Homotopie, v matematice způsob klasifikace geometrických oblastí pomocí studia různých typů cest, které lze v oblasti nakreslit. Dvě cesty se společnými koncovými body se nazývají homotopické, pokud lze jednu z nich spojitě deformovat do druhé, přičemž koncové body zůstávají pevné a zůstávají uvnitř její vymezené oblasti. V části A obrázku je ve stínované oblasti díra; f a g jsou homotopické cesty, ale g′ není homotopické k f nebo g, protože g′ nelze deformovat do f nebo g, aniž by prošlo dírou a opustilo oblast.

Formálněji řečeno, homotopie zahrnuje definování cesty mapováním bodů na intervalu od 0 do 1 na body v oblasti spojitým způsobem – to znamená tak, že sousedním bodům na intervalu odpovídají sousední body na cestě. Homotopická mapa h(x, t) je spojitá mapa, která spojuje se dvěma vhodnými cestami, f(x) a g(x), funkci dvou proměnných x a t, která je rovna f(x), když t = 0, a rovna g(x), když t = 1. Mapa odpovídá intuitivní představě postupné deformace bez opuštění oblasti při změně t z 0 na 1. Například h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) je homotopická funkce pro cesty f a g v části A obrázku; body f(x) a g(x) jsou spojeny přímkou a pro každou pevnou hodnotu t definuje h(x, t) cestu spojující tytéž dva koncové body.

Zvlášť zajímavé jsou homotopické cesty začínající a končící v jednom bodě (viz část B obrázku). Třída všech takových navzájem homotopických cest v dané geometrické oblasti se nazývá třída homotopií. Množině všech takových tříd lze dát algebraickou strukturu zvanou grupa, fundamentální grupa oblasti, jejíž struktura se liší podle typu oblasti. V oblasti bez děr jsou všechny uzavřené cesty homotopické a fundamentální grupa se skládá z jediného prvku. V oblasti s jedinou dírou jsou homotopické všechny cesty, které se kolem díry obtáčejí stejný početkrát. Na obrázku jsou cesty a a b homotopické, stejně jako cesty c a d, ale cesta e není homotopická k žádné z ostatních cest.

Stejným způsobem lze definovat homotopické cesty a fundamentální grupu oblastí ve třech a více rozměrech i na obecných mnohostěnech. Ve vyšších dimenzích lze definovat i homotopické grupy vyšších dimenzí.