Toto je část seriálu o častých mylných představách.

Pravda nebo lež?

Nekonečno je číslo na konci reálné číselné řady.

Proč někteří lidé tvrdí, že je to pravda: protože nekonečno je číslo, které je větší než všechna ostatní čísla.

Proč někteří lidé tvrdí, že je to nepravda: protože nekonečno není číslo a číselná řada nemá konec.

Tvrzení je nepravdivé \color{#D61F06}{\textbf{nepravdivé}}.

Důkaz:

Pracuje se zde s mylnou představou, že „pokud budete pokračovat nahoru po číselné řadě kolem stále větších a větších počítacích čísel, pak se nakonec počítací čísla prostě vzdají (někde za bodem, kdy učitele přestane bavit dělat tykání) a bude tam znaménko nekonečna (∞\infty∞), které označuje konec číselné řady“. Případně někteří říkají, že „nekonečno je na konci číselné přímky, ale stále existuje nekonečně mnoho čísel menších než nekonečno a mezi nekonečnem a jakýmkoli jiným bodem na přímce“. Obě tyto představy mají kořeny v pojmech souvisejících s počítáním; obě jsou však v zásadě nesprávné.

Když váš učitel „ukončí číselnou řadu“ pomocí ∞\infty∞, jedná se ve skutečnosti o zavádějící zkratku, která představuje, že číselná řada pokračuje donekonečna. Méně zavádějícím způsobem, jak tento pojem vyjádřit, by mohlo být prodloužení číselné řady pomocí šipky. To, že celá čísla pokračují i poté, co se rozhodneme jejich zápis ukončit, bychom mohli dodatečně naznačit pomocí běžného zápisu obecných řad: „n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,…“, abychom v tomto případě popsali množinu všech nezáporných celých čísel. Tato množina je také běžně známá jako „přirozená čísla (N\mathbb{N}N)“ nebo jako „nezáporná celá čísla“.

Nedorozumění spočívá ve volbě považovat ∞\infty∞ za celé číslo nebo za jedno z reálných čísel. To není totéž jako domnívat se, že ∞\infty∞ je „reálné“ nebo „nereálné“ v anglickém slova smyslu. Nekonečno je „skutečný“ a užitečný pojem. Nekonečno však není členem matematicky definované množiny „reálných čísel“, a proto není číslem na řadě reálných čísel.

Množina reálných čísel, R\mathbb{R}R, je na většině předškolních škol vysvětlována, místo aby byla definována. A i pak je obvykle vysvětlena jen stručně, s popisem ve smyslu „všechny body na číselné přímce“ a s dodatečným doplněním, že „záporná reálná čísla jsou ta nalevo od 0 a kladná čísla jsou ta napravo od 0“.

Většina studentů se neučí rigorózní definici reálných čísel, pokud se nestanou matematiky na univerzitě. Jednou z nejběžnějších definic, kterou se pak naučí, je, že reálná čísla jsou množinou Dedekindových řezů racionálních čísel. Při jakékoli rigorózní definici reálných čísel je okamžitě zřejmé, že „nekonečno“ není členem množiny reálných čísel.

Vyvrácení: Při studiu limit se s nekonečnem (∞\infty∞) zachází stejně jako s jakýmkoli jiným číslem. Proč to v kalkulech děláme, když nekonečno vlastně není číslo?“

Odpověď: Způsob, jakým se s nekonečnem zachází, zavádějícím způsobem naznačuje, že nekonečno je jen další číslo. Například u funkce s horizontální asymptotou v bodě 5 můžeme říci, že limita f(x)f(x)f(x), když se xxx blíží nekonečnu, je pět: Pokud má f(x)x→∞=5f(x)_{x\rightarrow \infty} = 5f(x)x→∞=5, a pokud má f(x)f(x)f(x) vertikální asymptotu v bodě 171717, naučíme se říkat, že f(x)x→17=∞f(x)_{x\rightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Toto je první seznámení mnoha studentů s ∞\infty∞ a je to velmi zavádějící úvod, protože z něj vyplývá, že s ∞\infty∞ lze zacházet jako s číslem, které je prostě „větší než všechna ostatní čísla“.

V tomto kontextu je však nekonečno jen zkratkou pro dobře definovaný pojem funkce, která nemá limitu žádné reálné hodnoty, ale naopak roste neomezeně do nekonečna. Podrobněji viz wiki o limitech funkcí!

Odmítnutí: V učebnicích matematiky jsem nekonečno určitě viděl a někdy je definováno jako číslo větší než všechna nekonečná čísla. Proč tam je, když to není skutečný matematický pojem?“

Odpověď:

Vyjádřil jsem se k tomu, že je to nekonečno: Ve skutečnosti existují matematické množiny čísel, jako jsou kardinální a ordinální čísla, v nichž je mnoho různě definovaných verzí ∞\infty∞. A přísně definované číselné soustavy, které obsahují ∞\infty∞, mají mnoho cenných aplikací. Například v soustavě kardinálních čísel je nekonečno vlastně mírou toho, kolik je reálných čísel. Množina reálných čísel R\mathbb{R}R je však definována tak, že vynechává jakoukoli verzi nekonečna.

Při uvažování o kardinálních číslech navíc musíme změnit svou intuici ohledně nekonečna: není to číslo ve smyslu „číselné řady“, jak se uplatňuje u reálných čísel. Místo toho je to pojem pro měření a porovnávání velikostí množin.