Indikátorové funkce

Written by on in Articles

podle Marco Taboga, PhD

Indikátorová funkce události je náhodná proměnná, která nabývá hodnoty 1, když událost nastane, a hodnoty 0, když událost nenastane. Indikátorové funkce se často používají v teorii pravděpodobnosti pro zjednodušení zápisu a pro důkaz teorémů.

Obsah

Definice

Následuje formální definice.

Definice Nechť Omega je výběrový prostor a $Esubseteq Omega $ je událost. Indikátorová funkce (neboli indikátorová náhodná veličina) události E, označená $1_{E}$, je náhodná veličina definovaná takto:

Zatímco indikátor události E se obvykle označuje $1_{E}$, někdy se také označuje, kde $chi $ je řecké písmeno Chi.

Příklad Házíme kostkou a jedno ze šesti čísel od 1 do 6 se může objevit lícem nahoru. Vzorový prostor jeDefinice události popsané větou „Sudé číslo se objeví lícem nahoru“. Náhodná proměnná, která nabývá hodnoty 1, když se sudé číslo objeví lícem nahoru, a hodnoty 0 v opačném případě, je indikátorem události E. Případová definice tohoto indikátoru je

Z výše uvedené definice lze snadno zjistit, že $1_{E}$ je diskrétní náhodná veličina s podporou a pravděpodobnostní hmotnostní funkcí

Vlastnosti

Indikátorové funkce mají následující vlastnosti.

Mocniny

nTřetí mocnina $1_{E}$ je rovna $1_{E}$:protože $1_{E}$ může být buď 0 nebo 1 a

Očekávaná hodnota

Očekávaná hodnota $1_{E}$ je rovna :

Rozptyl

Rozptyl $1_{E}$ je roven . Díky obvyklému vzorci pro rozptyl a výše uvedené vlastnosti mocnin dostáváme

Rozptyl

Jsou-li E a F dvě události, pakprotože:

  1. jestliže $omega v Ecap F$, pak a

  2. jestliže , paka

Ukazatele událostí s nulovou pravděpodobností

Nechť E je událost s nulovou pravděpodobností a X je integrovatelná náhodná veličina. Potom,Ačkoliv rigorózní důkaz této skutečnosti přesahuje rámec tohoto úvodního výkladu, měla by být tato vlastnost intuitivní. Náhodná veličina je rovna nule pro všechny výběrové body omega s výjimkou případně bodů $omega v E$. Očekávaná hodnota je vážený průměr hodnot, kterých může nabývat $X1_{E}$, přičemž každá hodnota je vážena příslušnou pravděpodobností. Nenulové hodnoty, kterých $X1_{E}$ může nabývat, jsou váženy nulovou pravděpodobností, takže musí být nula.

Řešená cvičení

Níže najdete několik cvičení s vysvětleným řešením.

Cvičení 1

Uvažujme náhodnou veličinu X a další náhodnou veličinu Y definovanou jako funkce X.

Vyjádřete Y pomocí indikačních funkcí událostí a .

Řešení

Značte indikátor události a označte indikátor události . Y můžeme zapsat jako

Cvičení 2

Nechť X je kladná náhodná veličina, tj. náhodná veličina, která může nabývat pouze kladných hodnot. Nechť $c$ je konstanta. Dokažte, že kde je indikátor události .

Řešení

Nejprve si všimněte, že součet ukazatelů a je vždy roven 1:V důsledku toho můžeme psátNyní si všimněte, že je kladná náhodná veličina a že očekávaná hodnota kladné náhodné veličiny je kladná:Takže,

Cvičení 3

Nechť E je událost a její indikační funkci označme $1_{E}$. Nechť $E^{c}$ je doplněk E a jeho indikační funkci označme $1_{E^{c}}$. Můžete vyjádřit $1_{E^{c}}$ jako funkci $1_{E}$?

Řešení

Součet obou ukazatelů je vždy roven 1:Takže,

Jak citovat

Citujte prosím:

Taboga, Marco (2017). „Indikátorové funkce“, Přednášky z teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky, třetí vydání. Kindle Direct Publishing. Online příloha. https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/indicator-functions.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna.