La época clásica fue de floreciente innovación, y vio una explosión de manuja grantham : siddhantas, bhaashyaas, vartikaas (explicaciones de los comentarios), karanas, tantraa, y novedades como los vaakya-panchaangas, un número sorprendente de los cuales han sido conservados, editados, publicados y algunos incluso traducidos al inglés en los últimos siglos. La crítica, la corrección, la observación, el refinamiento y la innovación marcaron este período de varios siglos y a través de varias geografías.

Un aspecto interesante para un economista, es la variedad de monedas y divisas (dinara, paNaa, kaarshapaaNa, puraaNa, svarNaa) y pesos (pala, krosha) y medidas (angula, hasta) que se discuten en los diversos libros.

El enfoque principal está en la astronomía, pero cada siddhanta discute el principal, el interés, la composición, la tasa de crecimiento, y tales cálculos monetarios también.

Mahavira

Mahavira, el matemático jainista que compuso el Ganita Saara Sangraha, escribió el primer libro de matemáticas, despojado de la astronomía.

La estructura de su libro es que las dos o tres primeras estrofas de cada capítulo explican un algoritmo o fórmula, y el resto de las estrofas son problemas de ese tipo a resolver por el lector.

Su uso de los símbolos Jaina, los templos, los métodos de adoración, los cálculos, etc., son señas de identidad singulares del libro.

Mahavira se deleita con varios tipos de fracciones: bhaaga (fracción simple), prabhaaga( fracciones de fracciones), bhaagaabhaaga (fracciones complejas), etc. Por ejemplo, un problema planteado es el siguiente:

दिवसैसत्रिभिस्सपादैरयोजनषट्कं चतुर्थभागोनम्

गच्छति यः पुरुशोसौ दिनयुतवर्षेण किं कथय ॥३॥

divasais-tribhis-sa-paadair-yojana-shaTkam caturta-bhaaga-unam

Gacchati yaH purusho-asau dina-yuta-varsheNa kim kathaya

Traducción: El hombre (purusha) que (asau) camina (gacchati) un cuarto (caturtha-bhaaga) menos (unam) que seis (shaTka) yojanaas en tres (tribhi) y un cuarto (paadai) de días (divasau), diga (kataya) cuánto (kim) camina en un día (dina) y (yuta) un año (varsha).

Bhaskaracharya

El Lilavati de Bhaskara, autor también del Siddhanta Siromani, es famoso incluso para los que no están familiarizados con las matemáticas, como ejemplo de bella poesía, y tiene una leyenda popular a su alrededor.

Al igual que Mahavira, Bhaskara incluyó varios ejemplos de la vida cotidiana para plantear problemas de matemáticas y, al igual que Varahamihira, se deleitó con su talento poético.

Lilavati es el único libro de matemáticas que suelen citar los diccionarios de sánscrito. Inspiró innumerables comentarios, a lo largo de los siglos, la traducción a múltiples idiomas y se convirtió en el libro de texto estándar de las matemáticas indias.

Bhaskara corrigió la fórmula errónea de Aryabhata para el volumen de una esfera, que se le escapó incluso a Brahmagupta (que corrigió la fórmula errónea de Aryabhata para el volumen de un tetraedro).

También dio los volúmenes correctos para la superficie de una esfera. Su metáfora de una red que cubre una pelota (kandukasya jaalam), para el volumen de una esfera, sugiere que había tropezado con el germen de la idea de los infinetismales y el cálculo. Pero estos campos sólo se desarrollarían en siglos posteriores, en Kerala.

Bhaskara también introdujo el concepto de kha-hara (un número dividido por cero) para el infinito (no sólo el filosófico ananta (sin fin).

Bhaskara fue también de los primeros en proporcionar pruebas de algunas de sus derivaciones, y no dejarlas a los comentaristas, o sólo enseñar a los estudiantes. Después de breves exploraciones de Pingala y Varahamihira, Bhaskara también exploró las permutaciones y combinaciones.

Para la época de Bhaskara, el álgebra se había desarrollado hasta un estado avanzado. Reconoce que se basó en los trabajos de sus predecesores Sridhara y Padmanabha.

Perspectiva histórica

Los matemáticos indios estuvieron utilizando raíces cuadradas irracionales durante mil años y senos y cosenos durante varios siglos antes de descubrir los números negativos. La inspiración para los números negativos proviene del comercio y de la noción de deuda, no de ninguna filosofía religiosa.

Se necesitaron seis siglos y un Bhaskara para corregir el error del volumen de la esfera de Aryabhata. Bhaskara se dio cuenta de que la división por cero da lugar al infinito, pero no comprendió del todo sus consecuencias.

De la serie finita de Aryabhata a la serie infinita de Virasena sólo pasaron dos siglos. Descubrieron series infinitas que sumaban un número finito durante seis siglos antes de cuestionarlo.

Al igual que la máquina de vapor se inventó un siglo antes que la bicicleta, mucho más sencilla, la historia de las matemáticas está repleta de ejemplos de conceptos complejos que se descubren antes que otros mucho más sencillos.

La astronomía inspiró unas matemáticas extraordinarias, pero también engañó y confundió con frecuencia a los más grandes matemáticos.