Bernoulliho zákon
Dosud jsme se zaměřovali na tekutiny v klidu. Tato část se zabývá tekutinami, které jsou v ustáleném pohybu tak, že se rychlost tekutiny v každém daném bodě v prostoru s časem nemění. Jakýkoli vzor proudění, který je v tomto smyslu ustálený, lze vidět v podobě souboru proudnic, trajektorií imaginárních částic zavěšených v tekutině a nesených spolu s ní. Při ustáleném proudění je tekutina v pohybu, ale proudnice jsou neměnné. Tam, kde se proudnice shlukují, je rychlost kapaliny relativně vysoká; tam, kde se rozevírají, kapalina relativně stagnuje.
Když Euler a Bernoulli pokládali základy hydrodynamiky, považovali tekutinu za idealizovanou inviscidní látku, ve které jsou stejně jako v klidové tekutině v rovnováze smyková napětí spojená s viskozitou nulová a tlak p je izotropní. Dospěli k jednoduchému zákonu vztahujícímu se ke změně p podél proudnice ke změně v (tento princip je připisován Bernoullimu, ale zdá se, že Euler na něj přišel jako první), který slouží k vysvětlení mnoha jevů, které vykazují skutečné tekutiny v ustáleném pohybu. Na nevyhnutelnou otázku, kdy a proč je oprávněné zanedbat viskozitu, neexistuje jediná odpověď. Některé odpovědi budou uvedeny později v tomto článku, ale nejprve se budeme věnovat jiným otázkám.
Považujme malý prvek tekutiny o hmotnosti m, na který – kromě síly působící na něj v důsledku gravitace – působí pouze tlak p. Ten je izotropní a nemění se v čase, ale může se měnit od bodu k bodu v prostoru. Je známým důsledkem Newtonových pohybových zákonů, že když se částice o hmotnosti m pohybuje pod vlivem své hmotnosti mg a přídavné síly F z bodu P, kde je její rychlost vP a výška zP, do bodu Q, kde je její rychlost vQ a výška zQ, je práce vykonaná přídavnou silou rovna přírůstku kinetické a potenciální energie částice – tj, že
V případě uvažovaného tekutinového prvku lze F jednoduše vztáhnout ke gradientu tlaku a zjistíme
Jsou-li změny hustoty tekutiny podél proudnice z P do Q zanedbatelně malé, lze faktor ρ-1 vzít mimo integrál na pravé straně (131), který se tím redukuje na ρ-1(pQ – pP). Pak lze (130) a (131) zkombinovat a získat
Protože to platí pro libovolné dva body, které může navštívit jeden prvek tekutiny, lze okamžitě odvodit důležitý Bernoulliho (nebo Eulerův) výsledek, že podél každé proudnice při ustáleném proudění inviscidní tekutiny je veličina
je konstantní.
Za jakých okolností jsou změny hustoty zanedbatelně malé? Když jsou velmi malé ve srovnání se samotnou hustotou – tj. když
když se symbol Δ používá k vyjádření rozsahu změny podél proudnice veličiny, která ji sleduje, a kde Vs je rychlost zvuku (viz níže Stlačitelné proudění v plynech). Tato podmínka je splněna pro všechny úlohy proudění týkající se vody, o nichž pojednáváme níže. Je-li kapalinou vzduch, je dostatečně splněna za předpokladu, že největší výchylka v z je spíše v řádu metrů než kilometrů a za předpokladu, že rychlost kapaliny je všude menší než přibližně 100 m/s.
Bernoulliho zákon udává, že proudí-li inviscidní kapalina trubkou různého průřezu, pak je tlak relativně nízký v místech zúžení, kde je rychlost vysoká, a relativně vysoký tam, kde se trubka otevírá a kapalina stagnuje. Mnoha lidem se tato situace zdá paradoxní, když se s ní setkají poprvé. Jistě, říkají si, zúžení by mělo místní tlak spíše zvyšovat než snižovat? Paradox se vypaří, jakmile se naučíme považovat změny tlaku podél potrubí za příčinu a změny rychlosti za důsledek, a ne naopak; jen proto, že tlak v místě zúžení klesá, má tlakový gradient před zúžením správné znaménko, aby tekutina zrychlovala.
Ať už je to paradoxní nebo ne, předpovědi založené na Bernoulliho zákoně jsou dobře ověřeny experimentem. Zkuste podržet dva listy papíru tak, aby visely svisle asi dva centimetry od sebe, a foukněte dolů, aby mezi nimi vznikl proud vzduchu. Listy budou přitahovány k sobě snížením tlaku spojeným s tímto proudem. Lodě jsou k sobě přitahovány z podobného důvodu, pokud se pohybují po vodě stejným směrem a stejnou rychlostí s malou vzdáleností mezi nimi. V tomto případě je proud výsledkem vytlačování vody přídí každé lodi, která musí proudit zpět, aby vyplnila prostor vzniklý pohybem zádi dopředu, a proud mezi loděmi, k němuž obě přispívají, je silnější než proud pohybující se kolem jejich vnějších boků. Jako další jednoduchý pokus si poslechněte syčivý zvuk, který vydává téměř, ale ne zcela vypnutý vodovodní kohoutek. V tomto případě dochází k tomu, že proud je tak zúžený a rychlost uvnitř zúžení tak vysoká, že tlak v zúžení je ve skutečnosti záporný. Za asistence rozpuštěných plynů, které jsou normálně přítomny, voda při průchodu kavituje a zvuk, který je slyšet, je zvukem drobných bublinek, které se hroutí, jak se voda zpomaluje a tlak na druhé straně opět stoupá.
Dvě praktická zařízení, která používají hydrauličtí inženýři ke sledování průtoku kapalin potrubím, jsou založena na Bernoulliho zákonu. Jedním z nich je Venturiho trubice, krátká trubice se zúžením standardního tvaru (viz obrázek 5A), kterou lze vložit do vlastního potrubí. Jestliže rychlost v bodě P, kde má trubka plochu průřezu AP, je vP a rychlost v zúžení, kde je plocha AQ, je vQ, podmínka spojitosti – podmínka, že hmotnost protékající trubkou za jednotku času musí být ve všech bodech její délky stejná – říká, že ρPAPvP = ρQAQvQ, nebo že APvP = AQvQ, je-li rozdíl mezi ρP a ρQ zanedbatelný. Pak Bernoulliho zákon udává 
Encyclopædia Britannica, Inc.
Měřením rozdílu hladin h kapaliny v obou bočních trubicích znázorněných na obrázku by mělo být možné zjistit vP, a tedy veličinu Q (= APvP), kterou technici označují jako rychlost výtoku. Při malých rychlostech je rozdíl tlaků (pP – pQ) značně ovlivněn viskozitou (viz níže Viskozita) a rovnice (135) je v důsledku toho nespolehlivá. Venturiho trubice se však obvykle používá, pokud je rychlost dostatečně velká na to, aby proudění bylo turbulentní (viz níže Turbulence). Za takových okolností rovnice (135) předpovídá hodnoty Q, které se shodují s hodnotami naměřenými přímějšími prostředky s přesností na několik dílků procenta, i když průběh proudění není ve skutečnosti vůbec ustálený.
Druhým zařízením je Pitotova trubice, která je znázorněna na obrázku 5B. Proudnice kapaliny se rozdělují, když se blíží k tupému konci této trubice, a v bodě označeném na obrázku Q nastává úplná stagnace, protože kapalina se v tomto bodě nepohybuje ani nahoru, ani dolů, ani doprava. Z Bernoulliho zákona okamžitě vyplývá, že
Stejně jako u Venturiho trubice bychom tedy měli být schopni zjistit vP z rozdílu hladin h.
Ještě jeden jednoduchý výsledek si zde zaslouží zmínku. Týká se proudu kapaliny vystupujícího otvorem ve stěně nádoby naplněné kapalinou pod tlakem. Pozorování trysek ukazuje, že se po vystoupení mírně zužují, než se ustálí na víceméně rovnoměrném průřezu známém jako vena contracta. Děje se tak proto, že se proudnice sbíhají k otvoru uvnitř nádoby a jsou nuceny se ještě krátkou dobu sbíhat venku. Byl to Torricelli, kdo jako první navrhl, že pokud je přebytek tlaku uvnitř nádoby vytvářen převýšením kapaliny h, pak rychlost v ve vena contracta je rychlost, které by volná částice dosáhla při pádu přes výšku h, tj, že
Tento výsledek je pro inviscidní kapalinu bezprostředním důsledkem principu zachování energie, který Bernoulliho zákon zakotvuje.
V následující části je Bernoulliho zákon nepřímo použit ke stanovení vzorce pro rychlost, kterou se poruchy pohybují po hladině mělké vody. V tomto vzorci je ukryto vysvětlení několika zajímavých jevů, které mají co do činění s vodními vlnami. Analogické jevy zabývající se zvukovými vlnami v plynech jsou popsány níže v kapitole Stlačitelné proudění v plynech, kde je představena alternativní forma Bernoulliho zákona. Tato forma zákona se omezuje na plyny v ustáleném proudění, ale není omezena na rychlosti proudění, které jsou mnohem menší než rychlost zvuku. Komplikace, kterou představuje viskozita, je v těchto dvou částech opět ignorována.