nLab Banachrymd

Skriven av den i Articles

Idea

En Banachrymd â¬\mathcal{B} är både en vektorrymd (över ett normerat fält som â\mathbb{R}) och en komplett metrisk rymd, på ett kompatibelt sätt. Därför är det ett fullständigt normerat vektorrum.

En källa till enkla Banach-rum kommer från att betrakta ett kartesiskt rum â n\mathbb{R}^n (eller K nK^n där KK är det normerade fältet) med normen:

â(x 1,â¦,x n)â pââ i=1 n|x i| pp {\|(x_1,\ldots,x_n)\|_p} \coloneqq \root p {\sum_{i = 1}^n {|x_i|^p}}

varvid 1â¤pâ¤ââ1 \leq p \leq \infty (detta är inte helt logiskt för p=âp = \infty, men om man tar gränsen som pââp \till \infty och läser â â=limⶠnâ n\mathbb{R}^\infty = \underset{\longrightarrow}{\lim}_n \mathbb{R}^n \mathbb{R}^n som den direkta gränsen (i motsats till den inversa gränsen) kommer vi fram till formeln â(x 1,â¦,x n)â ââmax i|x i|{\|(x_1,\ldots,x_n)\|_\infty} \coloneqq \max_i {|x_i|}).

Teorin för dessa rum är dock inte mycket mer komplicerad än teorin för ändligt dimensionella vektorrum eftersom de alla har samma underliggande topologi. När vi tittar på infinitdimensionella exempel blir det dock knepigare. Vanliga exempel är Lebesgue-rum, Hilbert-rum och sekvensrum.

I litteraturen ser man oftast Banach-rum över fältet â\mathbb{R} av reella tal; Banach-rum över fältet â\mathbb{C} av komplexa tal skiljer sig inte så mycket från varandra, eftersom de också är över â\mathbb{R}. Men folk studerar dem också över p-adiska tal. Om inget annat anges antar vi â\mathbb{R} nedan.

Definitioner

Låt VV vara ett vektorrum över fältet av reella tal. (Man kan generalisera valet av fält något.) En pseudonorm (eller seminorm) på VV är en funktion

ââââ:Vââ {\| – \|\|}\kolon V \till \mathbb{R}

så att:

  1. â0ââ¤0 {\|0\|} \leq 0 ;
  2. ârvâ=|r|âvâ {\|r v\||} = {|r|} {\|v\|} (för rr en skalär och vv en vektor);
  3. âv+wââ¤âvâ+âwâ {\|v + w\|} \leq {\|v\||} + {\|w\|} .

Det följer av ovanstående att âvâââ¥0{\|v\\|} \geq 0; i synnerhet är â0â=0{\|0\||} = 0. En norm är en pseudonorm som uppfyller en motsats till detta: v=0v = 0 om âvâ=0{\|v\||} = 0.

En norm på VV är fullständig om, givet en oändlig sekvens (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) så att

(1)lim m,nââââââ i=m m+nvv iâ=0, \lim_{m,n\to\infty} {\left\| \sum_{i=m}^{m+n} v_i \right\|} = 0 ,

det finns en (nödvändigtvis unik) summa SS så att

(2)lim nâââââSââ i=1 nv iâ=0; \lim_{n\to\infty} {\left\| S – \sum_{i=1}^n v_i \right\|} = 0 ;

Vi skriver

S=â i=1 âv i S = \sum_{i=1}^\infty v_i

(där den högra sidan är odefinierad om det inte finns någon sådan summa).

Då är ett Banach-rum helt enkelt ett vektorrum som är utrustat med en fullständig norm. Liksom i den reella linjen har vi i ett Banach-rum att

ââ i=1 âv iâââ¤â i=1 ââv iâ, {\left\| \sum_{i=1}^\infty v_i \right\|} \leq \sum_{i=1}^\infty {\|v_i\||} ,

med den vänstra sidan garanterat existerar om den högra sidan existerar som ett ändligt reellt tal (men den vänstra sidan kan existera även om den högra sidan divergerar, den vanliga distinktionen mellan absolut och villkorlig konvergens).

Om vi inte insisterar på att utrymmet skall vara fullständigt kallar vi det ett normerat (vektor)rum. Om vi har ett topologiskt vektorrum så att topologin kommer från en norm, men vi gör inget faktiskt val av en sådan norm, talar vi om ett normbart rum.

Banachrum som metriska rum

De tre axiomen för en pseudonorm liknar i hög grad de tre axiomen för en pseudometrisk.

I varje pseudonormat vektorrum, låt avståndet d(v,w)d(v,w) vara

d(v,w)=âwâvâ. d(v,w) = {\|w – v\|} .

Då är dd en pseudometrisk, som är translationsinvariant på så sätt att

d(v+x,w+x)=d(v,w) d(v+x,w+x) = d(v,w)

alltid gäller. Omvänt, givet varje translationsinvariant pseudometrisk dd på ett vektorrum VV, låt âvâ{\|v\|} vara

âvâ=d(0,v). {\|v\||} = d(0,v) .

Då uppfyller âââ{\|-\\|} axiomen (1â3) för en pseudonorm, förutom att den kan uppfylla (2) endast för r=0,±1r = 0, \pm 1. (Med andra ord är det bara en G-pseudonorm.) Det kommer faktiskt att vara en pseudonorm om pseudometrin uppfyller en homogenitetsregel:

d(rv,rw)=|r|d(v,w). d(r v,r w) = {|r|} d(v,w) .

Sålunda motsvarar pseudonormer just homogena översättningsinvarianta pseudometriker.

På samma sätt motsvarar normer homogena översättningsinvarianta metriker och kompletta normer motsvarar kompletta homogena översättningsinvarianta metriker. Faktum är att (1) säger att sekvensen av partiella summor är en Cauchy-sekvens, medan (2) säger att sekvensen av partiella summor konvergerar mot SS.

Därmed kan en Banach-rymd likvärdigt definieras som en vektorrymd utrustad med en komplett homogen översättningsinvariant metrik. I själva verket ser man vanligtvis ett slags hybridmetod: ett Banach-rum är ett normerat vektorrum vars motsvarande metrik är fullständig.

Kartor mellan Banach-rum

Om VV och WW är pseudonormade vektorrum kan normen för en linjär funktion f:VâWf\kolon V \till W definieras på något av dessa likvärdiga sätt:

  • âfâ=sup{âfvâ|âvââ¤1} {\|f\|} = \sup \{ {\|f v\|} \;|\; {\|v\|} \leq 1 \} ;
  • âfâ=inf{r|âv,âfvââ¤râvâ} {\|f\|} = \inf \{ r \;|\; \forall{v},\; {\|f v\|} \leq r {\|v\\|} \} .

(Vissa andra former förekommer ibland, men dessa kan bryta samman i degenererade fall.)

För rum med ändliga dimensioner har varje linjär karta en väldefinierad ändlig norm. I allmänhet är följande likvärdiga:

  • ff är kontinuerlig (enligt pseudometrierna på VV och WW) vid 00;
  • ff är kontinuerlig (överallt);
  • ff är jämnt kontinuerlig;
  • ff är Lipschitzkontinuerlig;
  • âfâ{\|f\|} är ändlig (och, i konstruktiv matematik, belägen);
  • ff är avgränsad (mätt med de bornologier som ges av pseudometrierna på VV och WW).

I detta fall säger vi att ff är avgränsad. Om f:VâWf\colon V \till W inte antas vara linjär, är ovanstående villkor inte längre ekvivalenta.

De avgränsade linjära kartorna från VV till WW bildar i sig själva ett pseudonormat vektorrum â¬(V,W)\mathcal{B}(V,W). Detta kommer att vara ett Banach-rum om (och, med undantag för degenererade fall av VV, endast om) WW är ett Banach-rum. På detta sätt är kategorin BanBan av Banach-rum en sluten kategori med â\mathbb{R} som enhet.

Den kloka läsaren kommer att notera att vi ännu inte har definierat Ban\mathbf{Ban} som en kategori! (Det finns många (icke likvärdiga) sätt att göra det.

I funktionell analys är det vanliga begreppet ”isomorfism” för Banach-utrymmen en avgränsad bijektiv linjär karta f:VâWf\colon V \till W så att den omvända funktionen f â1:WâVf^{-1}\colon W \till V (som nödvändigtvis är linjär) också är avgränsad. I detta fall kan man acceptera alla avgränsade linjära kartor mellan Banach-rum som morfismer. Analytiker hänvisar ibland till detta som den âisomorfa kategorinâ.

Ett annat naturligt begrepp för isomorfism är en surjektiv linjär isometri. I detta fall tar vi en morfism som en kort linjär karta, eller linjär kontraktion: en linjär karta ff så att âfâââ¤1{\|f\|} \leq 1. Denna kategori, som kategoriteoretiker i allmänhet kallar Ban\mathbf{Ban}, kallas ibland för âisometrisk kategoriâ av analytiker. Observera att detta gör den ”underliggande mängden” (i betydelsen Ban\mathbf{Ban} som en konkret kategori som vilken sluten kategori som helst) av ett Banach-rum till dess (slutna) enhetskula

Hom Ban(â,V)â {v|âvââ¤1} Hom_Ban(\mathbb{R},V) \cong \{ v \;|\; {\|v\|} \leq 1 \}

i stället för mängden av alla vektorer i VV (den underliggande mängden av VV som ett vektorrum).

Yemon Choi: Detta är egentligen här för att påminna mig själv om hur man gör frågelådor. Men när jag ändå håller på, är det verkligen okej att hänvisa till âunit ball functorâ som âtaking the underlying setâ? Jag noterar att det i diskussionen om internal homs at internal hom hävdas att âEvery closed category is a concrete category (represented by II), and the underlying set of the internal hom is the external homâ vilket tycks kräva att âunderlying setâ ska tolkas i denna lösare mening.

Toby: Visst, men poängen med att sätta âunderliggande mängdâ inom citationstecken är just att påpeka att den kategoriteoretiska underliggande mängden inte är vad man normalt skulle förvänta sig.

Mark Meckes: Jag har utökat det här avsnittet delvis för att vara konsekvent med analytikernas terminologi. Jag har gjort vissa antaganden om kategoriteoretikers konventioner som kanske inte är korrekta. (Om jag får tid kan jag skriva om andra kategorier av Banach-rum som analytiker tänker på.)

Toby: Ser bra ut för mig!

Från en kategoriteoretikers perspektiv är den isomorfa kategorin egentligen den fullständiga bilden av inklusionsfunktorn från BanBan till TVSTVS (kategorin av topologiska vektorrum), som kan betecknas Ban TVSBan_{TVS}. Om du arbetar i Ban TVSBan_{TVS} bryr du dig bara om den topologiska linjära strukturen i ditt rum (även om du också bryr dig om att den kan härledas från någon metrik); om du arbetar i BanBan bryr du dig om hela strukturen i rummet.

Exempel

Många exempel på Banachrymder parametreras av en exponent 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \leq \infty. (Ibland kan man också prova 0â¤p<10 \leq p \lt 1, men dessa ger i allmänhet inte Banachrymder.)

  • Det kartesiska rummet â n\mathbb{R}^n är ett Banach-rum med

    â(x 1,â¦,x n)â p=â i|x i| pp. {\|(x_1,\ldots,x_n)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}} .

    (Vi kan tillåta p=âp = \infty genom att ta en gräns; resultatet är att âxâ â=max i|x i|{\|x\x\|_\infty} = \max_i {|x_i|}.) Varje finitdimensionellt Banach-rum är isomorf till detta för vissa nn och pp; i själva verket, när man väl har fastställt nn, är värdet på pp irrelevant upp till isomorfism.

  • Sekvensutrymmet l pl^p är mängden oändliga sekvenser (x 1,x 2,â¦)(x_1,x_2,\ldots) av reella tal så att

    â(x 1,x 2,â¦)â p=â i|x i| pp {\|(x_1,x_2,\ldots)\|_p} = \root p {\sum_i {\x_i|^p}}

    existerar som ett ändligt reellt tal. (Den enda frågan är om summan konvergerar. Återigen är p=âp = \infty en gräns, med resultatet att âxâ â=sup i|x i|{\|x\x\|_\infty} = \sup_i {|x_i|}). Då är l pl^p ett Banachrum med denna norm. Dessa är alla versioner av â â\mathbb{R}^\infty, men de är inte längre isomorfa för olika värden på pp. (Se isomorfismklasser för Banachrymder.)

  • Mer generellt sett, låt AA vara vilken mängd som helst och låt l p(A)l^p(A) vara mängden av funktioner ff från AA till â\mathbb{R} så att

    âfâ p=â x:A|f(x)| pp {\|f\|_p} = \root p {\sum_{x: A} {|f(x)|^p}}}

    existerar som ett ändligt reellt tal. (Återigen, âfâ â=sup x:A|f(x)|{\|f\|_\infty} = \sup_{x\colon A} {|f(x)|}.) Då är l p(A)l^p(A) ett Banachrum. (Detta exempel innefattar de tidigare exemplen, för AA en räknebar mängd.)

  • På varje måttrymd XX är Lebesgue-rymden â p(X)\mathcal{L}^p(X) mängden mätbara nästan överallt definierade realvärdesfunktioner på XX så att

    âfâ p=â”|f| pp {\|f\||_p} = \root p {\int {|f|^p}}

    finns som ett ändligt reellt tal. (Återigen är den enda frågan om integralen konvergerar. Och återigen är p=âp = \infty en gräns, med resultatet att âfâ â{\|f\|_\infty} är det essentiella supremumet av |f|{|f|}). Som sådan är â p(X)\mathcal{L}^p(X) ett fullständigt pseudonormat vektorrum; men vi identifierar funktioner som är lika nästan överallt för att göra det till ett Banach-rum. (Det här exemplet inkluderar de tidigare exemplen, för XX en mängd med räkningsmått.)

  • Alla Hilbertrymder är Banachrymder; detta inkluderar alla ovanstående exempel för p=2p = 2.

Operationer på Banachrymder

Kategorin BanBan av Banachrymder är småkomplett, småkomplett, och symmetrisk monoidalt sluten med avseende på dess standardinterna hom (beskrivs på internal hom). Några detaljer följer.

  • Kategorin Banach-rum tillåter små produkter. Givet en liten familj av Banach-rum {X α} αââA\{X_\alpha\}_{\alpha \in A}, är dess produkt i BanBan underrymden till vektorrumsprodukten

    â αâAX α\prod_{\alpha \in A} X_\alpha

    bestående av AA-tupler â¨x αâ©\langle x_\alpha \rangle som är jämnt avgränsade (dvs. det finns CC så att âαâA:âx αââ¤C\för alla \alpha \in A: {\|x_\alpha\|} \leq C), genom att ta den minsta sådana övre gränsen som normen för â¨x αâ©\langle x_\alpha \rangle. Denna norm kallas â\infty-norm; i synnerhet är produkten av en AA-indexerad familj av kopior av â\mathbb{R} eller â\mathbb{C} vad som normalt betecknas som l â(A)l^{\infty}(A).

  • Kategorin Banach-utrymmen medger equalizers. Utjämnaren för ett par kartor f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y i BanBan är faktiskt fâgf-g:s kärna under den norm som ärvts från XX (kärnan är sluten eftersom fâgf-g är kontinuerlig, och är därför fullständig). Faktum är att varje equalizer är en jämn sektion enligt Hahn-Banach-satsen. Varje extrem monomorfism är till och med redan en equalizer (och en sektion): Låt f:XâYf\colon X \till Y vara en extrem monomorfism, ι:â(f)âY\iota\colon \Im(f) \till Y inbäddningen av Im(f)Im(f) i ff:s kodområde och fâ²:XâIm(f)f\prime \colon X \till Im(f) ff med begränsat kodområde. Eftersom fâ²f\prime är en epimorfism, f=ιfâ²f=\iota f\prime, och ff extrema, är fâ²f\prime en isomorfism, således är ff en inbäddning.

  • Kategorin Banach-utrymmen medger små koprodukter. Givet en liten familj av Banachrymder {X α} αâA\{X_\alpha\}_{\alpha \in A} är dess koprodukt i BanBan fullbordandet av vektorrummens koprodukt

    ⨠αâAX α\bigoplus_{\alpha \in A} X_\alpha

    med avseende på normen som ges av

    ââ⨠sâSx sâ=â sâSâx sâ, {\left\| \bigoplus_{s \in S} x_s \right\|} = \sum_{s \in S} {\\|x_s\|} ,

    där SâAS \subseteq A är ändlig och âx sâ{\|x_s\s\} betecknar normen för ett element i X sX_s. Denna norm kallas 11-normen; i synnerhet är koprodukten av en AA-indexerad familj av kopior av â\mathbb{R} eller â\mathbb{C} vad som normalt betecknas som l 1(A)l^1(A).

  • Kategorin Banach-utrymmen medger coequalizers. Koequalizer för ett par kartor f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y är fâgf-g:s cokernel under kvotnormen (där normen för en coset y+Cy + C är den minsta norm som uppnås av element i y+Cy + C; här är CC bilden (fâg)(X)(f-g)(X), som är sluten). Det är standard att kvotnormen på Y/CY/C är fullständig givet att normen på YY är fullständig.

  • För att beskriva tensorprodukten Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y av två Banach-rum (vilket gör BanBan symmetrisk monoidal sluten med avseende på dess vanliga interna hom), låt F(XÃY)F(X \times Y) vara det fria vektorrummet som genereras av uppsättningen XÃYX \times Y, med norm på ett typiskt element definierat genom

    â 1â¤iâ¤na i(x iây i)â=â 1â¤iâ¤n|a i|âx iâââ ây iâ. {\left\| \sum_{1 \leq i \leq n} a_i (x_i \otimes y_i) \right\||} = \sum_{1 \leq i \leq n} {|a_i|} {\\|x_i\\|} \cdot {\|y_i\|}.

    Låt F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y) beteckna dess komplettering med avseende på denna norm. Ta sedan cokernel av F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y) genom att stänga det delutrymme som spänns upp av de uppenbara bilinjära relationerna. Denna kvot är Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y.

I litteraturen om Banachrymder kallas tensorprodukt ovan vanligen för Banachrymders projektiva tensorprodukt; se annan tensorprodukt för Banachrymder. Produkten och koprodukten betraktas som direkta summor; se andra direkta summor av Banachrymder.

Ska beskrivas:

  • dualer (p+q=pqp+qp+q=p q = p q);
  • komplettering (BanBan är en reflekterande underkategori av PsNVectPsNVect (pseudonormerade vektorrymder)).
  • BanBan som en (något större) kategori med dualer.

Integration i Banachrymder

Detta stycke beskriver några aspekter av integrationsteorin i Banachrymder som är relevanta för att förstå litteraturen om AQFT. I det givna sammanhanget kallas element i ett Banach-rum â¬\mathcal{B} ibland för vektorer, en funktion eller ett mått som tar värden i â¬\mathcal{B} kallas därför för vektorfunktioner och vektormått. Funktioner och mått som tar värden i det fält som Banach-rummet är definierat på som ett vektorrum kallas skalarfunktioner och skalarmått.

Vi kommer att betrakta två typer av integraler:

  • integraler av vektorfunktioner med avseende på ett skalarmått, särskilt Bochner-integralen,

  • integraler av skalarfunktioner med avseende på ett vektormått, särskilt spektralintegralen av en normaloperatör på ett Hilbert-rum.

Bochnerintegralen

Bochnerintegralen är en direkt generalisering av Lesbegueintegralen till funktioner som tar värden i ett Banachrum. Närhelst du stöter på en integral för en funktion som tar värden i ett Banach-rum i AQFT-litteraturen är det säkert att anta att det är tänkt att vara en Bochner-integral. Två punkter som redan förklarats av Wikipedia är av intresse:

  1. En version av den dominerade konvergenssatsen är sann för Bochner-integralen.
  2. Det finns satser som inte är giltiga för Bochner-integralen, särskilt Radon-Nikodym-satsen gäller inte generellt.
  • Wikipedia

reference: Joseph Diestel: âSequences and Series in Banach Spacesâ (ZMATH entry), chapter IV.

The spectral integral

Integralen med avseende på spektralmåttet för en avgränsad normaloperatör på ett Hilbert-rum är ett exempel på ett Banach-rumsintegral med avseende på ett vektormått. I detta stycke presenterar vi ett välkänt, men något mindre ofta citerat resultat, som är användbart i vissa bevis i vissa metoder för AQFT, det är versionen av den dominerade konvergenssatsen för den givna inställningen.

Låt A vara en avgränsad normaloperatör på en Hilbert-rymd och E dess spektralmått (âresolutionen av identitetenâ i Dunfords och Schwartz’ termer). Låt Ï(A)\sigma(A) vara A:s spektrum. För en avgränsad komplex Borelfunktion f har vi då

f(A)ââ”” Ï(A)f(Δ)E(dΔ) f(A) \coloneqq \int_{\sigma(A)} f(\lambda) E(d\lambda)
Theorem (dominerad konvergens)

Om den enhetligt avgränsade sekvensen {f n}\{f_n\} av komplexa Borelfunktioner konvergerar i varje punkt i Ï(A)\sigma(A) mot funktionen ff, så kommer f n(A)âf(A)f_n(A) \till f(A) i den starka operatörstopologin.

Se Dunford, Schwartz II, kapitel X, korollarium 8.

Egenskaper

Relation till bornologiska utrymmen

Alla induktiva gränser för Banach-rum är bornologiska vektorrum. (Alpay-Salomon 13, prop. 2.3)

omvänt är varje bornologisk vektorrymd en induktiv gräns för normerade rum, och av Banachrymder om den är kvasikomplett (Schaefer-Wolff 99)

  • reflexiva Banachrymder

  • projektiva Banachrymder

  • Banachs analytiska rymder

Namngivet efter Stefan Banach.

  • Walter Rudin, Functional analysis

  • Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.: âLinear operators. Part I: General theory.â (ZMATH entry), âLinear operators. Part II: Spectral theory, self adjoint operators in Hilbert space.â (ZMATH entry)

  • Z. Semadeni, Banach spaces of continuous functions, vol. I, Polish scientific publishers. Warszawa 1971

  • Daniel Alpay, Guy Salomon, On algebras which are inductive limits of Banach spaces (arXiv:1302.3372)

  • H. H. Schaefer with M. P. Wolff, Topological vector spaces, Springer 1999

kategori: analys

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.