Pugetův záliv z oblohy, jak byl viděn tuto zimu. (Foto: EcologyWA/Public Domain)

Představte si na chvíli, že jste s kamarádem dostali zdánlivě jednoduchý úkol: změřit pobřeží Pugetova zálivu ve státě Washington. Prostředky jsou omezené, takže vy máte k dispozici metr, zatímco váš přítel má metr dlouhé pravítko. Každý z vás jde podél, položí měřidlo podél okraje vody a co nejlépe sleduje úseky pobřeží. Když skončíte, porovnáte si poznámky – a jste šokováni. Zatímco ty jsi skončil s úctyhodnými 3 000 mílemi, tvůj kamarád a jeho dlouhé měřidlo dostali mnohem vyšší číslo, někde kolem 4 500 mil.

Vy nejste blázni. Jste obětí paradoxu pobřeží, záludného matematického principu, který motá hlavu kartografům, ztěžuje práci vládním úřadům a znemožňuje přesně zjistit, jak velký náš svět skutečně je.

Paradox pobřeží v jednom šikovném gifu. (Obrázek: Branden Rishel)

Lidé si pletou pobřeží přinejmenším od 5. století př. n. l., kdy prý aténští námořníci dostali za úkol změřit pobřeží Sardinie a vrátili se bezradní. Poprvé se však tento paradox důsledně projevil v roce 1951 při studiu ozbrojených konfliktů. Lewis Fry Richardson, pacifista a matematik, se snažil zjistit, zda má délka hranice, kterou sdílejí dvě dané země, nějaký vliv na to, zda se pustí do války.

Už ve fázi sběru dat narazil na neshody – když hledal délku španělsko-portugalské hranice, zjistil, že Španělsko ji má zakreslenou jako 987 km, zatímco Portugalsko uvádí 1214 km. Tímto zjištěním byl fascinován, zabýval se jím dále a přišel na to, že nejen délky pobřeží a některých hranic jsou extrémně proměnlivé – pokud si pořídíte dostatečně malou měrku, je každá z nich ve skutečnosti nekonečně dlouhá.

Tento směr uvažování brzy převzal matematik Benoit Mandelbrot v článku z roku 1967 nazvaném „Jak dlouhé je pobřeží Británie?“. „Zde je otázka, základní prvek geometrie základní školy, která, když se nad ní zamyslíte, je nemožná,“ řekl později deníku New York Times. Aby ji mohl řešit – a aby mohl měřit další podobně podivné tvary, jako jsou mraky, sněhové vločky a hory -, vymyslel Mandelbrot pojem fraktálu, křivky, která je tím složitější, čím pozorněji se na ni díváte.

Mandelbrotova množina, fraktál, který pravděpodobně znáte z přední strany učebnice matematiky. (Foto: Wolfgang Beyer/CC BY-SA 3.0)

Při abstraktním pohledu je paradox pobřežní linie úchvatnou záležitostí, důkazem nemožnosti všechno určit a základní neredukovatelnosti našeho světa. V praktické rovině je to však obrovská bolest, říká Branden Rishel, kartograf, který pracuje na obnově pobřeží v Puget Sound. Stejně jako většina státu Washington je i Puget Sound plný fjordů, nekonečných zákoutí, která do země vyhloubil ledovec před 15 000 lety. Fjordy přidávají pobřeží spoustu šíleností – například nekonečně zvrásněné Norsko má asi 18 000 mil pobřeží s fjordy a pouhých 1573 mil, pokud je vynecháme.

Kromě čistě matematických podivností se pobřeží neustále mění, říká Rishel. Útesy erodují, hladina moře stoupá, pevninské masy se pomalu odrážejí od míst, kam je vytlačily ledovce. Každý den přichází příliv a odliv, který posouvá vodní hladinu o deset metrů, a pak se zase vrací zpět. „Pláže mění tvar s každou vlnou,“ říká Rishel. „Jak to můžete určit?“

Nemůžete – i když byste opravdu chtěli. V roce 2006 vydala Výzkumná služba Kongresu zprávu nazvanou „Mezinárodní hranice USA: Brief Facts“ (Stručná fakta), která měla zajistit, aby všichni byli zajedno v tom, jak velkou hranici musíme přesně zabezpečit. Ale opět nebylo ani na čem se shodnout. „Údaje o ‚obecném pobřeží‘ v této zprávě vycházejí z velkoplošných námořních map, z nichž vyplývá míra pobřeží pro 50 států v celkové délce 12 383 mil,“ uvádí se ve zprávě. „Jiné měření využívající námořní mapy menšího měřítka tuto míru více než zdvojnásobuje na 29 093 mil…, zatímco údaje používané NOAA při správě programu řízení pobřežních zón dosahují 88 612 mil (bez Velkých jezer).“

Stát Washington od cesty nahoru. (Foto: NASA/Public Domain)

Někdy však lidé musí najít způsob, jak se dohodnout. Ve státě Washington používají odborníci jako Rishel takzvanou „pobřežní zónu pobřeží“, kterou koncem 90. let 20. století nakreslilo washingtonské ministerstvo přírodních zdrojů na základě fotografií a videí pořízených z nízko letících vrtulníků. Verze ShoreZone pobřeží Pugetova zálivu je dlouhá asi 2 500 mil, říká Rishel – zvládnutelné číslo, nebo alespoň lepší než „nekonečno“. Když se lidé, kteří pracují na obnově pláží, sledují, kde se tře ryby, nebo staví domy na pobřeží, dohodnou na této přibližné hodnotě, mohou si být jisti, že mluví stejným zeměpisným jazykem.

Pokus o standardizaci má však své nedostatky. Pobřeží ShoreZone zachází s některými lidmi vytvořenými strukturami, jako jsou některá mola, jako by byly součástí pobřeží, a jiné vynechává. „Někdy je pobřežní čára ShoreZone desítky metrů od místa, kde by měla být jakákoli slušná pobřežní čára,“ říká Rishel. „Na jednom místě je to 800 stop od břehu a tam, kde by měla být voda, je přistávací dráha.“ Dokonce se mu podařilo vynechat celý ostrov.

Rishel očekává, že ShoreZone bude brzy aktualizován pomocí dat LiDAR, která nahrazují kamery a lidské oči přesnějšími laserovými měřeními pořízenými z letadel. Přesto to nebude dokonalé. „Během měsíce nebo dvou letů by i ten nejlepší LiDAR zachytil rozmazaný snímek Soundu,“ říká. „Zimní profily pláží se drasticky liší od letních. Útesy stále erodují. Dochází k sesuvům půdy.“

Tak to dopadá, když se snažíme pracovat s něčím, co je doslova nekonečné – musíme prostě dělat to nejlepší, co umíme.