Úvod

Příprava objektu, měření na něm a registrace výsledku představují zjednodušený obraz fyzikálního experimentu na objektu. Několikeré opakování téhož postupu umožňuje shromažďovat statistiky (relativní četnosti) registrovaných výsledků. Myšlenka statistické kauzality pak vyjadřuje přesvědčení, že tato statistika by mohla být aproximována a modelována mírou pravděpodobnosti v závislosti na měření a přípravě.

Tento jednoduchý obraz se často uvádí jako intuitivní podklad při formulování pravděpodobnostních fyzikálních teorií objektů, postavených na statistické dualitě mezi pojmy stavů (tříd ekvivalence preparátů) a pozorovatelných objektů (tříd ekvivalence měření), kde je dualita dána pravděpodobnostní funkcí, která každému stavu a každému pozorovatelnému objektu přiřazuje míru pravděpodobnosti, která vypovídá o pravděpodobnostech výsledků měření pro tento pozorovatelný objekt v daném stavu.

V axiomatickém přístupu se snažíme zavést fyzikálně věrohodné struktury pro množiny všech myslitelných stavů (příprav) a pozorovatelných veličin (měření) tak, aby bylo možné určit tvar pravděpodobnostní funkce.

V tomto článku nastíníme takový přístup pro kvantovou mechaniku. V § 2 stručně připomeneme obecný rámec a příslušné struktury Hilbertova prostoru. V §3 je použita Solérova věta k identifikaci obecné ortomodulární struktury s Hilbertovou. Je odhalena role symetrie skryté v této klíčové větě. Nakonec přehlédneme některé argumenty, které naznačují, že kvantovou mechaniku je třeba formulovat v komplexním Hilbertově prostoru (§4).

Základní struktury

(a) Východisko

Nechť S a O jsou dvě neprázdné množiny, množiny všech stavů a všech pozorovatelných veličin studovaného fyzikálního systému. Pozorovatelna jde ruku v ruce s neprázdnou množinou Ω a sigma-algebrou podmnožin Ω. Pozorovatelnu nechť označuje Inline vzorec, nebo jen E. Pozorovatelnu označujeme Inline vzorec. Množinu Ω chápeme jako popis možných výsledků měření pro pozorovatelnou, zatímco prvky σ-algebry chápeme jako testovací množiny, v jejichž rámci se počítají skupiny výsledků. Ve většině aplikací je tato množina podmnožinou (otevřenou nebo uzavřenou) reálné přímky (nebo roviny) a σ-algebra je odpovídající Borelovou množinou.

Základní předpoklad zde sledovaného přístupu je následující: pro každý stav α∈S a pro každou pozorovatelnou E existuje pravděpodobnostní míra , která udává pravděpodobnosti výsledků měření pro pozorovatelnou E ve stavu α. V případě, že je pozorovatelná E ve stavu α, existuje pravděpodobnostní míra .

Množina S stavů je přirozeně obdařena konvexní strukturou a jako takovou ji lze považovat za konvexní podmnožinu reálného vektorového prostoru. Tato struktura umožňuje rozlišovat mezi čistými stavy, extrémními prvky množiny S, a smíšenými stavy, jejími neextrémními prvky. Množinu čistých stavů označujeme ex(S), i když na začátku může být prázdná. Je-li α=λβ1+(1-λ)β2 směs stavů β1,β2 s váhou 0≤λ≤1, pak podle definice konvexní struktury S platí p(α,E,X)=λp(β1,E,X)+(1-λ)p(β2,E,X) pro každou pozorovatelnou E a množinu hodnot . Každá dvojice (E,X) tedy definuje afinní funkci S∋α↦p(α,E,X)∈. Říkáme, že afinní funkce f:S→ je experimentální funkce neboli efekt, jestliže f(α)=p(α,E,X) pro nějakou dvojici (E,X). Nechť E⊂S označuje množinu všech experimentálních funkcí. Je zřejmé, že 0,1∈E a jestliže f∈E, pak také f⊥=1-f∈E. Přirozený řád funkcí S→ dává E strukturu částečně uspořádané množiny s univerzálními hranicemi 0,1 a mapa f↦f⊥ je involuční antiautomorfismus. Je zřejmé, že E nemusí být mřížka (vzhledem k ≤) a mapa f↦f⊥ nemusí být ortokomplementace. Příležitostně můžeme také uvažovat stavy jako funkce na E a psát α(f)=f(α). Ty zachovávají jak řád, tak involuci.

Ukazuje se, že při formulaci axiomů pro teorii se s dvojicí (S,E) stavů a experimentálních funkcí pracuje snadněji než s dvojicí stavů a pozorovatelných veličin. Všimněte si také, že každou f∈E spolu s f⊥∈E lze chápat jako měření ano-ne (nebo dvouhodnotovou pozorovatelnou), přičemž f(α)=p(α,E,X) a f⊥(α)=p(α,E,X′) udávají pravděpodobnosti pro výsledky ano, resp. ne.

(b) Případ Hilbertova prostoru

Než se budeme dále zabývat obecnou strukturou, připomeňme si některé známé aspekty kvantové mechaniky v Hilbertově prostoru. Předpokládejme, že množinu S stavů lze ztotožnit s množinou operátorů kladné stopy jedna na komplexním separovatelném Hilbertově prostoru . Pak se každá experimentální funkce f rozšiřuje na kladný lineární funkcionál na , tedy na třídu samoadjungovaných stop. Proto pro každou f existuje jedinečný kladný jednotkový ohraničený operátor 0≤E≤I takový, že f(α)=tr pro všechna α∈S. Nechť (E,X) je dvojice, pro kterou f(α)=p(α,E,X)=tr. Protože pro libovolné α je mapa X↦p(α,E,X) mírou pravděpodobnosti, dojdeme k závěru, že pozorovatelná E je normalizovaná kladná operátorová míra . Zde je přirozené předpokládat, že množina E všech experimentálních funkcí je ztotožněna s celou množinou operátorů účinků, kladných jednotkových omezených operátorů na .

Dále předpokládáme, že množina experimentálních funkcí E se shoduje s projekční mřížkou . V takovém případě lze na libovolný stav pohlížet jako na míru pravděpodobnosti na . Podle Gleasonovy věty, jestliže libovolná míra pravděpodobnosti na vzniká z jednoznačného kladného stopového operátoru jedna a máme opět stopový vzorec pro pravděpodobnosti: pro libovolnou platí P(α)=α(P)=tr, kde stav α je ztotožněn s prvkem daným Gleasonovou větou. V tomto přístupu je přirozené předpokládat, že množina S stavů se shoduje s množinou všech pravděpodobnostních měr na , a tedy i , takže pozorovatelné objekty lze ztotožnit s normalizovanými projekčně ohodnocenými mírami .

Lze také vycházet z předpokladu, že množina E experimentálních funkcí je ztotožněna s celou množinou operátorů účinků. Pak lze opět libovolný stav při omezení na jeho podmnožinu ztotožnit s prvkem , přičemž stopový vzorec udává pravděpodobnosti.

Nakonec lze předpokládat, že a že libovolný stav α:E→ nejen zachovává pořadí a involuci, ale je také částečně aditivní (tj. pro všechny , jestliže , pak α(A+B)=α(A)+α(B)) a má následující vlastnost spojitosti: Je-li (Ai)i∈I rostoucí síť v , pak . Pak opět bez použití Gleasonovy věty lze každý stav α ztotožnit s jedinečným prvkem a α(E)=tr.

(c) Ortomodulární případ

(i) Obecná struktura

V axiomatickém přístupu založeném na statistické dualitě (S,E) je strategií klást fyzikálně věrohodné předpoklady týkající se možností příprav a měření. Jak Mackeyho přístup (kvantová logika), tak Davies-Lewisův přístup (konvexita) mají toto společné pozadí.

Pro přípravy se typický předpoklad týká existence dostatečně velké množiny čistých stavů (stavů s maximální informací), například v tom smyslu, že tato množina je dostatečně velká na to, aby určovala pořadí experimentálních funkcí. Dalším běžným předpokladem je, že čisté stavy lze nejen připravit, ale také identifikovat pomocí vhodných měření typu ano-ne. Tento předpoklad již prolíná množiny stavů a experimentálních funkcí, ano-ne měření, nad rámec duality. Další předpoklady týkající se struktury množiny E jsou obvykle formulovány jako požadavek na existenci dostatečně velké podmnožiny L⊂E ano-ne měření, která se kvalifikují jako ideální, prvotní a opakovatelná měření.

Od průkopnických prací Mackeyho a Daviese &Lewise , byly výše uvedené typy argumentů v literatuře rozsáhle studovány; viz např. monografie nebo náš nedávný přehled. Nebudeme tyto argumenty opakovat, pouze uvedeme známý konečný výsledek:

• (a) Existuje podmnožina L⊂E efektů, nazývaných propozice nebo ostré efekty, která má strukturu L=(L,≤,⊥,0,1) částečně uspořádané, ortokomplementované, ortomodulární, úplné mřížky s univerzálními hranicemi 0 a 1, která je atomistická, separovatelná, má vlastnost pokrytí a je neredukovatelná.

• (b) Na množinu S stavů lze pohlížet jako na σ-konvexní množinu pravděpodobnostních měr na L, která má postačující množinu ex(S) čistých stavů: pro libovolné a,b∈L platí a≤b, jestliže α(a)≤α(b) pro všechna α∈ex(S).

• (c) Mezi množinami ex(S), čistých stavů S, a At(L), atomů L, existuje bijektivní korespondence daná projekcí podpory α↦s(α), přičemž s(α) je nejmenší prvek, pro který α(b)=1,b∈L.

Komentujeme zde pouze dvě snad nejtechničtěji vypadající vlastnosti: separovatelnost a neredukovatelnost. Každou pozorovatelnu E, jejíž přidružené experimentální funkce jsou výroky (nebo ostré efekty), lze považovat za σ-homomorfismus , přičemž rozsah je logickou subσ-algebrou L. Separabilita L znamená, že každou logickou subσ-algebru L lze považovat za rozsah pozorovatelny s prostorem reálných hodnot . Neredukovatelnost L ukazuje, že dualita (S,E) popisuje vlastní kvantový objekt. Tato vlastnost totiž vyplývá například z předpokladu, že pro libovolné dva čisté stavy α,β∈ex(S), α≠β existuje třetí γ∈ex(S), α≠γ≠β, který je jejich superpozicí (např. v tom smyslu, že podpora γ je obsažena ve spojení podpor α a β).

Mapa ⊥, je-li omezena na L, je skutečně ortokomplementací a činí L ortomodulární; to znamená, že pro libovolné a,b∈L, je-li a≤b, pak b=a∨(a∧b⊥). Připomeňme, že o a a b se říká, že jsou vzájemně ortogonální, a⊥b, jestliže a≤b⊥. Právě tyto struktury umožňují definovat pravděpodobnostní míry na L. Označme Prob(L) množinu všech pravděpodobnostních měr na L; tj. všechny mapy μ:L→, pro které pro libovolnou posloupnost párově ortogonálních prvků ai∈L. Podle bodu (b) je množina S stavů sigma-konvexní podmnožinou Prob(L) a podle bodu (c) jsou čisté stavy v korespondenci jedna ku jedné onto s atomy L. Ačkoli je to zřejmé, zdůrazňujeme, že množina stavů může být vlastní podmnožinou všech pravděpodobnostních měr na L.

Je známo, že množina L výroků s vlastnostmi podle výše uvedeného bodu (a) připouští vektorovou prostorovou koordinaci.

(ii) Ortomodulární realizace prostoru

Nechť (V,K,*,f) je hermitovský prostor, to znamená, že V je (levý) vektorový prostor nad dělicím kruhem K, mapa K∋λ↦λ*∈K je involutivní antiautomorfismus a mapa V ×V ∋(u,v)↦f(u,v)∈K je (nesingulární) hermitovská forma.

Říká se, že podprostor M⊂V je f-uzavřený, jestliže M=M⊥⊥, kde

Množina Lf(V) všech f-uzavřených podprostorů V tvoří neredukovatelnou úplnou ortokomplementovanou mřížku vzhledem k inkluzi podmnožiny ⊆ a mapě M↦M⊥. Je také atomistická a má krycí vlastnost. Obsahuje všechny konečněrozměrné podprostory a jednorozměrné podprostory ={λv | λ∈K},v≠0, jsou atomy Lf(V). Je známo, že mřížka Lf(V) je ortomodulární právě tehdy, když je prostor (V,K,*,f) ortomodulární ; to znamená, jestliže pro libovolné M∈Lf(V),

Opačné tvrzení je souborem základních výsledků z projektivní geometrie. Podrobné důkazy jsou uvedeny v knihách Varadarajana a Maedy & Maeda . Tento výsledek předpokládá, že délka mřížky L, tedy délka maximálního řetězce v L, je alespoň 4, což znamená, že vektorový prostor V je alespoň trojrozměrný.

Věta 2.1

Je-li délka alespoň 4, pak existuje ortomodulární prostor (V,K,*,f) takový, že mřížka z f-uzavřených podprostorů V je orto-izomorfní k, zkráceně řečeno,.

Množinu S stavů lze nyní identifikovat jako podmnožinu všech pravděpodobnostních měr na Lf(V), tedy S⊂Prob(Lf(V)); každá α∈S má svou podporu s(α)∈Lf(V) a každá M∈Lf(V) je podporou nějaké α∈S. Navíc čisté stavy α∈ex(S) jsou v jedno-na-onto korespondenci s atomy ∈Lf(V) a jsou jednoznačně určeny svými hodnotami na atomech, tj. čísly α()∈. Je zřejmé, že pokud je (V,K,*,f) klasický ortomodulární prostor, to je Hilbertův prostor nad , pak f je vnitřní součin a podle Gleasonovy věty

pro libovolné v′∈,v′≠0,u′∈,u′≠0. V tomto případě se množina Prob(Lf(V)) všech pravděpodobnostních měr na Lf(V) shoduje s množinou stavů S objektu, protože nyní.

Z výše uvedených obecných struktur týkajících se dvojice (S,L), L⊂E vyplývá, že ortomodulární vektorový prostor V musí připouštět bohatou množinu pravděpodobnostních měr na Lf(V). V případě konečných rozměrů to nestačí k tomu, aby se z prostoru stal Hilbertův prostor. Jestliže totiž , , , s mapou identity jako involucí , pak je ortomodulární prostor. Množina je množina všech podprostorů a pro každý z nich výše uvedená formule definuje míru pravděpodobnosti na . Jestliže označuje σ-konvexní trup všech takových pravděpodobnostních měr na , pak dvojice sdílí všechny vlastnosti uvedené ve výše uvedených bodech (a)-(c), i když není Hilbertův prostor. V tomto případě je správnou podmnožinou . (Podrobnosti viz .) Existují také nekonečně rozměrné ortomodulární prostory, které nejsou Hilbertovými prostory, ale připouštějí bohaté množiny pravděpodobnostních měr . Je však stále otevřenou otázkou, zda nekonečně rozměrný ortomodulární prostor s vlastnostmi (b) a (c) musí nebo nemusí být Hilbertovým prostorem.

Solérova věta charakterizuje Hilbertovy prostory mezi nekonečně rozměrnými ortomodulárními prostory s vlastností, která je alespoň částečně otevřená operačnímu zdůvodnění. K této otázce se obrátíme příště.

Solérova věta a symetrie

(a) Solérova věta

Uvažujme opět statistickou dualitu (S,E) s vlastnostmi (a)-(c) z §2c(i). Podle separability L je každá vzájemně ortogonální rodina prvků v L nejvýše spočetně nekonečná. Je přirozené předpokládat, že takové spočetně nekonečné posloupnosti existují; například v nejpřirozenějším případě, kdy uvažovaný fyzikální objekt lze lokalizovat v euklidovském prostoru, je tato podmínka zaručena. Předpokládáme tedy, že existuje alespoň jedna nekonečná posloupnost vzájemně ortogonálních atomů v L. V tomto případě je ortomodulární prostor (V,K,*,f) spojený s L nekonečně rozměrný a existuje alespoň jedna nekonečná posloupnost (nenulových) vektorů (ei)⊂V, která je ortogonální; to znamená, že f(ei,ej)=0 pro všechna i≠j. Mezi takovými ortomodulárními prostory charakterizuje Hilbertovy prostory Solérova věta.

Věta 3.1

Nechť (V,K,*,f) je nekonečně rozměrný ortomodulární prostor. Existuje-li nekonečná ortogonální posloupnosts vlastností

3.1

pak K je(reálná čísla),(komplexní čísla) nebo(kvaterniony) a (V,K,*,f) je odpovídající Hilbertův prostor. Proje involucí * mapa identity, proje to komplexní konjugace a proje to kvaternionová konjugace.

Dodatečná „normová podmínka“ (3.1) vypadá zcela nevinně, ale ve skutečnosti je velmi silnou podmínkou, jak lze pochopit z Kellerovy práce . Ačkoli je tato vlastnost vyjádřena formou f a nesouvisí přímo s vlastnostmi duality, má k ní vztah prostřednictvím teorie symetrie.

(b) Symetrie

V kvantové mechanice existuje několik přirozených formulací pojmu symetrie a všechny se ukazují jako ekvivalentní (např. ). To zůstává v platnosti i pro statistické duality s vlastnostmi (a)-(c) v §2c(i). Z hlediska aplikace teorie symetrie v kontextu věty 3.1 přijmeme následující definici pojmu symetrie: Symetrie je bijektivní mapování ℓ:At(L)→At(L), které je takové, že pro libovolné p,q∈At(L) jsou atomy p a q vzájemně ortogonální tehdy a jen tehdy, když jejich obrazy ℓ(p) a ℓ(q) jsou takové. Připomeňme, že pro Lf(V) jsou atomy a ortogonální právě tehdy, když f(v′,u′)=0 pro některé, a tedy všechny nenulové vektory v′∈, u′∈. Protože atomy a čisté stavy jsou v korespondenci jedna ku jedné onto, můžeme stejně dobře uvažovat symetrii jako bijekci na ex(S) s tím, že vzájemná ortogonalita čistých stavů znamená vzájemnou ortogonalitu odpovídajících atomů, nosičů čistých stavů.

Stejně jako v teorii Hilbertova prostoru lze libovolnou symetrii ℓ realizovat pomocí mapy S působící na základní vektorový prostor V . Rozšíříme-li totiž symetrii ℓ:At(L)→At(L) na projektivitu (V,K,*,f), tj. bijekci zachovávající řád na mřížce všech podprostorů V (např. ), dává první základní věta o zobrazení projektivní geometrie spolu s nekonečně rozměrnou verzí Birkhoffovy-von Neumannovy věty následující výsledek.

Věta 3.2

Pro každou symetrii existuje bijektivní g-lineární mapa S:V →V zachovávající ortogonalitu taková, že pro libovolné v∈V , v≠0, ℓ()={Sv′ | v′∈}. Je-li T jiná bijektivní h-lineární mapa V →V vyvolávající stejnou symetrii, pak existuje λ∈K taková, že Sv=λTv pro libovolné v∈V . Navíc existuje ρ∈Cent(K), ρ≠0, ρ=ρ*, takové, že

3.2

pro všechna u,v∈V .

Připomínáme, že pojem g-lineární mapy S:V →V znamená, že S je aditivní na V , g:K→K je izomorfismus a S(λv)=g(λ)Sv pro všechna v∈V,λ∈K.

Lemma 3.3

Nechť , jsou libovolné dva vzájemně ortogonální atomy vLf(V). Existují-li nenulové vektoryx′∈ ay′∈ takové, že

, pak existuje symetrie ℓ, která prohodí atomy a , tj. ℓ()= a ℓ()= a má jejich superpozici jako pevný bod, tj. existuje atom ≤∨ takový, že ℓ()=.

Toto lemma, dokázané v , naznačuje, že aby statistická dualita (S,E) s vlastnostmi (a)-(c) z §2c(i) měla realizaci v Hilbertově prostoru, musí být množina symetrií dostatečně bohatá. Stojí za to zdůraznit, že v tomto lemmatu hraje roli pojem superpozice čistých stavů, který stojí i za neredukovatelností L . Dále je zajímavé připomenout, že kvantový objekt je elementární vzhledem k grupě symetrií G, jestliže existuje grupový homomorfismus definovaný na G a nabývající hodnot v množině Sym(L) všech symetrií At(L) tak, že pro každý čistý stav α∈ex(S) je množina {ℓg(α) | g∈G} úplná ve smyslu superpozic, to znamená, že každý jiný čistý stav β∈ex(S) lze vyjádřit jako superpozici některých čistých stavů ℓg(α), g∈G .

Předpokládejme nyní, že pro libovolné dva vzájemně ortogonální atomy a existuje symetrie ℓ taková, že ℓ()= a ℓ()= pro nějaké ≤∨. Nechť S,g,ρ je trojice, která implementuje ℓ podle věty 3.2. Pro každé y′∈ existuje x′∈ takové, že Sx′=y′. Pak platí f(y′,y′)=f(Sx′,Sx′)=g(ρ)g(f(x′,x′)). Předpokládejme, že forma f je taková, že pro každé v∈V je číslo f(v,v) komutujícím prvkem K, tj. f(v,v)∈Cent(K), pak pro každé z′∈ platí Sz′=λz′ pro nějaké λ∈K, a tedy λλ*f(z′,z′)=f(λz′,λz′)=g(ρ)g(f(z′,z′)). Tato rovnice dává g(ρ)=λλ* za předpokladu, že g(f(z′,z′))=f(z′,z′). Pak také f(y′,y′)=f(λx′,λx′), což je to, co potřebujeme ve větě 3.

Výše uvedená pozorování ukazují, že je-li množina symetrií dostatečně početná v tom smyslu, že pro každou dvojici ortogonálních atomů existuje symetrie, která atomy prohodí a zachovává jejich superpozici jako pevný bod, a je-li tvar f dostatečně pravidelný v tom smyslu, že pro každé v∈V , f(v,v)∈Cent(K) a g(f(v,v))=f(v,v) pro libovolný automorfismus g K, pak jsou splněny podmínky Solérovy věty, a tudíž nekonečně rozměrný ortomodulární prostor (V,f,*,K) modelující statistickou dualitu (S,E) s vlastnostmi (a)-(c) §2c(i) je Hilbertův prostor nad nebo .

Dospějeme k závěru, že až na otázku regulárnosti formy je nutnost realizace statistické duality (S,E) kvantového systému v nekonečně rozměrném Hilbertově prostoru dobře pochopena.

Případ pro

Zůstává nám otázka volby číselného pole. Na tuto otázku nejsme schopni dát jednoznačnou odpověď, ale chceme poukázat na některé, v podstatě dobře známé výsledky, které ve svém souhrnu podporují volbu komplexního pole jako pole pro kvantovou mechaniku.

Je dobře známo, že základní struktury kvantové mechaniky jsou stejně platné v každém ze tří případů nekonečně rozměrného Hilbertova prostoru nad nebo . Podle Gleasonovy věty , věty 4.23, lze stavy systému ztotožnit s kladnými operátory jednotkové stopy a pozorovatelné veličiny jako normalizované míry kladných operátorů , přičemž stopová formule tr udává pravděpodobnosti výsledků měření. Navíc ostré (projekčně oceněné) pozorovatelnosti jsou v jedno-na-onto korespondenci se samoadjungovanými operátory , věta 4.11; pro systematické studium teorie operátorů v kvaternionových Hilbertových prostorech (např. ). Navíc se Solérovou větou se věta 3.2 redukuje na Wignerovu větu , větu 4.29.

Stejně tak je známo, že tyto tři případy vykazují některé pozoruhodné rozdíly. Pouze v komplexním případě odpovídají jednoparametrickým unitárním grupám prostřednictvím Stoneovy věty samoadjungované operátory A působící v . V reálném a kvaternionovém případě to znamená důležité změny ve struktuře pozorovatelných veličin definovaných z hlediska jejich charakteristických symetrických vlastností (např. , kap. 22, , kap. 18, ). Připomínáme také, že existují symetrické transformace, které lze realizovat pouze v komplexním případě (např. ). Navíc se zdá, že odvoditelnost Heisenbergova-Kennardova-Robertsonova typu vztahů neurčitosti přípravy a operace zvratu času vyžadují komplexní čísla (např. , s. 66, , , s. 47-49). Zejména se zdá, že systematická interpretace kvantové mechaniky v reálném Hilbertově prostoru efektivně vyžaduje její zasazení do prostoru komplexního. Proto, ačkoli to není logickou nutností, lze použít Occamovu břitvu a odložit reálný případ jako zbytečnou komplikaci ve srovnání s formulací kvantové mechaniky v komplexním Hilbertově prostoru.

A co kvaterniony? Z hlediska Adlerovy rozsáhlé monografie Quaternionic Quantum Mechanics and Quantum Fields , by se mohlo zdát nemístné tuto možnost zpochybňovat. Z matematického hlediska, a také ve shodě s , by se však dalo poukázat na to, že většina důležitých výsledků teorie operátorů v kvaternionových Hilbertových prostorech se získává redukcí na komplexní případ pomocí techniky „řezu“, jak byla použita např. v . Stejně jako v reálném případě lze tedy Occamovu břitvu použít i pro vyloučení kvaternionů. V kvaternionové kvantové mechanice však existuje zásadní problém, a to problém složených systémů. Tento bod stručně probereme dále.

Teorie složených systémů je jednou z nejpodstatnějších částí kvantové mechaniky, a to jak ze základního, tak z praktického hlediska. Nechť tedy (S,L,E), (S1,L1,E1) a (S2,L2,E2) jsou statistické popisy tří vlastních kvantových systémů , respektive , a nechť , , i=1,2, udávají jejich realizace v Hilbertově prostoru, přičemž K,Ki je v každém případě jedna z nebo .

Předpokládejte, že je kompozicí a ; to znamená, že a jsou podsystémy a je složen z nich a z ničeho jiného. Z této myšlenky vyplývají některé zřejmé požadavky týkající se statistických popisů těchto tří systémů (např. , kap. 24). Zejména musí existovat injektivní unitální morfismy (rozpoznávací mapy) hi:Li→L takové, že pro každé a1∈L1,a2∈L2 jsou výroky h1(a1),h2(a2)∈L kompatibilní (společně měřitelné) a pro libovolné dva atomy (čisté stavy) p1∈At(L1) a p2∈At(L2) je h1(p1)∧h2(p2) atomem (čistým stavem) L.

Analogicky s větou 3.2 lze ukázat, že mapu

lze v tomto kontextu realizovat (g1,g2)-bilineární mapoutak, že

(viz , věta 2.22, nebo , věta 9 a , věta 24.4.1). Zejména z toho vyplývá, že morfismy gi:Ki→K komutují s příslušnými involucemi, tedy, pro každé λi∈Ki, i mezi sebou navzájem, tedy g1(λ1)g2(λ2)=g2(λ2)g1(λ1) pro všechna λi∈Ki.

Uvažujme nyní kvaternionový případ; tj. předpokládejme, že (a tedy i ). Protože každý automorfismus je vnitřní, máme nyní za to, že oba gi jsou tvaru pro nějaký . Neexistuje však žádný s |c1|=|c2|=1, pro který by platil

pro všechny. To nás vede k závěru, že kvantová mechanika na kvaternionových Hilbertových prostorech není schopna popsat složené systémy, jak byly formalizovány v termínech výše popsaných rozpoznávacích map. Je zřejmé, že tento výsledek díky , souvisí s problémem tenzorového součinu kvaternionských Hilbertových prostorů (např. ).

Na druhé straně, jestliže , pak také , věta 12, v takovém případě jsou funkce g1,g2 buď identity, nebo komplexní konjugace. Tyto čtyři případy (g1,g2) vedou ke čtyřem řešením tenzorového součinu: , , a , přičemž je duální prostor (viz nebo , kap. 24). Přestože základní Hilbertovy prostory jsou izomorfní pouze ve dvojicích a , logiky (projekční mřížky) jsou v každém případě izomorfní. Proto je považujeme za ekvivalentní a volíme , ostatní volby se tak jeví spíše jako zbytečné komplikace.

Závěr

V obecném rámci pravděpodobnostních fyzikálních teorií lze klást fyzikálně věrohodné předpoklady týkající se možností příprav a měření na fyzikálním systému tak, že výsledná teorie má v podstatě podobu kvantové mechaniky na nekonečně rozměrném Hilbertově prostoru nad reálnými čísly, komplexními čísly nebo kvaterniony. V každém případě zůstávají v platnosti základní rysy kvantové mechaniky: stavy jako kladné operátory stopové jedničky, pozorovatelné veličiny jako normalizované míry kladných operátorů a Bornovo pravidlo (stopová formule) udávající pravděpodobnosti výsledků měření. V reálných a kvaternionových případech se však definování konkrétních pozorovatelných ve smyslu jejich přirozených symetrických vlastností stává ošemetným. Tyto komplikace lze každopádně zvládnout, v reálném případě vložením reálného Hilbertova prostoru do komplexního, v kvaternionovém případě redukcí teorie na komplexní teorii. Zdá se tedy, že obě možnosti znamenají ve srovnání s komplexní teorií jen zbytečné komplikace. Navíc kvaternionová kvantová mechanika trpí tím, že není schopna popsat složené systémy.

Dostupnost dat

V tomto článku nejsou žádná další data.

Příspěvky autorů

Tento článek je vedlejším produktem dlouhodobé spolupráce autorů. Autoři mají stejné vzájemně provázané příspěvky.

Konkurenční zájmy

Prohlašujeme, že nemáme žádné konkurenční zájmy.

Financování

Na tuto studii jsme neobdrželi žádné finanční prostředky.

Poznámky

Jeden z 15 příspěvků do tematického čísla „Druhá kvantová revoluce: základní otázky“.

Tento článek věnujeme profesoru Maciejovi Ma̧czynskému u příležitosti jeho 80. narozenin.

.