Funkce související s integrálním zobrazením řešení okrajových úloh diferenciálních rovnic.
Greenova funkce okrajové úlohy lineární diferenciální rovnice je základní řešení této rovnice splňující homogenní okrajové podmínky. Greenova funkce je jádro integrálního operátoru inverzního k diferenciálnímu operátoru generovanému danou diferenciální rovnicí a homogenními okrajovými podmínkami (srov. Jádro integrálního operátoru). Greenova funkce dává řešení nehomogenní rovnice splňující homogenní okrajové podmínky. Nalezení Greenovy funkce redukuje studium vlastností diferenciálního operátoru na studium podobných vlastností odpovídajícího integrálního operátoru.
Greenova funkce pro obyčejné diferenciální rovnice.
Nechť $ L $je diferenciální operátor generovaný diferenciálním polynomem
$$ l = \ \sum _ {k = 0 }. ^ { n } p _ {k} ( x)\frac{d ^ {k} y }{dx ^ {k} } , \ \ a < x < b,$$
a okrajové podmínky $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \dots n $, kde
$$ U _ {j} = \ \sum _ {k = 0 } ^ { n } \alfa _ {jk} y ^ {(} k) ( a) +\beta _ {jk} y ^ {(} k) ( b).$$
Greenova funkce $ L $je funkce $ G ( x, \xi ) $která splňuje následující podmínky:
1) $ G ( x, \xi ) $je spojitá a má spojité derivace vzhledem k $ x $až do řádu $ n – 2 $pro všechny hodnoty $ x $a $ \xi $v intervalu $.
2) Pro libovolné dané $ \xi $v $ ( a, b) $funkce $ G ( x, \xi ) $má rovnoměrně spojité derivace řádu $ n $vzhledem k $ x $v každém z polointervalů $ $a derivace řádu $ n – 1 $splňuje podmínku
$$ \frac{\partial ^ {n – 1 } }{\partial x ^ {n – 1 } }G ( \xi + , \xi ) -\frac{\partial ^ {n – 1 } }{\partial x ^ {n – 1 } }G ( \xi – , \xi ) = \ \frac{1}{p _ {n} ( \xi ) }$$
pokud $ x = \xi $.
3) V každém z polointervalů $$ funkce $ G ( x, \xi ) $, považovaná za funkci $ x $, splňuje rovnici $ l = 0 $a okrajové podmínky $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \dots n $.
Pokud má okrajová úloha $ Ly = 0 $ pouze triviální řešení, pak $ L $ má jednu jedinou Greenovu funkci . Pro libovolnou spojitou funkci $ f $na $ existuje řešení okrajové úlohy $ Ly = f $ a lze ho vyjádřit vzorcem
$$ y ( x) = \ \int\limits _ { a }. ^ { b } G ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi .$$
Má-li operátor $ L $ zelenou funkci $ G ( x, \xi ) $, pak adjungovaný operátor $ L ^ {*} $ má také Greenovu funkci, která se rovná $ \overline{ {G ( \xi , x) }}\; $. Zejména je-li $ L $ samoadjungovaný ( $ L = L ^ {*} $), pak $ G ( x, \xi ) = \overline{ {G ( \xi , x) }}\; $, tj. Greenova funkce je v tomto případě hermitovské jádro. Tedy Greenova funkce samoadjungovaného operátoru druhého řádu $ L $generovaného diferenciálním operátorem s reálnými koeficienty
$$ l = \ \frac{d}{dx}\left ( p\frac{dy }{dx }\right ) +q ( x) y,\ \ a < x < b,$$
a okrajové podmínky $ y ( a) = 0$, $ y ( b) = 0$ mají tvar:
$$ G ( x, \xi ) = \ \left \{\begin{array}{ll}Cy _ {1} ( x) y _ {2} ( \xi ) &\textrm{ if } x \leq \xi , \\Cy _ {1} ( \xi ) y _ {2} ( x) &\textrm{ if } x > \xi . \\\{konec{array} \right .$$
Tady $ y _ {1} ( x) $a $ y _ {2} ( x) $jsou libovolná nezávislá řešení rovnice $ l = 0 $splňující v tomto pořadí podmínky $ y _ {1} ( a) = 0$, $ y _ {2} ( b) = 0 $; $ C = ^ {-} 1 $, kde $ W $je Wronského determinant (Wronskian) $ y _ {1} $a $ y _ {2} $. Lze ukázat, že $ C $je nezávislé na $ \xi $.
Má-li operátor $ L $Greenovu funkci, pak je okrajová úloha vlastních hodnot $ Ly = \lambda y $ekvivalentní integrální rovnici $ y ( x) = \lambda \int _ {a}. ^ {b} G ( x, \xi ) y ( \xi ) d \xi $, na kterou se vztahuje Fredholmova teorie (viz také Fredholmovy věty). Z tohoto důvodu může mít okrajová úloha $ Ly = \lambda y $ nejvýše spočetný počet vlastních hodnot $ \lambda _ {1}. , \lambda _ {2} \dots $bez konečných mezních bodů. Konjugovaný problém má komplexně konjugované vlastní hodnoty stejné násobnosti. Pro každé $ \lambda $, které není vlastní hodnotou $ L $, lze sestrojit Greenovu funkci $ G ( x, \xi , \lambda ) $ operátoru $ L – \lambda I $, kde $ I $ je operátor identity. Funkce $ G ( x, \xi , \lambda ) $je meromorfní funkcí parametru $ \lambda $; jejími póly mohou být pouze vlastní hodnoty $ L $. Je-li násobnost vlastní hodnoty $ \lambda _ {0} $ jedna, pak
$$ G ( x, \xi , \lambda ) = \ \frac{u _ {0} ( x) \overline{ {v _ {0} ( \xi ) }}\; }{\lambda – \lambda _ {0} } +G _ {1} ( x, \xi , \lambda ),$$
kde $G _ {1} ( x, \xi , \lambda ) $ je pravidelný v okolí bodu $ \lambda _ {0} $ a $ u _ {0} ( x) $a $ v _ {0} ( x) $jsou vlastní funkce $ L $a $ L ^ {*}. $ odpovídající vlastním hodnotám $ \lambda _ {0} $a $ \overline{ {\lambda _ {0} }}\; $a normalizované tak, že
$$ \int\limits _ { a } ^ { b } u _ {0} ( x) \overline{ {v _ {0} ( x) }}\; dx = 1.$$
Pokud $G ( x, \xi , \lambda ) $má nekonečně mnoho pólů a pokud jsou tyto póly pouze prvního řádu, pak existuje úplný biortogonální systém
$$ u _ {1} ( x),\ u _ {2} ( x) ,\dots ; \ \ v _ {1} ( x),\ v _ {2} ( x) \dots$$
vlastních funkcí $ L $a $ L ^ {*} Pokud jsou vlastní hodnoty očíslovány vzestupně podle jejich absolutních hodnot, pak integrál
$$ I _ {R} ( x, f ) = \ \frac{1}{2 \pi i }\int\limits _ {| \lambda | = R } \ d \lambda\int\limits _ { a } ^ { b } G ( x, \xi , \lambda )f ( \xi ) d \xi$$
se rovná částečnému součtu
$$ S _ {k} ( x, f ) = \ \sum _ {| \lambda _ {n} | < R }u _ {n} ( x)\int\limits _ { a } ^ { b } f ( \xi )\overline{ {v _ {n} ( \xi ) }}\; \ d \xi$$
rozšíření $ f $s ohledem na vlastní funkce $ L $. Kladné číslo $ R $ je zvoleno tak, že funkce $ G ( x, \xi , \lambda ) $ je pravidelná v $ \lambda $na kružnici $ | \lambda | = R $. Pro regulární okrajovou úlohu a pro libovolnou po částech hladkou funkci $ f $ v intervalu $ a < x < b $ platí rovnice
$$ \lim\limits _ {R \rightarrow \infty } \ I _ {R} ( x, f ) = \ {\frac{1}{2} } $$
platí, tj. je možný rozklad do konvergentní řady .
Pokud má Greenova funkce $ G ( x, \xi , \lambda ) $operátoru $ L – \lambda I $více pólů, pak je její hlavní část vyjádřena kanonickými systémy vlastních a vedlejších funkcí operátorů $ L $a $ L ^ {*}.
Ve výše uvedeném případě nemá okrajová úloha $Ly = 0$ žádné netriviální řešení. Pokud naopak taková netriviální řešení existují, zavádí se tzv. zobecněná Greenova funkce. Nechť existuje např. přesně $m $lineárně nezávislých řešení úlohy $Ly = 0$. Pak je zobecněná Greenova funkce $ \widetilde{G}. ( x, \xi ) $existuje, která má vlastnosti 1) a 2) obyčejné Greenovy funkce, splňuje okrajové podmínky jako funkce $ x $jestliže $ a < \xi < b $a navíc je řešením rovnice
$$ l _ {x} = -\sum _ {k = 1 }. ^ { m } \phi _ {k} ( x)\overline{ {v _ {k} ( \xi ) }}\; .$$
Tady $ \{ v _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $je systém lineárně nezávislých řešení adjungovaného problému $ L ^ {*} y = 0 $, zatímco ${ \phi _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ je libovolný systém spojitých funkcí, který je k němu biortogonální. Pak
$$ y ( x) = \ \int\limits _ { a } ^ { b } \widetilde{G} ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi$$
je řešením okrajové úlohy $ Ly = f$, jestliže funkce $ f$je spojitá a splňuje kritérium řešitelnosti, tj. je ortogonální ke všem $ v _ {k}. $.
Jestliže $ \widetilde{G}. _ {0} $je jednou ze zobecněných Greenových funkcí $L$, pak lze jakoukoli jinou zobecněnou Greenovu funkci reprezentovat ve tvaru
$$ \widetilde{G}. ( x, \xi ) = \ \widetilde{G} _ {0} ( x, \xi ) +\sum _ {k = 1 } ^ { m } u _ {k} ( x) \psi _ {k} ( \xi ),$$
kde $ \{ u _ {k} ( x) \} $je úplný systém lineárně nezávislých řešení úlohy $Ly = 0 $ a $\psi _ {k} ( \xi ) $jsou libovolné spojité funkce .
Greenova funkce pro parciální diferenciální rovnice.
1) Eliptické rovnice. Nechť $A$je eliptický diferenciální operátor řádu $m$generovaný diferenciálním polynomem
$$ a ( x, D) = \ \součet _ {| \alfa | \leq m }a _ \alfa ( x) D ^ \alfa $$
v ohraničené oblasti $ \Omega \podmnožina \mathbf R ^ {N} $a homogenní okrajové podmínky $ B _ {j} u = 0 $, kde $ B _ {j} $jsou hraniční operátory s koeficienty definovanými na hranici $ \část \Omega $ z $ \Omega $, o níž se předpokládá, že je dostatečně hladká. O funkci $ G ( x, y) $ se říká, že je Greenovou funkcí pro $ A $ jestliže pro libovolné pevné $ y \v \Omega $ splňuje homogenní okrajové podmínky $ B _ {j} G ( x, y) = 0 $a jestliže, považována za zobecněnou funkci, splňuje rovnici
$$ a ( x, D)G ( x, y) = \ \delta ( x – y).$$
V případě operátorů s hladkými koeficienty a normálními okrajovými podmínkami, které zajišťují, že řešení homogenní okrajové úlohy je jednoznačné, Greenova funkce existuje a řešení okrajové úlohy $Au = f $může být reprezentováno ve tvaru (srov. )
$$ u ( x) = \ \int\limits _ \Omega G ( x, y)f ( y) dy.$$
V takovém případě jsou jednotné odhady pro $ x , y \in \overline \Omega \; $,
$$ | G ( x, y) | \leq \ C | x – y | ^ {m – n } \ \ \textrm{ if } m < n,$$
$$ | G ( x, y) | \leq C + C | \mathop{\rm ln} | x – y | \ \textrm{ if } m = n,$$
platí pro Greenovu funkci a ta je rovnoměrně omezená, pokud $m > n$.
Ohraniční úloha vlastních hodnot $ Au = \lambda u $je ekvivalentní integrální rovnici
$$ u ( x) = \ \lambda \int\limits _ \Omega G ( x, y) u ( y) dy,$$
na kterou platí Fredholmova teorie (viz ) (viz Fredholmovy věty). Zde je Greenova funkce adjungované okrajové úlohy $ \overline{ {G ( y, x) }}\; $. Z toho zejména vyplývá, že počet vlastních hodnot je nejvýše spočetný a neexistují žádné konečné limitní body; adjungovaná okrajová úloha má komplexně konjugované vlastní hodnoty stejné násobnosti.
Greenova funkce byla důkladněji studována pro rovnice druhého řádu, protože lze explicitně vypsat povahu singularity základního řešení. Pro Laplaceův operátor má tedy Greenova funkce tvar
$$ G ( x, y) = \ – \frac{\Gamma ( n / 2) }{2 \pi ^ {n/2} ( n – 2) }| x – y | ^ {2 – n } +\gamma ( x, y) \ \ \ \textrm{ if } n > 2,$$
$$ G ( x, y) = + \frac{1}{2 \pi } \mathop{\rm ln} | x – y | + \gamma ( x, y) \ \ \textrm{ if } n = 2,$$
kde $ \gamma ( x, y) $je harmonická funkce v $Omega $zvolená tak, aby Greenova funkce splňovala okrajovou podmínku.
Greenova funkce $G ( x, y) $první okrajové úlohy pro eliptický operátor druhého řádu $a ( x, D) $s hladkými koeficienty v oboru $\Omega $s hranicí typu Ljapunova $\partial \Omega $, umožňuje vyjádřit řešení úlohy
$$ a ( x, D) u( x) = \ f ( x) \ \textrm{ if }. \ \ x \in \Omega ,\ \ \left . u \vpravo | _ {\partial \Omega } = \phi ,$$
ve tvaru
$$ u ( x) = \\int\limits _ \Omega G ( x, y) f ( y) dy +\int\limits _ {\partial \Omega }\frac \partial {\partial \nu _ {y} }G ( x, y) \phi ( y) d \sigma _ {y} ,$$
kde $ \partial / \partial \nu _ {y} $je derivace podél vnější ko-normály operátoru $ a ( x, D) $a $ d \sigma _ {y} $je povrchový prvek na $ \partial \Omega $.
Pokud homogenní okrajová podmínka $ Au = 0 $má netriviální řešení, zavádí se zobecněná Greenova funkce, stejně jako pro obyčejné diferenciální rovnice. Pro Laplaceův operátor je tedy k dispozici zobecněná Greenova funkce, tzv. funkce Neumannova ,
2) Parabolické rovnice. Nechť $P$je parabolický diferenciální operátor řádu $m$generovaný diferenciálním polynomem
$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\ \frac \partial {\partial t } \right ) = \ \frac \partial {\partial t } \right ). -\sum _ {| \alfa | \leq m }a _ \alfa ( x, t) D _ {x} ^ \alfa ,$$
$$ x \in \Omega ,\ t > 0,$$
a homogenní počáteční a okrajové podmínky
$$ u ( x, 0) = 0,\ \ B _ {j} u ( x, t) = 0,$$
kde $ B _ {j} $jsou okrajové operátory s koeficienty definovanými pro $ x \v \části \Omega $a $ t \geq 0 $. Greenova funkce operátoru $ P $je funkce $ G ( x, t, y, \tau ) $která pro libovolné pevné $ ( y , \tau ) $s t > \tau \geq 0 $a $ y \v \Omega $splňuje homogenní okrajové podmínky $ B _ {j} = 0 $a splňuje také rovnici
$$ p \left ( x, t, D _ {x} , \ \frac \partial {\partial t }\right )G ( x, t, y, \tau ) = \ \delta ( x – y , t – \tau ) .$$
Pro operátory s hladkými koeficienty a normálními okrajovými podmínkami, které zajišťují jednoznačnost řešení úlohy $ pu = 0 $, existuje Greenova funkce a řešení rovnice
$$ p \left (x, t, D _ {x} ,\ \frac \partial {\partial t }\right )u ( x, t) = \ f ( x, t)$$
splňující homogenní okrajové podmínky a počáteční podmínky $ u ( x, 0) = \phi ( x) $, má tvar
$$ u ( x, t) = \ \int\limits _ { 0 } ^ { t } \ d \tau \int\limits _ \Omega G ( x, t, y, \tau )f ( y, \tau ) dy +$$
$ + \int\limits _ \Omega G ( x, t, y, 0) \phi ( y) dy.$$
Při studiu eliptických nebo parabolických systémů se Greenova funkce nahrazuje pojmem Greenova matice, pomocí níž se řešení okrajových úloh s homogenními okrajovými podmínkami pro tyto systémy vyjadřují jako integrály součinů Greenovy matice s vektory pravých stran a počátečními podmínkami .
Greenovy funkce jsou pojmenovány po G. Greenovi (1828), který jako první studoval speciální případ těchto funkcí ve svých studiích o teorii potenciálu.
| M.A. Naimark, „Lineare Differentialoperatoren“ , Akademie Verlag (1960) (Přeloženo z ruštiny) MR0216049 | |
| M.V. Keldysh, „On the characteristic values and characteristic functions of certain classes of non-self-adjoint equations“ Dokl. Akad. Nauk. SSSR , 77 : 1 (1951) pp. 11-14 (rusky) | |
| V.V. Sobolev, „Course in theoretical astrophysics“ , NASA , Washington, D.C. (1969) (Přeloženo z ruštiny) | |
| L. Bers, F. John, M. F. John. Schechter, „Partial differential equations“ , Interscience (1964) MR0163043 Zbl 0126.00207 | |
| L. Gårding, „Dirichlet’s problem for linear eliptic partial differential equations“ Math. Scand. , 1 : 1 (1953) s. 55-72 MR64979 | |
| A. Friedman, „Partial differential equations of parabolic type“ , Prentice-Hall (1964) MR0181836 Zbl 0144.34903 | |
| S.D. Eidel’man, „Parabolic systems“ , North-Holland (1969) (Přeloženo z ruštiny) Zbl 0181.37403 |
| J.K. Hale, „Ordinary differential equations“ , Wiley (1980) MR0587488 Zbl 0433.34003 | |
| P.R. Garabedian, „Partial differential equations“ , Wiley (1964) MR0162045 Zbl 0124.30501 |
Green function in function theory.
V teorii funkcí komplexní proměnné se (reálnou) Greenovou funkcí rozumí Greenova funkce pro první okrajovou úlohu pro Laplaceův operátor, tj. funkce typu
$$ \tag{1 }G ( z, z _ {0} ) = \ \mathop{\rm ln}. \frac{1}{| z – z _ {0} | } +\gamma ( z, z _ {0} ),\ \ z \in \Omega ,$$
kde $ z = x + iy $je komplexní proměnná, $ z _ {0} = x _ {0} + iy _ {0} $je pól Greenovy funkce, $ z _ {0} \v \Omega $ a $ \gamma ( z, z _ {0} ) $je harmonická funkce $ z $která nabývá hodnot $ – \mathop{\rm ln} 1/ | z – z _ {0} | $na hranici $ \partial \Omega $. Nechť je obor $ \Omega $jednoduše spojitý a nechť $ w = f ( z, z _ {0} ) $je analytická funkce, která realizuje konformní mapování $ \Omega $na jednotkový disk tak, že $ z _ {0} $mapuje na střed disku, a to tak, že $ f ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, $ f ^ { \prime } ( z _ {0} , z _ {0} ) > 0 $.
Ten
$$ \tag{2 }G ( z, z _ {0} ) = \ \\mathop{\rm ln} \frac{1}{| f ( z, z _ {0} ) | } .$$
Je-li $ H ( z, z _ {0} ) $ harmonická funkce konjugovaná s $ G ( z, z _ {0} ) $, $ H ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, pak se říká, že analytická funkce $ F ( z, z _ {0} ) = G ( z, z _ {0} ) + iH ( z, z _ {0} ) $ je komplexní Greenova funkce $ \Omega $ s pólem $ z _ {0} $. Inverze vzorce (2) dává
$$ \tag{3 }f ( z, z _ {0} ) = \ e ^ {- F ( z, z _ {0} ) } }. .$$
Vzorce (2) a (3) ukazují, že problémy konstrukce konformního mapování $ \Omega $do disku a nalezení Greenovy funkce jsou ekvivalentní. Greenovy funkce $ G ( z, z _ {0} ) $, $ F ( z, z _ {0} ) $jsou invariantní při konformním mapování, což může někdy usnadnit jejich identifikaci (viz Metoda mapování).
V teorii Riemannových ploch je výhodnější definovat Greenovy funkce pomocí vlastnosti minima, platné pro funkci (1): Ze všech funkcí $U ( z, z _ {0} ) $na Riemannově ploše $ \Omega $které jsou kladné a harmonické pro $ z \neq z _ {0} $a mají v okolí $ z _ {0} $ tvar
$$ \tag{4 }U ( z, z _ {0} ) = \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +\gamma ( z, z _ {0} ),$$
kde $\gamma ( z, z _ {0} ) $je harmonická funkce, která je pravidelná na celé ploše $\Omega$, Greenova funkce, pokud existuje, je nejmenší, tj. $G ( z, z _ {0} ) \leq U ( z, z _ {0} ) $. Zde je existence Greenovy funkce typická pro Riemannovy plochy hyperbolického typu. Je-li Greenova funkce takto definována, nemizí již, obecně řečeno, nikde na (ideální) hranici Riemannovy plochy. Podobná situace je i v teorii potenciálu (viz též Teorie potenciálu, abstrakt). Pro libovolnou otevřenou množinu $ \Omega $, např. v euklidovském prostoru $ \mathbf R ^ {n} $, $ n \geq 2 $, lze Greenovu funkci $ G ( x, x _ {0} ) $ definovat také pomocí výše zmíněné vlastnosti minima, ale pro $ n \geq 3 $výraz $ | x – x _ {0} ) lze definovat pomocí výše zmíněné vlastnosti minima. | ^ {2 – n } $je třeba nahradit za $ \mathop{\rm ln} {1/ | x – x _ {0} | } $ve vzorci (4). Obecně platí, že taková Greenova funkce nemusí nutně směřovat k nule, jak se blíží k hranici $ \partial \Omega $. Greenova funkce neexistuje pro Riemannovy plochy parabolického typu nebo pro určité oblasti v $ \mathbf R ^ {2} $ (např. pro $ \Omega = \mathbf R ^ {2} $).
| S. Stoilov, „Teorie funkcí komplexní proměnné“ , 1-2 , Moskva (1962) (rusky; přeloženo z rumunštiny) | |
| R. Nevanlinna, „Uniformisierung“ , Springer (1953) MR0057335 Zbl 0053.05003 | |
| M. Brélot, „Eléments de la théorie classique du potentiel“ , Sorbonne Univ. Centre Doc. Univ. , Paris (1959) MR0106366 Zbl 0084.30903 |
E.D. Solomentsev
Viz také a pro Greenovy funkce v klasické teorii potenciálu a pro Greenovy funkce v axiomatické teorii potenciálu.
V teorii funkcí několika komplexních proměnných, konkrétně v teorii pluripotenciálu (srov. také teorie potenciálu), byly zavedeny Greenovy funkce pro komplexní Mongeovu-Ampèrovu rovnici. V ideálním případě by taková Greenova funkce měla být základním řešením pro komplexní Mongeův-Ampérův operátor $M A = \mathop{\rm det}. ( \partial ^ {2} / \partial z _ {i} \partial \overline{z}\; _ {j} ) $, s hraničními hodnotami $ 0 $ a navíc plurisubharmonická (viz také Plurisubharmonická funkce). Pouze pro pseudokonvexní domény (srov. Pseudokonvexní a pseudokonkávní) je možné dosáhnout věrné analogie klasické jednorozměrné teorie. Bylo navrženo několik neekvivalentních definic Greenovy funkce. Jedna z nich je následující. Nechť $ \Omega $je doména v $ \mathbf C ^ {n} $, $ w \v \Omega $. Nechť $ \mathop{\rm PSH} ( \Omega ) $znamená plurisubharmonické funkce (viz Plurisubharmonická funkce) na $ \Omega $. Greenova funkce pro $ \Omega $s pólem v $ w $je
$$ G ( z , w ) =$$
$$ = \ \sup \{ u ( z) : u \v \mathop{\rm PSH}}. ( \Omega ) , u \leq 0 , \ u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} | \zeta – w | < C _ {u} \} ,$$
kde $ C _ {u} $je konstanta závislá na $ u $. Pro každé pevné $ w $ je tedy $ G ( \cdot , w ) $ plurisubharmonické. Pro $ n = 1 $ se $ – G $rovná obvyklé Greenově funkci. Samozřejmě chceme, aby $ G ( \cdot , w ) \mid _ {\partial \Omega } = 0 $ a také aby $ G ( \cdot , w ) $byla spojitou funkcí pro $ $, ale to je ekvivalentní tomu, aby $ \Omega $byla hyperkonvexní oblastí (tj. pseudokonvexní oblastí, která připouští spojitou, omezenou plurisubharmonickou vyčerpávající funkci). Je-li tomu tak, máme také:
1) $ M A ( G ( \cdot , w ) ) = ( 2 \pi ) ^ {n} \delta _ {w} $, kde $ \delta _ {w} $ je Diracova míra na $ w $,
2) $ G ( z , w ) \sim \mathop{\rm log} | z – w | $as $ z \pravá šipka w $a $ G $je spojité na $ \overline \Omega \; \times \Omega $.
Jestliže $ \Omega $je přísně konvexní, pak $ G $je symetrické: $ G ( z , w ) = G ( w , z ) $a $ C ^ \infty $na $ \Omega \setminus \{ w \} $. Pokud je $ \Omega $ pouze striktně pseudokonvexní, pak $ G $nemusí být symetrické a dokonce ani $ C ^ {2} $. Lze zavést druh Greenovy funkce, v níž je symetrie obsažena, viz , ale lze ztratit 1) a 2). Pro $$Omega $striktně pseudokonvexní platí následující nerovnost (L. Lempert):
$$ \mathop{\rm log} \mathop{\rm tanh}. C ( z , w ) \leq \ G ( z , w ) < \mathop{\rm log} \mathop{\rm tanh} K ( z , w ) ,$$
s rovností pro konvexní domény. Zde $ C $a $ K $označují Carathéodoryho a Kobajašiho vzdálenost.
Jestliže $ E $je ohraničená množina v $ \mathbf C ^ {n} $, Greenova funkce s pólem v $ \infty $pro $ E $je
$$ L _ {E}. ( z) =$$
$ = \ \ \sup \{ u ( z) : u \in \mathop{\rm PSH} ( \Omega) , u \leq 0 \mathop{\rm on} E , u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} ( 1 + | \zeta | ) < C _ {u} \} ,$$
a obdobně jako v případě jedné proměnné existuje Robinova funkce
$$ R _ {E} ( z) = \lim\limits \sup _{\begin{array}{c}\lambda \in \mathbf C \\ \lambda \rightarrow \infty \end{array} }( L _ {E} ( \lambda z ) – \mathop{\rm log} | \lambda z | )$$
a logaritmická kapacita
$$ \mathop{\rm Cap} ( E) = \mathop{\rm exp} \{ – \sup R _ {E} \} .$$
Pro obecné množiny $ E $, $ \mathop{\rm Cap} ( E) = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } \mathop{\rm cap} ( E \cap \{ | z | < n \} ) $. Tato kapacita má tu vlastnost, že množiny s nulovou kapacitou jsou právě pluripolární množiny.
| L.L. Helms, „Introduction to potential theory“ , Wiley (Interscience) (1969) | |
| K. Janssen, „On existence of a Green function for harmonic spaces“ Math. Annalen , 208 (1974) str. 295-303 MR0350045 Zbl 0265.31018 | |
| N.S. Landkof, „Foundations of modern potential theory“ , Springer (1972) (překlad z ruštiny) MR0350027 Zbl 0253.31001 | |
| E. Bedford, „Survey of pluri-potential theory“ (připravuje se) MR1207855 Zbl 0786.31001 | |
| U. Cegrell, „Kapacity v komplexní analýze“ , Vieweg (1988) MR0964469 Zbl 0655.32001 | |
| J.P. Demailly, „Mesures de Monge-Ampère et mesures pluriharmoniques“ Math. Z. , 194 (1987) s. 519-564 MR881709 Zbl 0595.32006 |
Greenova funkce ve statistické mechanice.
Časově uspořádaná lineární kombinace korelačních funkcí (srov. Korelační funkce ve statistické mechanice), která je vhodnou mezilehlou veličinou při výpočtech interagujících částic.
Greenova funkce ve statistické kvantové mechanice.
Nejčastěji se používají dvě časové komutátorové teplotní Greenovy funkce: retardovaná $ ( \mathop{\rm ret} , + ) $, pokročilá $ ( \mathop{\rm adv} , – ) $a kauzální (c). Jsou definovány vztahy:
$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm ret} ) }( t – t ^ \prime ) = \ \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{\rm ret} ) } {( \mathop{\rm ret} ) \equiv$$
$$ \equiv \ \theta ( t – t ^ \prime ) \langle _ \eta \rangle ,$$
$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{\rm adv} ) } \equiv$$
$$ \equiv \ – \theta ( t ^ \prime – t) \langle _ \eta \rangle ,$$
$$ G _ {AB} ^ {(} c) ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {(} c) \equiv \langle T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) \rangle ,$$
kde
$$ _ \eta = \ A ( t) B ( t ^ \prime ) – \eta B ( t ^ \prime ) A ( t),$$
$$ T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) = \theta ( t – t ^ \prime ) A ( t)B ( t ^ \prime ) + \eta \theta ( t ^ \prime – t) B ( t ^ \prime ) A ( t),$$
$$ \theta ( x) = \left \{ \begin{array}{ll}1, & x > 0 \\0, & x < 0 \\\konec{array} ,\ \ \eta = \pm 1 . \right .$$
Zde $ A ( t) $a $ B ( t ^ \prime ) $jsou časově závislé dynamické proměnné (operátory ve stavovém prostoru systému v Heisenbergově reprezentaci); $ \langle \dots \rangle $označuje průměr přes Gibbsův statistický agregát; hodnota $ \eta = \pm 1 $je zvolena z důvodu pohodlnosti. Účinnost použití Greenových funkcí závisí do značné míry na použití spektrálních reprezentací jejich Fourierových transformací $ G _ {AB}. ^ {(} n) ( E) $, $ n = \mathop{\rm ret} , \mathop{\rm adv} , \textrm{ c } $. Pro nenulovou teplotu tedy platí pro pokročilé a retardované Greenovy funkce následující zobrazení:
$$ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) = \ \ll A \mid B \gg _ {E} ^ {(} n) =$$
$$ = \ \frac{i}{2 \pi } \int\limits _ {- \infty } ^ { {+ } \infty } \frac{(e ^ {\omega / \theta } – \eta ) J _ {AB} (\omega ) }{E – \omega + i \epsilon \alfa _ {n} } d \omega ,$$
$$ \epsilon \rightarrow + 0,\ \ \alfa _ {n} = \left \{ \begin{array}{rl}1, & n = \mathop{\rm ret} , \\- 1, & n = \mathop{\rm adv} . \\\end{array} \right .$$
Tady $ J _ {AB} ( \omega ) $ je spektrální hustota, $ \theta = kT $, kde $ T \neq 0 $ je absolutní teplota a $ k $ je Boltzmannova konstanta. V použité jednotkové soustavě je $ \hbar = h/2 \pi = 1 $, kde $ h $ je Planckova konstanta. Platí zejména následující vzorec:
$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm ret} ) } ( \omega ) -G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } ( \omega ) = \ \left ( e ^ {\omega / \theta } – \eta\right ) J _ {AB} ( \omega ) .$$
Tento vzorec umožňuje vypočítat spektrální hustotu (a tím i řadu fyzikálních charakteristik systému) pomocí Greenovy funkce. Podobné spektrální vzorce existují také pro nulovou teplotu. Singularity (póly v komplexní rovině) Fourierovy transformace Greenovy funkce charakterizují spektrum a tlumení elementárních poruch v systému. Mezi hlavní zdroje pro výpočet Greenovy funkce patří: a) přibližné řešení nekonečného řetězce prokládacích rovnic, které se odvozuje přímo z definice Greenovy funkce „rozštěpením“ řetězce na základě fyzikálních představ; b) sumace fyzikálních „základních“ členů řady teorie perturbací (sumace diagramů); tato metoda se používá především při výpočtu kauzálních Greenových funkcí a v mnohém se podobá metodě výpočtu Greenovy funkce v kvantové teorii pole.
Greenovy funkce v klasické statistické mechanice
jsou dvoučasové retardované (ret) a pokročilé (adv) Greenovy funkce získané nahrazením operátorů $ A ( t) $a $ B ( t ^ \prime ) $v příslušných kvantových vzorcích stanovených pro kvantový případ (pro $ \eta = \pm 1 $) dynamickými stavovými funkcemi studovaného klasického systému, a nahrazení komutátoru $ A ( t) B ( t ^ \prime ) – B ( t ^ \prime ) A ( t) $ (kvantové Poissonovy závorky) klasickými (obyčejnými) Poissonovými závorkami; $ \langle \dots \rangle $označuje odpovídajícím způsobem průměrování přes Gibbsův klasický agregát. Zavedení kauzální Greenovy funkce zde nemá žádný význam, protože součin dynamických proměnných je komutativní. Analogicky ke kvantovému případu existují spektrální reprezentace Fourierovy transformace Greenovy funkce, které lze efektivně využít. Hlavním zdrojem pro výpočet klasické Greenovy funkce je soustava rovnic získaná infinitezimální změnou hamiltoniánu některé soustavy rovnic pro korelační funkce: Bogoljubovův řetězec rovnic, soustava hydrodynamických rovnic atd.
| N.N. Bogoljubov, S.V. Tjablikov, „Retardované a pokročilé Greenovy funkce ve statistické fyzice“ Soviet Phys. Dokl. , 4 (1960) str. 589-593 Dokl. Akad. Nauk SSSR , 126 (1959) str. 53 Zbl 0092.21703 | |
| D.N. Zubarev, „Double-time Green functions in statistical physics“ Soviet Phys. Uspekhi , 3 (1960) str. 320-345 Uspekhi Fiz. Nauk , 71 (1960) str. 71-116 MR0122068 | |
| N.N. Bogoljubov, jr, B.I. Sadovnikov, Zh. Eksperim. Teor. Fiz. , 43 : 8 (1962) s. 677 | |
| N.N. Bogoljubov jr, B.I. Sadovnikov, „Některé otázky statistické mechaniky“ , Moskva (1975) (rusky) | |
| , Statistická fyzika a kvantová teorie pole , Moskva (1973) (rusky) Zbl 1195.81005 Zbl 1153.81302 Zbl 1153.81301 Zbl 1119.81300 Zbl 1110.00014 Zbl 1112.81301 Zbl 1099.81500 Zbl 1062.81500 Zbl 1064.81500 Zbl 1014.00503 Zbl 1062.81501 Zbl 0994.81077 Zbl 1016.81042 Zbl 0967.00039 Zbl 1087.82505 Zbl 1074.81537 Zbl 1014.00509 Zbl 0947.00014 Zbl 0967.00041 Zbl 0956.81504 |
V.N. Plečko