Strana

Written by on in Articles

Funkční rovnice je zhruba řečeno rovnice, ve které jsou některé z řešených neznámých funkcemi. Funkcionálními rovnicemi jsou například následující rovnice:

  • $f(x) + 2f\levá(\frac1x\pravá) = 2x$
  • $g(x)^2 + 4g(x) + 4 = 8\sin{x}$

.

Úvodní témata

Inverzní funkce

Inverzní funkce je funkce, která „ruší“ funkci. Jako příklad uveďme funkci: $f(x) = x^2 + 6$. Funkce $g(x) = \sqrt{x-6}$ má tu vlastnost, že $f(g(x)) = x$. V tomto případě se $g$ nazývá (pravá) inverzní funkce. (Podobně funkce $g$ tak, že $g(f(x))=x$ se nazývá levá inverzní funkce. Obvykle se pravá a levá inverze shodují na vhodném oboru a v takovém případě nazýváme pravou a levou inverzní funkci jednoduše inverzní funkcí). Často se inverzní funkce $f$ označuje $f^{-1}$.

Středně pokročilá témata

Cyklické funkce

Cyklická funkce je funkce $f(x)$, která má vlastnost, že:

$f(f(\cdots f(x) \cdots)) = x$

Klasickým příkladem takové funkce je $f(x) = 1/x$, protože $f(f(x)) = f(1/x) = x$. Cyklické funkce mohou výrazně pomoci při řešení funkčních identit. Uvažujme tuto úlohu:

Najděte $f(x)$ takovou, že $3f(x) - 4f(1/x) = x^2$. V této funkční rovnici nechť $x=y$ a nechť $x = 1/y$. Tím získáme dvě nové rovnice:

$3f(y) - 4f\levá(\frac1y\pravá) = y^2$

$3f\levá(\frac1y\pravá)- 4f(y) = \frac1{y^2}$

Nyní, když první rovnici vynásobíme 3 a druhou rovnici 4 a obě rovnice sečteme, máme:

$-7f(y) = 3y^2 + \frac{4}{y^2}$

Je tedy jasné, $f(y) = -\frac{3}{7}y^2 - \frac{4}{7y^2}$

Příklady úloh

  • 2006 AMC 12A Problem 18
  • 2007 AIME II Problem 14

Viz také

  • Funkce
  • Polynomy
  • Cauchyho funkční rovnice

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna.