Nutkání matematiků dělat věci stále složitějšími je požehnáním i prokletím. Jejich snaha vzít myšlenku a roztáhnout ji co nejdále může přinést fascinující nové poznatky. Nevýhodou je, že jak se matematika stává abstraktnější a nabývá na síle popsat obrovské rozlohy konceptuálních znalostí, je stále těžší ji popsat slovy.
S těžkou hlavou tedy obracím pozornost tohoto seriálu o problémech ceny tisíciletí na Hodgeovu domněnku. Je to úžasný průsečík různých oborů matematiky, ale shrnout ho je utrpení na torzu. Protože je tedy Světový den matematiky, začnu slibem: jakmile to bude příliš složité, skončím, dokud jsem vepředu.
Lidé studovali matematiku tvarů dávno předtím, než trojúhelník poprvé upoutal Pythagorovu pozornost kolem roku 500 před naším letopočtem. V průběhu generací se studovaly stále složitější a složitější tvary, až se zhruba o dva tisíce let později zdálo, že jim dochází dech. Matematici udělali s tvary vše, co je napadlo, a cestou poskytli základ pro vše od inženýrství až po perspektivní malbu. Pak si v roce 1637 jeden bystrý mladý matematik-filozof uvědomil, že když se abstrahuje o krok dál, je geometrie vlastně totéž co algebra.
Pomocí karteziánského souřadnicového systému, který dnes nese jeho jméno, Descartes hodně přemýšlel o tom, že geometrická čára je jen souborem čísel. Rovnice mohou také vytvářet množinu čísel jako svá řešení. Pokud by obě tyto množiny čísel byly naprosto stejné, pak by se přímka nakreslená na papíře dala považovat za totéž, co řešení rovnice.
To byl zlomový okamžik v matematice, který umožnil aplikovat všechny nástroje vyvinuté v algebře na geometrii. Proto byl váš učitel matematiky ve škole tak nadšený z převádění lineárních grafů na rovnice: jakoukoli náhodnou přímku si lze představit jako množinu řešení rovnice typu y = mx + c. Jakákoli kružnice je množinou řešení rovnice (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Pokud nyní chcete zjistit, kde určitá přímka protíná určitou kružnici, můžete buď geometricky narýsovat útvary, nebo jen algebraicky porovnat rovnice. Obě metody dají stejnou odpověď.
Matematikové se nespokojili s tím, že by se zastavili u přímek, a rychle zjistili, že složitější rovnice, nebo dokonce soustavy rovnic, které fungují společně, mohou vytvořit úžasné tvary ve všech možných rozměrech. Některé z nich si lze stále představit jako tvary – například rovnice, jejichž množina řešení mapuje povrch kruhu, známého jako torus -, ale mnohé z nich se vymykají tomu, co si dokážeme představit, a jsou přístupné pouze algebře a velmi rozvinuté představivosti.
Jelikož se matematici nyní zabývali objekty, které se vymykají tomu, co si dokážeme představit, začaly se tyto „tvary“ obecně nazývat „algebraické cykly“. Pokud byl algebraický cyklus pěkným hladkým a obecně dobře zvládnutelným útvarem, vysloužil si také označení „mnohotvar“.
Poté se staly hned dvě věci. Zaprvé: skupina matematiků známá jako topologové se začala zabývat tím, co se stane, když nakreslíte tvary na mnohoúhelník. Můžete si představit, že máte kruhovou koblihu a nakreslíte trojúhelník přímo kolem jejího vrcholu (viz obrázek výše). Nebo třeba pětiúhelník.
Vlastně potřebujete obojí? Pokud by se tvar mohl posouvat a roztahovat, pak by se trojúhelník mohl deformovat do pětiúhelníku. Topologové seskupili všechny tvary, které lze deformovat z jednoho do druhého (aniž by se zvedly z povrchu mnohoúhelníku), do „homologické třídy“ – jakéhosi zobecněného tvaru. Všechny tvary, které procházejí „dírou“ koblihy, by tvořily jinou homologickou třídu.
Druhá skupina matematiků, kteří si říkali algebraisté, začala brát množiny rovnic, které již vytvářely pěkné úhledné mnohoúhelníky, a přidávala další rovnice. Tyto dodatečné rovnice vytvářely nové algebraické cykly uvnitř těchto mnohostěnů.
Nedlouho poté si lidé uvědomili, že topologové kreslící homologické třídy na mnohostěny a algebraici vkládající algebraické cykly do mnohostěnů je vlastně totéž. Opakovala se situace, kdy se geometrické útvary poprvé setkaly s algebraickými rovnicemi. Potíž spočívala v tom, že nikdo s jistotou nevěděl, kdy homologická třída na nějakém mnohoúhelníku obsahuje alespoň jeden útvar, který je zároveň popsatelný jako algebraický cyklus.
Shrneme-li to, mnohoúhelník je zvláštní (možná vysokorozměrný) útvar, který lze popsat soustavou rovnic. Přidáním dalších rovnic získáme v rámci tohoto mnohoúhelníku menší tvary, známé jako algebraické cykly.
Problém spočívá v tom, že kdybychom na mnohoúhelník nakreslili libovolný náhodný – případně nepříjemný – tvar, jak bychom poznali, zda jej lze roztáhnout do jiného tvaru, který lze popsat jako pěkný algebraický cyklus?
Skotský matematik William Hodge měl skvělý nápad, jak zjistit, které homologické třídy na daném mnohoúhelníku jsou ekvivalentní algebraickému cyklu. Jenže to nedokázal. Pokud dokážete, že jeho metoda vždy funguje, pak je cena 1 milion dolarů vaše.
Můj problém spočívá v tom, že jsem až dosud mluvil v termínech pěkných obyčejných číselných souřadnic a normálních prostorových rozměrů. Hodgeova domněnka ve skutečnosti používá tzv. komplexní číselné souřadnice a komplexní prostorové rozměry. Takže i když bych vám rád popsal celou domněnku, tohle je přesně ten bod, kde jsem slíbil, že přestanu.
Matt Parker působí na katedře matematiky na Queen Mary, University of London, a najdete ho online na standupmaths.com
Chcete-li se o Hodgeově domněnce dozvědět více, doporučujeme toto video s přednáškou Dana Freeda z Texaské univerzity v Austinu
- Sdílet na Facebooku
- Sdílet na Twitter
- Sdílet e-mailem
- Sdílet na LinkedIn
- Sdílet na Pinterest
- Sdílet na WhatsApp
- Sdílet na Messenger
.