Matematikerna har ett behov av att göra saker och ting mer och mer komplexa, vilket är både en välsignelse och en förbannelse. Deras drivkraft att ta en idé och sträcka den så långt som möjligt kan ge fascinerande nya insikter. Nackdelen är att i takt med att matematiken blir mer abstrakt och får kraft att beskriva stora delar av begreppslig kunskap blir den svårare och svårare att beskriva i ord.
Det är alltså med tungt huvud som jag vänder fokus i denna serie om millennieprisproblem till Hodgekonjekturen. Det är en fantastisk skärningspunkt mellan olika områden inom matematiken, men en smärta i torus att sammanfatta. Eftersom det är Världsmatematikdagen börjar jag med ett löfte: så fort det blir för komplicerat ska jag sluta medan jag ligger i framkant.
Människor har studerat matematiken kring former långt innan en triangel först fångade Pythagoras uppmärksamhet omkring 500 f.Kr. Under generationernas lopp studerades allt mer komplicerade former tills det ungefär två tusen år senare såg ut som om de höll på att ta slut. Matematikerna hade gjort allt de kunde komma på med former, och på vägen dit hade de lagt grunden för allt från ingenjörskonst till perspektivmålning. År 1637 insåg en smart ung matematiker och filosof att om man abstraherade ytterligare ett steg var geometri faktiskt samma sak som algebra.
Med hjälp av det cartesianska koordinatsystem som nu bär hans namn funderade Descartes en hel del på hur en geometrisk linje bara var en uppsättning siffror. Ekvationer kan också producera en uppsättning tal som sina lösningar. Om båda dessa uppsättningar av tal var exakt likadana kunde en linje som ritades på ett papper anses vara samma sak som lösningen till en ekvation.
Detta var en vattendelare inom matematiken som gjorde det möjligt att tillämpa alla de verktyg som utvecklats inom algebra på geometri. Det är därför din matematiklärare i skolan blev så entusiastisk över att omvandla linjära grafer till ekvationer: varje slumpmässig linje kan betraktas som mängden lösningar till en ekvation som y = mx + c. Varje cirkel är mängden lösningar till (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Om du vill se var en viss linje korsar en viss cirkel kan du antingen rita upp formerna geometriskt eller bara jämföra ekvationerna algebraiskt. Båda metoderna ger samma svar.
Matematikerna nöjde sig inte med att stanna vid linjer och fann snabbt att mer komplicerade ekvationer, eller till och med uppsättningar av ekvationer som alla arbetar tillsammans, kunde ge fantastiska former i alla möjliga dimensioner. Vissa kunde fortfarande visualiseras som former – till exempel de ekvationer vars lösningsuppsättningar kartlägger ytan av en ring, en så kallad torus – men många av dem var bortom vad vi kan föreställa oss och endast åtkomliga med hjälp av algebra och en mycket utsträckt fantasi.
Eftersom matematikerna nu sysslade med objekt som ligger bortom vad vi kan föreställa oss, blev dessa ”former” allmänt kända som ”algebraiska cykler”. Om en algebraisk cykel var en trevlig slät och allmänt välfungerande form förtjänade den också titeln ”manifest”.
Två saker hände sedan på en gång. För det första: en grupp matematiker som kallas topologer började titta på vad som händer om man ritar former på en manifest. Man kan tänka sig att man har en ringmunk och ritar en triangel precis runt toppen (se bilden ovan). Eller kanske en femhörning.
Behövs det egentligen båda? Om formen kunde glida och sträcka sig så skulle triangeln kunna förvrängas till en femhörning. Topologer grupperade alla former som kunde förvrängas från den ena till den andra (utan att lyftas från manifestytan) i en ”homologiklass” – ett slags generaliserad form. Alla former som går genom ”hålet” i munken skulle bilda en annan homologiklass.
För det andra började en grupp matematiker som kallade sig algebraister att ta ekvationsuppsättningar som redan producerade snygga och prydliga manifestor och lägga till fler ekvationer. Dessa ytterligare ekvationer producerade nya algebraiska cykler inom dessa manifestor.
Det dröjde inte länge innan folk insåg att topologer som ritade homologiklasser på manifestor och algebraister som bäddade in algebraiska cykler i manifestor faktiskt var samma sak. Det var en upprepning av när geometriska former först mötte algebraiska ekvationer. Svårigheten var att ingen visste säkert när en homologiklass på en manifest innehöll minst en form som också kunde beskrivas som en algebraisk cykel.
För att sammanfatta är en manifest en märklig (möjligen högdimensionell) form som kan beskrivas med en uppsättning ekvationer. Om man lägger till ytterligare ekvationer får man mindre former, så kallade algebraiska cykler, inom denna manifest.
Problemet är: om man ritar en slumpmässig – eventuellt otäck – form på en manifest, hur vet man då om den kan sträckas ut till en annan form som kan beskrivas som en trevlig algebraisk cykel?
Den skotske matematikern William Hodge hade en bra idé om hur man skulle kunna avgöra vilka homologiklasser på en given manifest som var likvärdiga med en algebraisk cykel. Men han kunde inte bevisa det. Om du kan bevisa att hans metod alltid fungerar är priset på 1 miljon dollar ditt.
Mitt problem är att jag hittills har talat i termer av fina vanliga numeriska koordinater och normala rumsliga dimensioner. I Hodge-konjekturen används faktiskt vad som kallas komplexa talkoordinater och komplexa rumsliga dimensioner. Så hur gärna jag än skulle vilja beskriva hela gissningen för er är detta exakt den punkt där jag lovade att jag skulle sluta.
Matt Parker arbetar på matematiska avdelningen vid Queen Mary, University of London, och kan hittas online på standupmaths.com
För att få veta mer om Hodge-konjekturen, rekommenderas denna video med en föreläsning av Dan Freed från University of Texas at Austin
- Dela på Facebook
- Dela på Twitter
- Dela via e-post
- Dela på LinkedIn
- Dela på Pinterest
- Dela på WhatsApp
- Dela på Messenger