Jedná se o krátký úvod do Galoisovy teorie. Úroveň tohoto článku je ve srovnání s některými články NRICH nutně poměrně vysoká, protože Galoisova teorie je velmi obtížné téma, které se obvykle zavádí až v posledním ročníku bakalářského studia matematiky. Tento článek pouze klouže po povrchu Galoisovy teorie a měl by být pravděpodobně přístupný sedmnáctiletému nebo osmnáctiletému školákovi se silným zájmem o matematiku. V úvodu níže je krátký a velmi vágní přehled dvou důležitých aplikací Galoisovy teorie. Pokud se chcete o Galoisově teorii dozvědět více, zbytek článku je hlubší, ale také obtížnější.
Dvě nejdůležitější věci, které je třeba znát, abyste pochopili hlubší část článku, jsou komplexní čísla a teorie grup. Pokud jste se s komplexními čísly dosud nesetkali, můžete si přečíst knihu An Introduction to Complex Numbers , která by měla být přístupná patnáctiletým nebo šestnáctiletým studentům. Pokud jste se s teorií grup dosud nesetkali, nezoufejte. Níže uvádím ideu grupy, i když možná bude lepší pokusit se najít knihu nebo webové stránky, které se jí věnují podrobněji.
1.1 Motivace
Teorie galois je velmi rozsáhlé téma, a dokud se do studia matematiky zcela neponoříte způsobem, který je neobvyklý, pokud nestudujete obor matematika, může se zdát zcela zbytečné. Existují však dva problémy, které poskytují určitou motivaci ke studiu Galoisovy teorie – existence polynomů, které nejsou řešitelné pomocí radikálů, a některé výsledky o klasické euklidovské geometrii,například že nelze trisekovat úhel pomocí pravítka a kružítka a že některé pravidelné mnohoúhelníky nelze sestrojit pomocí pravítka a kružítka.
Definice Když můžeme najít řešení polynomu s racionálními koeficienty pouze pomocí racionálních čísel a operací sčítání, odčítání, dělení, násobení a hledání n-tých kořenů, říkáme, že $p(x)$ je řešitelný radikály.
1.2 Historie
Proč se tedy Galoisova teorie nazývá Galoisova teorie? Odpověď zní, že je pojmenována podle francouzského matematika Evarista Galoise (1811-1832), který v této oblasti vykonal několik velmi důležitých prací. Jeho život byl velmi dramatický a složitý, protože se mu nepodařilo prosadit většinu svých prací, protože měl velké potíže se srozumitelně vyjadřovat. Nebyl například přijat na přední pařížskou univerzitu Ecole Polytechnique a musel se spokojit s Ecole Normale. S obtížemi se setkal také kvůli svým politickým sympatiím, byl totiž republikán. To vedlo k jeho vyloučení z Ecole Normale, když napsal do novin dopis kritizující ředitele školy. Vstoupil do republikánské odbočky domobrany a později byl kvůli svému členství (dvakrát) uvězněn. Podruhé se ve vězení zamiloval do dcery vězeňského lékaře Stephanie-Felice du Motel a po propuštění zemřel v souboji s Perscheuxem d’Herbinville. Důvody souboje nejsou zcela jasné, ale zdá se pravděpodobné, že to mělo něco společného se Stephanií. Jeho smrt odstartovala republikánské nepokoje a shromáždění, která trvala několik dní.
Ačkoli se Galoisovi často připisuje vynález teorie grup a Galoisovy teorie, zdá se, že s mnoha myšlenkami možná jako první přišel italský matematik Paolo Ruffini (1765-1822). Bohužel jeho myšlenky nebral zbytek tehdejší matematické komunity vážně. Na konci tohoto dokumentu je několik odkazů pro všechny, kteří se chtějí dozvědět více o historii teorie grup a Galoisovy teorie.
1.3 Přehled
Způsob, jakým se výše uvedený výsledek o rozpustnosti pomocí radikálů dokazuje (pomocí Galoisovy teorie), je dokázat výsledek o souboru symetrií mezi kořeny polynomu za předpokladu, že kořeny jsou sestaveny pouze pomocí výše uvedených speciálních operací. (Ukazuje se, že kolekce symetrií musí tvořit tzv. rozpustnou grupu. Více se o tom dozvíte na konci tohoto článku.) Pak naleznete polynom, pro který symetrie kořenů tuto speciální vlastnost nemá, takže víte, že kořeny nebylo možné sestavit ze speciálních operací.
Předmětem zbytku tohoto článku je upřesnění toho, co rozumíme symetrií kořenů, a o struktuře souboru těchto symetrií.
1.4 Zápis
1.5 Rady pro čtení tohoto článku
Zbytek tohoto článku je poměrně složitý. Je zde zavedeno a opakovaně použito velké množství nových myšlenek a je zde spousta neznámých slov. Ke konci článku budu používat výrazy jako $Q$ je radikální rozšíření pole $Q$, protože ho lze v každé fázi sestavit pouze pomocí cyklotomických rozšíření pole. Nenechte se příliš odradit tímto zdánlivě cizím jazykem, každé slovo je vysvětleno při jeho zavedení. Nejlepší strategií pro čtení je postupovat pomalu a ujistit se, že přesně chápete, co každé slovo znamená, než přejdete k další části, protože toto slovo bude používáno znovu a znovu, a pokud mu nebudete zcela rozumět, pak bude vše jen více a více matoucí, jak budete číst dál. Pokud to však čtete online, můžete jednoduše kliknout na kterékoli z podtržených slov a v malém okně se objeví původní definice.
2 Skupiny a pole
Na tomto místě si možná budete chtít zkontrolovat, zda jste doposud postupovali správně. Zkuste dokázat, že $S_n$ je grupa a že má $n!$ prvků. Pokud jste spokojeni s představou množin a funkcí, pak můžete dokázat, že $S_X$ je grupa, i když $X$ je nekonečná množina.
2.2 Pole
2.3 Rozšíření pole
Definice (rozšíření pole):
Rozšíření pole $F$ je pole $K$ obsahující $F$ (rozšíření pole zapisujeme jako $F\subseteq K$ nebo $K/F$). Například reálná čísla jsou rozšířením pole racionálních čísel, protože reálná čísla jsou polem a každé racionální číslo je zároveň reálným číslem.
2.4 Dělící pole
Tady začíná trochu Galoisova teorie.
Dalším příkladem je, že dělícím polem $p(x)=x^4-5x^2+6$ je $Q$. Chápete proč?“
3 Automorfismy a Galoisovy grupy
Můžete si ověřit, že pro výše uvedenou funkci $f$ opravdu splňuje všechny podmínky.
Podstata automorfismu pole spočívá v tom, že je to jen způsob, jak přeznačit prvky pole, aniž by se vůbec změnila jeho struktura. Jinými slovy, můžeme nahradit symbol $\sqrt{2}$ symbolem $-\sqrt{2}$, provést všechny naše výpočty a pak změnit symbol $-\sqrt{2}$ zpět na $\sqrt{2}$ a dostaneme správnou odpověď. Automorfismy pole jsou správným způsobem vyjádření této myšlenky,protože podmínky, že $f(x+y)=f(x)+f(y)$ zachovávají násobení, sčítání a tak dále.
3.2 Galoisova grupa
4 Řešení pomocí radikálů
Dále se zabývat Galoisovou teorií by bylo bohužel příliš složité. Zbytek důkazu existence polynomů, které nejsou rozpustné pomocí radikálů, jen načrtnu.
5 Třídění úhlů
Jak jsem se zmínil výše, pomocí Galoisovy teorie lze ukázat, že metodou pravítka a kružítka nelze třídit všechny úhly. Nastíním důkaz, že pomocí pravítka a kružítka nelze sestrojit úhel o velikosti $20^{\circ}$ (a nelze tedy trisekovat úhel o velikosti $60^{\circ}$).
Není zřejmé, že každé konstruovatelné číslo musí ležet v rozšíření pole tohoto tvaru, ale tak nějak vidíme proč, protože při daných úsečkách o délkách $x$, $y$ lze pomocí geometrických konstrukcí sestrojit další úsečky o délkách $x+y$, $x y$ a $1/x$. Navíc lze sestrojit úsečku délky $\sqrt{x}$ pouze pomocí geometrických konstrukcí. Ve skutečnosti můžete také ukázat, že toto jsou jediné věci, které můžete udělat pomocí geometrických konstrukcí. (Pokud to chcete zkusit, můžete to dokázat tak, že použijete skutečnost, že jediné, co můžete dělat s neoznačenými pravítky a kružítky, je najít průsečík dvou přímek, což vám dává pouze aritmetické operace, najít průsečík přímky a kružnice, což vám dává odmocniny, a průsečíky kružnic a kruhů, což vám dává odmocniny). Chápete, proč to znamená, že číslo v konstruovatelném rozšíření pole (jak je definováno výše) lze sestrojit pouze pomocí neoznačeného pravítka a kružítka a že tímto způsobem lze sestrojit pouze čísla v konstruovatelných rozšířeních pole?“
Dále ukážete, že pokud máte kubický polynom $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$, jehož kořeny nejsou racionální čísla, pak kořeny nejsou konstruovatelné? To není příliš obtížné dokázat, ale vyžaduje to určité znalosti nad rámec toho, co předpokládám pro tento článek.
Tady je ta chytrá část. Předpokládejme, že byste mohli sestrojit úhel $20^{\circ}$, pak by číslo $\cos(20^{\circ})$ bylo sestrojitelné (stačí pustit kolmici z bodu na přímce ve vzdálenosti $20^{\circ}$ k vodorovné rovině ve vzdálenosti $1$ od počátku). Můžete však ukázat, že $\alfa=\cos(20^{\circ})$ je kořen rovnice $8x^3-6x-1=0$ (rozkladem $\cos(60^{\circ})$ na $\cos(20^{\circ})$ pomocí vzorce pro sčítání). Je snadné ukázat, že nemá žádné racionální kořeny, a proto se kořeny nedají sestrojit. To znamená, že jsme nemohli sestrojit úhel $20^{\circ}$, protože pak bychom mohli sestrojit $\cos(20^{\circ})$, což je nemožné. Úhel $60^{\circ}$ tedy nelze zkonstruovat trisekcí.
Takovéto metody můžete použít k důkazu dalších výsledků o tom, jaké útvary lze nebo nelze zkonstruovat a podobně.
6 Další čtení
.