Banach proyectivo

    • Espacio analítico de Banach

    Nombrado así por Stefan Banach.

    • Walter Rudin, Functional analysis

    • Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.: âLinear operators. Part I: General theory.â (ZMATH entry), âLinear operators. Part II: Spectral theory, self adjoint operators in Hilbert space.â (ZMATH entry)

    • Z. Semadeni, Espacios de Banach de funciones continuas, vol. I, Editores científicos polacos. Warszawa 1971

    • Daniel Alpay, Guy Salomon, On algebras which are inductive limits of Banach spaces (arXiv:1302.3372)

    • H. H. Schaefer con M. P. Wolff, Topological vector spaces, Springer 1999

    categoría: análisis

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