Tento text představuje úvod do diferenciální geometrie pro studenty matematiky a fyziky. Výklad sleduje historický vývoj pojmů konexe a křivosti s cílem vysvětlit Chern-Weilovu teorii charakteristických tříd na hlavním svazku. Cestou se setkáváme s některými vrcholy historie diferenciální geometrie, například s Gaussovým Theorema Egregium a Gaussovou-Bonnetovou větou. Cvičení v celé knize prověřují čtenářovo porozumění látce a někdy ilustrují rozšíření teorie. K předpokladům pro čtenáře zpočátku patří letmá znalost mnohostěnů. Po první kapitole je nutné porozumět diferenciálním formám a pracovat s nimi. V poslední třetině textu je nutná znalost de Rhamovy kohomologie.

Předpokládaný materiál je obsažen v autorově textu An Introduction to Manifolds a lze se jej naučit za jeden semestr. Ve prospěch čtenáře a pro zavedení společných notací připomíná Dodatek A základy teorie mnohostěnů. Navíc jsou ve snaze učinit výklad samostatnějším zařazeny oddíly o algebraických konstrukcích, jako je tenzorový součin a vnější mocnina.

Diferenciální geometrie, jak již název napovídá, je studium geometrie pomocí diferenciálního počtu. Její počátky sahají až do sedmnáctého století k Newtonovi a Leibnizovi, ale rozkvět diferenciální geometrie a její moderní základy byly položeny až v devatenáctém století, kdy se Gauss zabýval plochami a Riemann tenzorem křivosti. Za posledních sto let se diferenciální geometrie ukázala jako nepostradatelná pro pochopení fyzikálního světa, a to v Einsteinově obecné teorii relativity, v teorii gravitace, v teorii měřítek a nyní i v teorii strun. Diferenciální geometrie je užitečná také v topologii, několika komplexních proměnných, algebraické geometrii, komplexních mnohostěnách a dynamických systémech a dalších oborech. Tento obor dokonce našel uplatnění v teorii grup, jako v Gromovově práci, a v teorii pravděpodobnosti, jako v Diaconisově práci. Není příliš nadsazené tvrdit, že diferenciální geometrie by měla patřit do arzenálu každého matematika

.