Sida

Skriven av den i Articles

En funktionell ekvation är grovt sett en ekvation där några av de okända som ska lösas är funktioner. Följande är till exempel funktionella ekvationer:

  • $f(x) + 2f\vänster(\frac1x\höger) = 2x$
  • $g(x)^2 + 4g(x) + 4 = 8\sin{x}$

Introduktionsämnen

Inversen av en funktion

Inversen av en funktion är en funktion som ”upphäver” en funktion. Som exempel kan du tänka dig funktionen: $f(x) = x^2 + 6$. Funktionen $g(x) = \sqrt{x-6}$ har egenskapen att $f(g(x)) = x$. I detta fall kallas $g$ för den (högra) omvända funktionen. (På samma sätt kallas en funktion $g$ så att $g(f(x))=x$ kallas den vänstra inversfunktionen. Vanligtvis sammanfaller höger och vänster inverser på en lämplig domän, och i detta fall kallar vi helt enkelt höger och vänster inversfunktion för inversfunktion). Ofta betecknas inversen till en funktion $f$ med $f^{-1}$.

Intermediate Topics

Cykliska funktioner

En cyklisk funktion är en funktion $f(x)$ som har egenskapen att:

$f(f(\cdots f(x) \cdots)) = x$

Ett klassiskt exempel på en sådan funktion är $f(x) = 1/x$ eftersom $f(f(x)) = f(1/x) = x$. Cykliska funktioner kan vara till stor hjälp vid lösning av funktionella identiteter. Tänk på detta problem:

Finn $f(x)$ så att $3f(x) - 4f(1/x) = x^2$. I denna funktionella ekvation, låt $x=y$ och låt $x = 1/y$. Detta ger två nya ekvationer:

$3f(y) - 4f\left(\frac1y\right) = y^2$

$3f\left(\frac1y\right)- 4f(y) = \frac1{y^2}$

Om vi nu multiplicerar den första ekvationen med 3 och den andra med 4 och adderar de två ekvationerna får vi:

$-7f(y) = 3y^2 + \frac{4}{y^2}$

Så det är klart, $f(y) = -\frac{3}{7}y^2 - \frac{4}{7y^2}$

Problemexempel

  • 2006 AMC 12A Problem 18
  • 2007 AIME II Problem 14

Se även

  • Funktioner
  • Polynomier
  • Cauchys funktionella ekvation

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.