Kvantová elektrodynamikaEdit

Do příchodu kvantové mechaniky byl jediný známý příklad gauge symetrie v elektromagnetismu a obecný význam tohoto pojmu nebyl plně pochopen. Nebylo například jasné, zda jsou základními veličinami pole E a B, nebo potenciály V a A; pokud se jednalo o první z nich, pak bylo možné považovat měřítkové transformace pouze za matematický trik.

Aharonův-Bohmův experimentEdit

V kvantové mechanice je částice, například elektron, popsána také jako vlna. Pokud je například s elektrony proveden experiment s dvojitou štěrbinou, pak je pozorován vlnový interferenční obrazec. Elektron má největší pravděpodobnost, že bude detekován v místech, kde jsou části vlny procházející oběma štěrbinami ve vzájemné fázi, což vede ke konstruktivní interferenci. Frekvence elektronové vlny souvisí s kinetickou energií jednotlivé elektronové částice prostřednictvím kvantově-mechanického vztahu E = hf. Pokud v tomto experimentu nejsou přítomna elektrická nebo magnetická pole, pak je energie elektronu konstantní a například bude vysoká pravděpodobnost detekce elektronu podél centrální osy experimentu, kde jsou podle symetrie obě části vlny ve fázi.

Předpokládejme však nyní, že na elektrony v experimentu působí elektrické nebo magnetické pole. Kdyby například na jedné straně osy působilo elektrické pole, ale na druhé ne, ovlivnilo by to výsledky experimentu. Část elektronové vlny procházející touto stranou kmitá jinou rychlostí, protože k její energii bylo přidáno -eV, kde -e je náboj elektronu a V elektrický potenciál. Výsledky experimentu budou jiné, protože se změnily fázové poměry mezi oběma částmi elektronové vlny, a proto se místa konstruktivní a destruktivní interference posunou na jednu nebo druhou stranu. Dochází zde ke změně elektrického potenciálu, nikoli elektrického pole, a to je projevem skutečnosti, že v kvantové mechanice mají zásadní význam potenciály, nikoli pole.

Vysvětlení pomocí potenciálůEdit

Mohou nastat i případy, kdy se výsledky experimentu liší při změně potenciálů, i když žádná nabitá částice není nikdy vystavena jinému poli. Jedním z takových příkladů je Aharonův-Bohmův jev, znázorněný na obrázku. V tomto příkladu zapnutí solenoidu způsobí pouze existenci magnetického pole B uvnitř solenoidu. Solenoid je však umístěn tak, že elektron nemůže projít jeho vnitřkem. Pokud bychom věřili, že pole jsou základní veličiny, pak bychom očekávali, že výsledky experimentu se nezmění. Ve skutečnosti jsou výsledky jiné, protože zapnutím solenoidu se změnil vektorový potenciál A v oblasti, kterou elektrony procházejí. Nyní, když bylo zjištěno, že fundamentální jsou potenciály V a A, a nikoli pole E a B, vidíme, že měřítkové transformace, které mění V a A, mají skutečný fyzikální význam, a nejsou pouhými matematickými artefakty.

Invariance měřítka: výsledky experimentů jsou nezávislé na volbě měřítka pro potenciályEdit

Všimněte si, že v těchto experimentech je jedinou veličinou, která ovlivňuje výsledek, rozdíl fáze mezi dvěma částmi elektronové vlny. Předpokládejme, že si obě části elektronové vlny představíme jako malé hodiny, z nichž každá má jednu ručičku, která kmitá po kružnici a sleduje svou vlastní fázi. I když tato karikatura ignoruje některé technické detaily, zachovává fyzikální jevy, které jsou zde důležité. Pokud jsou oboje hodiny zrychleny o stejnou hodnotu, fázový vztah mezi nimi se nemění a výsledky experimentů jsou stejné. Nejen to, ale není ani nutné měnit rychlost obou hodin o pevnou hodnotu. Mohli bychom měnit úhel ručičky na každých hodinách o různou hodnotu θ, přičemž θ může záviset jak na poloze v prostoru, tak na čase. Na výsledek experimentu by to nemělo žádný vliv, protože ke konečnému pozorování polohy elektronu dochází v jediném místě a čase, takže fázový posun na „hodinách“ každého elektronu by byl stejný a oba efekty by se vyrušily. To je další příklad měřítkové transformace: je lokální a nemění výsledky experimentů.

ShrnutíUpravit

V souhrnu dosahuje měřítková symetrie v kontextu kvantové mechaniky svého plného významu. Při aplikaci kvantové mechaniky na elektromagnetismus, tj. kvantovou elektrodynamiku, se měřítková symetrie vztahuje jak na elektromagnetické vlny, tak na elektronové vlny. Tyto dvě měřítkové symetrie spolu ve skutečnosti úzce souvisejí. Pokud se například na elektronové vlny aplikuje měřítková transformace θ, pak je třeba aplikovat odpovídající transformaci také na potenciály, které popisují elektromagnetické vlny. Gauge symetrie je nutná k tomu, aby kvantová elektrodynamika byla renormalizovatelnou teorií, tj, v níž jsou vypočtené předpovědi všech fyzikálně měřitelných veličin konečné.

Typy měřítkových symetriíEdit

Popis elektronů ve výše uvedené podkapitole jako malých hodin je ve skutečnosti vyjádřením matematických pravidel, podle kterých se mají sčítat a odečítat fáze elektronů: má se s nimi zacházet jako s obyčejnými čísly, až na to, že v případě, kdy výsledek výpočtu spadá mimo rozsah 0≤θ<360°, nutíme jej „zabalit“ do povoleného rozsahu, který pokrývá kruh. Jiný způsob vyjádření je, že fázový úhel řekněme 5° je považován za zcela ekvivalentní úhlu 365°. Experimenty ověřily toto testovatelné tvrzení o interferenčních vzorcích tvořených elektronovými vlnami. S výjimkou vlastnosti „obtékání“ jsou algebraické vlastnosti této matematické struktury přesně stejné jako vlastnosti běžných reálných čísel.

V matematické terminologii tvoří elektronové fáze abelovskou grupu pod sčítáním, která se nazývá kruhová grupa nebo U(1). „Abeliánská“ znamená, že sčítání komutuje, takže θ + φ = φ + θ. Grupa znamená, že sčítání asociuje a má identitní prvek, a to „0“. Také pro každou fázi existuje inverze taková, že součet fáze a její inverze je 0. Dalšími příklady abelických grup jsou celá čísla při sčítání, 0 a negaci a nenulové zlomky při součinu, 1 a reciprocitě.

Jako způsob vizualizace volby měřítka uvažujte, zda je možné zjistit, zda byl válec zkroucen. Pokud na válci nejsou žádné hrbolky, značky nebo škrábance, nemůžeme to poznat. Mohli bychom však podél válce nakreslit libovolnou křivku definovanou nějakou funkcí θ(x), kde x měří vzdálenost podél osy válce. Jakmile je tato libovolná volba (volba měřítka) provedena, je možné ji zjistit, pokud někdo později válec zkroutí.

V roce 1954 Chen Ning Yang a Robert Mills navrhli zobecnit tyto myšlenky na nekomutativní grupy. Nekomutativní měřítková grupa může popisovat pole, které na rozdíl od elektromagnetického pole interaguje samo se sebou. Například obecná teorie relativity tvrdí, že gravitační pole má energii, a speciální teorie relativity dochází k závěru, že energie je ekvivalentní hmotnosti. Gravitační pole tedy indukuje další gravitační pole. Tuto sebeinteragující vlastnost mají i jaderné síly.

Gauge bosonyEdit

Měřicí symetrie může překvapivě poskytnout hlubší vysvětlení existence interakcí, například elektrické a jaderné interakce. Vyplývá to z typu měřítkové symetrie vztahující se ke skutečnosti, že všechny částice daného typu jsou od sebe experimentálně nerozlišitelné. Představme si, že Alice a Betty jsou jednovaječná dvojčata, která byla při narození označena náramky s nápisy A a B. Protože jsou dívky identické, nikdo by nepoznal, kdyby byly při narození zaměněny; označení A a B jsou libovolná a lze je zaměnit. Taková trvalá záměna jejich identit je jako globální měrná symetrie. Existuje také odpovídající lokální kalibrační symetrie, která popisuje skutečnost, že z jednoho okamžiku na druhý by si Alice a Betty mohly vyměnit role, zatímco by se nikdo nedíval, a nikdo by to nebyl schopen zjistit. Pokud pozorujeme, že se rozbila maminčina oblíbená váza, můžeme pouze vyvodit, že vina patří jednomu nebo druhému dvojčeti, ale nemůžeme říct, zda je vina stoprocentně na straně Alice a stoprocentně na straně Betty, nebo naopak. Pokud jsou Alice a Betty ve skutečnosti spíše kvantově mechanické částice než lidé, pak mají také vlnové vlastnosti, včetně vlastnosti superpozice, která umožňuje vlny libovolně sčítat, odečítat a míchat. Z toho vyplývá, že nejsme omezeni ani na úplné záměny identity. Například pozorujeme-li, že na určitém místě v prostoru existuje určité množství energie, neexistuje experiment, který by nám řekl, zda je tato energie ze 100 % A a z 0 % B, z 0 % A a ze 100 % B, nebo z 20 % A a z 80 % B, nebo z nějaké jiné směsi. Skutečnost, že symetrie je lokální, znamená, že nemůžeme ani počítat s tím, že tyto poměry zůstanou při šíření částic prostorem neměnné. Podrobnosti matematického vyjádření tohoto jevu závisí na technických otázkách týkajících se spinů částic, ale pro naše současné účely budeme uvažovat částice bez spinu, u nichž se ukazuje, že míchání lze specifikovat libovolnou volbou úhlu θ(x), kde úhel θ = 0° představuje 100 % A a 0 % B, θ = 90° znamená 0 % A a 100 % B a střední úhly představují směsi.

Podle principů kvantové mechaniky částice ve skutečnosti nemají trajektorie v prostoru. Pohyb lze popsat pouze ve formě vlnění a hybnost p jednotlivé částice souvisí s její vlnovou délkou λ vztahem p = h/λ. Z hlediska empirických měření lze vlnovou délku určit pouze pozorováním změny vlnění mezi jedním bodem v prostoru a jiným blízkým bodem (matematicky, diferencí). Vlna s kratší vlnovou délkou kmitá rychleji, a proto se mezi blízkými body mění rychleji. Nyní předpokládejme, že libovolně stanovíme měřítko v jednom bodě v prostoru tím, že řekneme, že energie v tomto místě je 20 % energie A a 80 % energie B. Poté změříme obě vlny v nějakém jiném, blízkém bodě, abychom určili jejich vlnové délky. Existují však dva zcela odlišné důvody, proč se vlny mohly změnit. Mohly se změnit proto, že kmitaly s určitou vlnovou délkou, nebo se mohly změnit proto, že se měrná funkce změnila ze směsi 20-80 na, řekněme, 21-79. To znamená, že se vlny změnily. Pokud zanedbáme druhou možnost, výsledná teorie nebude fungovat; projeví se podivné nesrovnalosti v hybnosti, což porušuje princip zachování hybnosti. Něco v teorii se musí změnit.

Znovu se objevují technické problémy týkající se spinu, ale v několika důležitých případech, včetně elektricky nabitých částic a částic interagujících prostřednictvím jaderných sil, je řešením problému připsání fyzikální reality měrné funkci θ(x). Říkáme, že pokud funkce θ osciluje, představuje nový typ kvantově-mechanické vlny a tato nová vlna má vlastní hybnost p = h/λ, což se ukazuje jako záplata nesrovnalostí, které by jinak porušily zachování hybnosti. V kontextu elektromagnetismu by částice A a B byly nabité částice, například elektrony, a kvantově mechanická vlna reprezentovaná θ by byla elektromagnetickým polem. (Zde ignorujeme technické problémy vyvolané skutečností, že elektrony mají ve skutečnosti spin 1/2, nikoliv spin nula. Toto zjednodušení je důvodem, proč měřítkové pole θ vychází jako skalár, zatímco elektromagnetické pole je ve skutečnosti reprezentováno vektorem složeným z V a A). Výsledkem je, že máme vysvětlení pro přítomnost elektromagnetických interakcí: pokud se pokusíme zkonstruovat gauge-symetrickou teorii identických, neinteragujících částic, výsledek není konzistentní sám o sobě a lze jej napravit pouze přidáním elektrického a magnetického pole, které způsobí interakci částic.

Ačkoli funkce θ(x) popisuje vlnu, zákony kvantové mechaniky vyžadují, aby měla také vlastnosti částice. V případě elektromagnetismu je částicí odpovídající elektromagnetickému vlnění foton. Obecně se takové částice nazývají měřítkové bosony, přičemž pojem „boson“ označuje částici s celočíselným spinem. V nejjednodušších verzích teorie jsou měřítkové bosony bezhmotné, ale je možné zkonstruovat i verze, ve kterých mají hmotnost, jako je tomu v případě měřítkových bosonů, které přenášejí síly jaderného rozpadu

.