Idea

Banachův prostor â¬\mathcal{B} je jak vektorový prostor (nad normovaným polem, jako je â\mathbb{R}), tak úplný metrický prostor, a to kompatibilním způsobem. Tedy úplný normovaný vektorový prostor.

Zdroj jednoduchých Banachových prostorů pochází z úvahy o kartézském prostoru â n\mathbb{R}^n (nebo K nK^n, kde KK je normované pole) s normou:

kde 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty (to nedává smysl pro p=âp = \infty, ale pokud vezmeme limitu jako pââp \na \infty a čteme â â=limⶠnâ n\mathbb{R}^\infty = \underset{\longrightarrow}{\lim}_n \mathbb{R}^n jako přímou limitu (na rozdíl od inverzní limity), dostaneme vzorec â(x 1,â¦,x n)â ââmax i|x i|{\|(x_1,\ldots,x_n)\|_\infty} \coloneqq \max_i {|x_i|}).

Teorie těchto prostorů však není o mnoho složitější než teorie konečných vektorových prostorů, protože všechny mají stejnou základní topologii. Když se však podíváme na nekonečně rozměrné příklady, začnou být věci složitější. Běžnými příklady jsou Lebesgueovy prostory, Hilbertovy prostory a prostory posloupností.

V literatuře se nejčastěji setkáváme s Banachovými prostory nad polem â\mathbb{R} reálných čísel; Banachovy prostory nad polem â\mathbb{C} komplexních čísel se příliš neliší, protože jsou také nad â\mathbb{R}. Lidé je však studují i nad p-adickými čísly. Pokud není uvedeno jinak, předpokládáme dále â\mathbb{R}.

Definice

Nechť VV je vektorový prostor nad polem reálných čísel. (Volbu pole lze poněkud zobecnit.) Pseudonorma (nebo seminorma) na VV je funkce

taková, že:

1. â0ââ¤0 {\|0\|}. \leq 0 ;
2. ârvâ=|r|âvâ {\|r v\|} = {|r|} {\|v\|} (pro rr skalár a vv vektor);
3. âv+wâ¤âvâ+âwâ {\|v + w\|} \leq {\|v\|} + {\|w\|} .

Z výše uvedeného vyplývá, že âvââ¥0{\|v\|} \geq 0; zejména â0â=0{\|0\|} = 0. Norma je pseudonorma, která splňuje opačnou podmínku: v=0v = 0, jestliže âvâ=0{\|v\} = 0.

Norma na VV je úplná, jestliže je dána libovolná nekonečná posloupnost (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) taková, že

existuje (nutně jedinečný) součet SS takový, že

píšeme

(přičemž pravá strana je neurčitá, pokud takový součet neexistuje).

Tedy Banachův prostor je prostě vektorový prostor vybavený úplnou normou. Stejně jako v reálné přímce máme v Banachově prostoru, že

s tím, že levá strana zaručeně existuje, pokud pravá strana existuje jako konečné reálné číslo (levá strana však může existovat, i když pravá strana diverguje, což je obvyklý rozdíl mezi absolutní a podmíněnou konvergencí).

Pokud netrváme na tom, aby byl prostor úplný, nazýváme jej normovaný (vektorový) prostor. Máme-li topologický vektorový prostor takový, že topologie pochází z normy, ale neprovedeme skutečnou volbu takové normy, pak mluvíme o normovatelném prostoru.

Banachovy prostory jako metrické prostory

Tři axiomy pro pseudonormu jsou velmi podobné třem axiomům pro pseudometriku.

V každém pseudonormovaném vektorovém prostoru nechť je vzdálenost d(v,w)d(v,w)

Pak je dd pseudometrická veličina, která je translačně invariantní v tom smyslu, že

vždy platí. A naopak, je-li dána libovolná translačně invariantní pseudometrie dd na vektorovém prostoru VV, nechť âvâ{\|v\|} je

Tedy âââ{\|-\|} splňuje axiomy (1â3) pro pseudonorm, s tím, že může splňovat (2) pouze pro r=0,±1r = 0, \pm 1. (Jinými slovy, je to pouze G-pseudonorma.) Bude to vlastně pseudonorma, pokud pseudometrika splňuje pravidlo homogenity:

Tak pseudonormy odpovídají právě homogenním translačně invariantním pseudometrikám.

Podobně normy odpovídají homogenním translačně invariantním metrikám a úplné normy odpovídají úplným homogenním translačně invariantním metrikám. Vždyť (1) říká, že posloupnost dílčích součtů je Cauchyho posloupnost, zatímco (2) říká, že posloupnost dílčích součtů konverguje k SS.

Takto lze Banachův prostor ekvivalentně definovat jako vektorový prostor vybavený úplnou homogenní translačně invariantní metrikou. Ve skutečnosti se obvykle setkáváme s jakýmsi hybridním přístupem: Banachův prostor je normovaný vektorový prostor, jehož odpovídající metrika je úplná.

Mapy mezi Banachovými prostory

Jsou-li VV a WW pseudonormované vektorové prostory, pak normu lineární funkce f:VâWf\colon V \do W lze definovat jedním z těchto ekvivalentních způsobů:

• âfâ=sup{âfvâ|âvâ¤1} {\|f\|} = \sup \{ {\|f v\|} \;|\; {\|v\|} \leq 1 \} ;
• âfâ=inf{r|âv,âfvâ¤râvâ} {\|f\|} = \inf \{ r \;|\; \forall{v},\; {\|f v\|} \leq r {\|v\|} \} .

(Někdy se vyskytují i jiné tvary, ale ty se mohou v degenerativních případech rozpadat.)

Pro konečný prostor má každá lineární mapa dobře definovanou konečnou normu. Obecně jsou ekvivalentní:

• ff je spojitá (měřeno pseudometrikou na VV a WW) v 00;
• ff je spojitá (všude);
• ff je rovnoměrně spojitá;
• ff je Lipschitzova spojitá;
• âfâ{\|f\|} je konečná (a v konstruktivní matematice lokalizovaná);
• ff je omezená (měřeno bornologiemi danými pseudometrikami na VV a WW).

V tomto případě říkáme, že ff je omezené. Pokud nepředpokládáme, že f:VâWf\colon V \do W je lineární, pak výše uvedené podmínky již nejsou ekvivalentní.

Omezené lineární mapy z VV do WW samy o sobě tvoří pseudonormovaný vektorový prostor â¬(V,W)\mathcal{B}(V,W). Ten bude Banachovým prostorem tehdy (a s výjimkou degenerovaných případů VV pouze tehdy), když WW je Banachovým prostorem. Tímto způsobem je kategorie BanBan Banachových prostorů uzavřenou kategorií s jednotkou â\mathbb{R}.

Bystrý čtenář si všimne, že jsme ještě nedefinovali Ban\mathbf{Ban} jako kategorii! (překvapivě v nLab) Existuje mnoho (neekvivalentních) způsobů, jak to udělat.

Ve funkcionální analýze je obvyklý pojem âisomorfismuâ pro Banachovy prostory omezená bijektivní lineární mapa f:VâWf\colon V \do W taková, že inverzní funkce f â1:WâVf^{-1}\colon W \do V (která je nutně lineární) je také omezená. V tomto případě lze přijmout všechny omezené lineární mapy mezi Banachovými prostory jako morfismy. Analytici to někdy označují jako âizomorfní kategoriiâ.

Další přirozený pojem izomorfismu je surjektivní lineární izometrie. V tomto případě považujeme za morfismus krátkou lineární mapu neboli lineární kontrakci: lineární mapu ff takovou, že âfâ¤1{\|f\|}. \leq 1. Tuto kategorii, kterou teoretici kategorií obvykle označují jako Ban\mathbf{Ban}, analytici někdy nazývají âizometrická kategorie. Všimněte si, že díky tomu je âzákladní množinouâ (ve smyslu Ban\mathbf{Ban} jako konkrétní kategorie, jako je každá uzavřená kategorie) Banachova prostoru jeho (uzavřená) jednotková koule

než množina všech vektorů ve VV (základní množina VV jako vektorového prostoru).

Z pohledu teoretika kategorií je izomorfní kategorie ve skutečnosti úplným obrazem inkluzního funktoru z BanBan do TVSTVS (kategorie topologických vektorových prostorů), který lze označit Ban TVSBan_{TVS}. Pokud pracujete v Ban TVSBan_{TVS}, pak vás zajímá pouze topologická lineární struktura vašeho prostoru (i když vás také zajímá, že ji lze odvodit z nějaké metriky); pokud pracujete v BanBan, pak vás zajímá veškerá struktura na prostoru.

Příklady

Mnoho příkladů Banachových prostorů je parametrizováno exponentem 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty. (Někdy lze také zkusit 0â¤p<10 \leq p \lt 1, ale ty obvykle nedávají Banachovy prostory.)

• Karteziánský prostor â n\mathbb{R}^n je Banachův prostor s

  â(x 1,â¦,x n)â p=â i|x i| pp. {\|(x_1,\ldots,x_n)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}}. .

  (Můžeme povolit p=âp = \infty tím, že vezmeme limitu; výsledkem je, že âxâ â=max i|x i|{\|x\|_infty} = \max_i {|x_i|}.) Každý konečný Banachův prostor je izomorfní s tímto prostorem pro nějaké nn a pp; ve skutečnosti, jakmile stanovíte nn, je hodnota pp irelevantní až do izomorfismu.

• Prostor posloupností l pl^p je množina nekonečných posloupností (x 1,x 2,â¦)(x_1,x_2,\ldots) reálných čísel tak, že

  â(x 1,x 2,â¦)â p=â i|x i| pp {\|(x_1,x_2,\ldots)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}}

  existuje jako konečné reálné číslo. (Jedinou otázkou je, zda součet konverguje. Opět p=âp = \infty je limita s výsledkem, že âxâ â=sup i|x i|{\|x\|_\infty} = \sup_i {|x_i|}.) Pak l pl^p je Banachův prostor s touto normou. To vše jsou verze â â\mathbb{R}^\infty, ale pro různé hodnoty pp již nejsou izomorfní. (Viz třídy izomorfismu Banachových prostorů.)

• Obecněji nechť AA je libovolná množina a nechť l p(A)l^p(A) je množina funkcí ff z AA do â\mathbb{R} takových, že

  âfâ p=â x:A|f(x)| pp {\|f\|_p} = \root p {\sum_{x: A} {|f(x)|^p}}

  existuje jako konečné reálné číslo. (Opět platí, že âfâ â=sup x:A|f(x)|{\|f\|_\infty} = \sup_{x\colon A} {|f(x)|}.) Pak l p(A)l^p(A) je Banachův prostor. (Tento příklad zahrnuje předchozí příklady, neboť AA je spočetná množina.)

• Na libovolném měrném prostoru XX je Lebesgueův prostor â p(X)\mathcal{L}^p(X) množina měřitelných téměř všude definovaných reálných funkcí na XX taková, že

  âfâ p=â“|f| pp {\|f\|_p} = \root p {\int {|f|^p}}}.

  existuje jako konečné reálné číslo. (Opět je jedinou otázkou, zda integrál konverguje. A opět p=âp = \infty je limita, z čehož vyplývá, že âfâ â{\|f\|_\infty} je esenciální supremum |f|{|f|}.) Jako takový je â p(X)\mathcal{L}^p(X) úplný pseudonormovaný vektorový prostor; identifikujeme však funkce, které se téměř všude rovnají, aby se z něj stal Banachův prostor. (Tento příklad zahrnuje i předchozí příklady, pro XX množinu s počítací mírou.)

• Každý Hilbertův prostor je Banachův prostor; to zahrnuje všechny výše uvedené příklady pro p=2p = 2.

Operace na Banachových prostorech

Kategorie BanBan Banachových prostorů je malá úplná, malá kokompletní a symetricky monoidálně uzavřená vzhledem ke své standardní vnitřní hom (popsáno u vnitřní hom). Některé podrobnosti následují.

• Kategorie Banachových prostorů připouští malé produkty. Je dána malá rodina Banachových prostorů {X α}. αâA\{X_\alfa\}_{\alfa \v A}, její součin v BanBan je podprostor vektorového prostorového součinu

  â αâAX α\prod_{\alfa \v A} X_\alpha

  skládající se z AA-násobků â¨x αâ©\langle x_\alpha \rangle, které jsou rovnoměrně omezené (tj. existuje CC takové, že âαâA:âx αââ¤C\pro všechny \alpha \v A: {\|x_\alpha\|}. \leq C), přičemž nejmenší takovou horní hranici bereme jako normu â¨x αâ©\angle x_\alfa \rangle. Tato norma se nazývá â\infty-norma; zejména součin rodiny kopií â\mathbb{R} nebo â\mathbb{C} s indexem AA se obvykle označuje jako l â(A)l^{\infty}(A).

• Kategorie Banachových prostorů připouští ekvalizéry. Ve skutečnosti je ekvalizér dvojice map f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y v BanBanu jádro fâgf-g podle normy zděděné z XX (jádro je uzavřené, protože fâgf-g je spojité, a je tedy úplné). Ve skutečnosti je každý ekvalizér dokonce řezem podle Hahnovy-Banachovy věty. Každý extrémní monomorfismus je dokonce již ekvalizérem (a řezem): Nechť f:XâYf\kolon X \do Y je extremální monomorfismus, ι:â(f)âY\iota\kolon \Im(f) \do Y vnoření Im(f)Im(f) do kodoménu ff a fâ²:XâIm(f)f\prime \kolon X \do Im(f) ff s omezeným kodoménem. Protože fâ²f\prime je epimorfismus, f=ιfâ²f=\iota f\prime a ff je extrémní, fâ²f\prime je izomorfismus, tedy ff je vložení.

• Kategorie Banachových prostorů připouští malé koprodukty. Je dána malá rodina Banachových prostorů {X α}. αâA\{X_\alfa\}_{\alfa \v A}, její koprodukt v BanBan je doplněním koproduktu vektorového prostoru

  ⨠αâAX α\bigoplus_{\alfa \v A} X_\alfa

  s ohledem na normu danou vztahem

  ⨠sâSx sâ=â sâSâx sâ, {\levice\| \bigoplus_{s \in S} x_s \pravice\|} = \sum_{s \in S} {\|x_s\|} ,

  kde SâAS \subseteq A je konečný a âx sâ{\|x_s\|} označuje normu prvku v X sX_s. Tato norma se nazývá 11-norma; zejména koprodukt rodiny kopií â\mathbb{R} nebo â\mathbb{C} s indexem AA se obvykle označuje jako l 1(A)l^1(A).

• Kategorie Banachových prostorů připouští koequalizery. Vskutku, koekvalizátor dvojice map f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y je cokernel fâgf-g podle kvocientové normy (v níž norma cosetu y+Cy + C je minimální norma dosažená prvky y+Cy + C; zde CC je obraz (fâg)(X)(f-g)(X), který je uzavřený). Je standardní, že kvocientová norma na Y/CY/C je úplná za předpokladu, že norma na YY je úplná.

• K popisu tenzorového součinu Xâ BanYX \otimes_{Ban}. Y dvou Banachových prostorů (čímž se BanBan stává symetricky monoidálně uzavřeným vzhledem ke svému obvyklému vnitřnímu hom), nechť F(XÃY)F(X \times Y) je volný vektorový prostor generovaný množinou XÃYX \times Y s normou na typickém prvku definovanou vztahem

  â 1â¤iâ¤na i(x iây i)â=â 1â¤iâ¤n|a i|âx iââ ây iâ. {\levice\| \sum_{1 \leq i \leq n} a_i (x_i \otimes y_i) \right\|} = \sum_{1 \leq i \leq n} {|a_i|} {\|x_i\|} \cdot {\|y_i\|}.

  Nechť F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y) označuje jeho doplnění vzhledem k této normě. Pak vezměme jádro F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y) jako uzávěr podprostoru, který je tvořen zřejmými bilineárními vztahy. Tento kvocient je Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y.

V literatuře o Banachových prostorech se výše uvedený tenzorový součin obvykle nazývá projektivní tenzorový součin Banachových prostorů; viz další tenzorový součin Banachových prostorů. Součin a koprodukt se považují za přímé součty; viz jiné přímé součty Banachových prostorů.

K popisu:

• duály (p+q=pqp + q = p q);
• kompletace (BanBan je reflexivní podkategorie PsNVectPsNVect (pseudonormované vektorové prostory)).
• BanBan jako (poněkud větší) kategorie s duály.

Integrace v Banachových prostorech

Tento odstavec popisuje některé aspekty teorie integrace v Banachových prostorech, které jsou důležité pro pochopení literatury o AQFT. V daném kontextu se prvky Banachova prostoru â¬\mathcal{B} někdy nazývají vektory, funkce nebo míra nabývající hodnot v â¬\mathcal{B} se proto nazývají vektorové funkce a vektorové míry. Funkce a míry nabývající hodnot v poli, na kterém je Banachův prostor definován jako vektorový prostor, se nazývají skalární funkce a skalární míry.

Budeme uvažovat dva typy integrálů:

• integrály vektorových funkcí vzhledem ke skalární míře, konkrétně Bochnerův integrál,

• integrály skalárních funkcí vzhledem k vektorové míře, konkrétně spektrální integrál normálního operátoru na Hilbertově prostoru.

Bochnerův integrál

Bochnerův integrál je přímým zobecněním Lesbegueho integrálu na funkce, které nabývají hodnot v Banachově prostoru. Kdykoli se v literatuře o AQFT setkáte s integrálem funkce nabývající hodnoty v Banachově prostoru, lze předpokládat, že je tím myšlen Bochnerův integrál. Zajímavé jsou dva body, které již vysvětlila Wikipedie:

1. Pro Bochnerův integrál platí verze věty o dominované konvergenci.
2. Existují věty, které pro Bochnerův integrál neplatí, zejména Radonova-Nikodymova věta neplatí obecně.

• Wikipedia

odkaz: Joseph Diestel: âSequences and Series in Banach Spacesâ (ZMATH entry), chapter IV.

Spektrální integrál

Příkladem Banachova prostorového integrálu vzhledem k vektorové míře je integrál vzhledem ke spektrální míře omezeného normálního operátoru na Hilbertově prostoru. V tomto odstavci uvádíme známý, ale poněkud méně často citovaný výsledek, který je užitečný v některých důkazech v některých přístupech k AQFT, je to verze věty o dominované konvergenci pro dané prostředí.

Nechť A je ohraničený normální operátor na Hilbertově prostoru a E je jeho spektrální míra (âresolution of identityâ ve smyslu Dunforda a Schwartze). Nechť Ï(A)\sigma(A) je spektrum A. Pro ohraničenou komplexní Borelovu funkci f pak máme

Vlastnosti

Vztah k bornologickým prostorům

Každá induktivní limita Banachových prostorů je bornologický vektorový prostor. (Alpay-Salomon 13, prop. 2.3)

Každý bornologický vektorový prostor je naopak induktivní limitou normovaných prostorů, a Banachových prostorů, pokud je kvaziúplný (Schaefer-Wolff 99)

• reflexivní Banachův prostor

• projektivní Banachův prostor

• Banachův analytický prostor

Pojmenován po Stefanu Banachovi.

• Walter Rudin, Funkční analýza

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.: âLineární operátory. Part I: General theory.â (ZMATH entry), âLineární operátory. Part II: Spectral theory, self adjoint operators in Hilbert space.â (ZMATH entry)

• Z. Semadeni, Banachovy prostory spojitých funkcí, díl I, Polské vědecké nakladatelství. Warszawa 1971

• Daniel Alpay, Guy Salomon, On algebras which are inductive limits of Banach spaces (arXiv:1302.3372)

• H. H. Schaefer s M. P. Wolffem, Topological vector spaces, Springer 1999

.