KvantelektrodynamikRedigera

Förrän kvantmekanikens tillkomst var det enda välkända exemplet på gaugesymmetri inom elektromagnetismen, och begreppets allmänna betydelse förstod man inte helt och hållet. Det var till exempel inte klart om det var fälten E och B eller potentialen V och A som var de fundamentala storheterna; om det var de förstnämnda kunde gauge-transformationerna inte betraktas som något annat än ett matematiskt trick.

Aharonov-Bohm-experimentRedigera

I kvantmekaniken beskrivs en partikel, till exempel en elektron, också som en våg. Om till exempel dubbelspaltsexperimentet utförs med elektroner observeras ett vågliknande interferensmönster. Elektronen har störst sannolikhet att upptäckas på platser där de delar av vågen som passerar genom de två slitsarna är i fas med varandra, vilket resulterar i konstruktiv interferens. Elektronvågens frekvens är relaterad till den kinetiska energin hos en enskild elektronpartikel via den kvantmekaniska relationen E = hf. Om det inte finns några elektriska eller magnetiska fält i experimentet är elektronens energi konstant, och det kommer till exempel att finnas en hög sannolikhet att upptäcka elektronen längs experimentets centrala axel, där de två delarna av vågen genom symmetri är i fas.

Men anta nu att elektronerna i experimentet är utsatta för elektriska eller magnetiska fält. Om till exempel ett elektriskt fält skulle införas på ena sidan av axeln men inte på den andra, skulle resultaten av experimentet påverkas. Den del av elektronvågen som passerar genom den sidan oscillerar med en annan hastighet, eftersom dess energi har fått -eV tillagt, där -e är elektronens laddning och V den elektriska potentialen. Resultaten av experimentet kommer att bli annorlunda, eftersom fasförhållandena mellan de två delarna av elektronvågen har förändrats, och därför kommer de konstruktiva och destruktiva interferensernas platser att förskjutas till den ena eller andra sidan. Det är den elektriska potentialen som förekommer här, inte det elektriska fältet, och detta är en manifestation av det faktum att det är potentialen och inte fälten som är av grundläggande betydelse inom kvantmekaniken.

Förklaring med potentialerRedigera

Det är till och med möjligt att ha fall där resultaten av ett experiment skiljer sig åt när potentialen ändras, även om ingen laddad partikel någonsin utsätts för ett annat fält. Ett sådant exempel är Aharonov-Bohm-effekten, som visas i figuren. I det här exemplet leder det faktum att solenoiden slås på endast till att ett magnetfält B existerar inom solenoiden. Men solenoiden har placerats så att elektronen omöjligen kan passera genom dess inre. Om man trodde att fälten var de grundläggande storheterna skulle man förvänta sig att resultaten av experimentet skulle vara oförändrade. I verkligheten är resultaten annorlunda, eftersom det faktum att solenoiden aktiveras ändrar vektorpotentialen A i det område som elektronerna passerar igenom. Nu när det har fastställts att det är potentialen V och A som är fundamentala, och inte fälten E och B, kan vi se att mätartransformationerna, som ändrar V och A, har en verklig fysikalisk betydelse, snarare än att bara vara matematiska artefakter.

Mätarinvarians: resultaten av experimenten är oberoende av valet av mätare för potentialenRedigera

Bemärk att i dessa experiment är den enda kvantitet som påverkar resultatet fasskillnaden mellan de två delarna av elektronvågen. Antag att vi föreställer oss de två delarna av elektronvågen som små klockor, var och en med en enda visare som sveper runt i en cirkel och håller reda på sin egen fas. Även om denna teckning ignorerar vissa tekniska detaljer, behåller den de fysikaliska fenomen som är viktiga här. Om båda klockorna snabbas upp lika mycket är fasförhållandet mellan dem oförändrat, och resultaten av experimenten blir desamma. Det är inte bara det, utan det är inte ens nödvändigt att ändra hastigheten på varje klocka med ett fast belopp. Vi kan ändra vinkeln på visaren på varje klocka med ett varierande belopp θ, där θ kan bero både på positionen i rummet och på tiden. Detta skulle inte ha någon effekt på experimentets resultat, eftersom den slutliga observationen av elektronens position sker på en enda plats och vid en enda tidpunkt, så att fasförskjutningen i varje elektronens ”klocka” skulle vara densamma, och de två effekterna skulle upphävas. Detta är ett annat exempel på en gauge-transformation: den är lokal och ändrar inte resultaten av experimenten.

SammanfattningRedigera

Sammanfattningsvis får gaugesymmetrin sin fulla betydelse i samband med kvantmekaniken. Vid tillämpningen av kvantmekanik på elektromagnetism, det vill säga kvantelektrodynamik, gäller gaugesymmetri för både elektromagnetiska vågor och elektronvågor. Dessa två mätarsymmetrier är i själva verket intimt förknippade med varandra. Om man till exempel tillämpar en mätningstransformation θ på elektronvågorna måste man också tillämpa en motsvarande transformation på de potentialer som beskriver de elektromagnetiska vågorna. Gauge-symmetri krävs för att göra kvantelektrodynamiken till en renormaliserbar teori, dvs, en teori där de beräknade förutsägelserna av alla fysiskt mätbara storheter är ändliga.

Typer av gaugesymmetrierRedigera

Beskrivningen av elektronerna i underavsnittet ovan som små klockor är i själva verket en redogörelse för de matematiska regler enligt vilka elektronernas faser ska adderas och subtraheras: de ska behandlas som vanliga tal, med undantag för att i det fall då resultatet av beräkningen faller utanför intervallet 0≤≤θ<360°, tvingar vi det att ”svepa runt” in i det tillåtna intervallet, som täcker en cirkel. Ett annat sätt att uttrycka detta är att en fasvinkel på till exempel 5° anses vara helt likvärdig med en vinkel på 365°. Experiment har verifierat detta testbara påstående om de interferensmönster som bildas av elektronvågor. Med undantag för egenskapen ”wrap-around” är de algebraiska egenskaperna hos denna matematiska struktur exakt desamma som hos de vanliga reella talen.

I matematisk terminologi bildar elektronfaser en abelsk grupp under addition, kallad cirkelgruppen eller U(1). ”Abelisk” innebär att addition kommuterar, så att θ + φ = φ + θ. Grupp innebär att addition associerar och har ett identitetselement, nämligen ”0”. Dessutom finns det för varje fas en invers så att summan av en fas och dess invers är 0. Andra exempel på abeliska grupper är heltalen under addition, 0 och negation, och icke-nollbråk under produkt, 1 och reciprok.

Som ett sätt att åskådliggöra valet av gauge kan man fundera på om det är möjligt att se om en cylinder har blivit vriden. Om cylindern inte har några ojämnheter, märken eller repor på sig kan vi inte avgöra det. Vi skulle dock kunna rita en godtycklig kurva längs cylindern, definierad av någon funktion θ(x), där x mäter avståndet längs cylinderns axel. När detta godtyckliga val (valet av mätare) väl har gjorts blir det möjligt att upptäcka det om någon senare vrider cylindern.

1954 föreslog Chen Ning Yang och Robert Mills att generalisera dessa idéer till icke kommutativa grupper. En icke kommutativ mätgrupp kan beskriva ett fält som, till skillnad från det elektromagnetiska fältet, interagerar med sig själv. Den allmänna relativitetsteorin anger till exempel att gravitationsfält har energi, och den speciella relativitetsteorin drar slutsatsen att energi är likvärdigt med massa. Därför inducerar ett gravitationsfält ytterligare ett gravitationsfält. Kärnkrafterna har också denna självinteragerande egenskap.

GaugebosonerRedigera

Overraskande nog kan gaugesymmetri ge en djupare förklaring till existensen av växelverkan, t.ex. den elektriska växelverkan och kärnkraftsväxelverkan. Detta beror på en typ av gaugesymmetri som har att göra med det faktum att alla partiklar av en viss typ experimentellt sett inte kan särskiljas från varandra. Föreställ dig att Alice och Betty är enäggstvillingar som vid födseln märktes med armband med texten A och B. Eftersom flickorna är identiska skulle ingen kunna se om de hade bytts ut vid födseln; etiketterna A och B är godtyckliga och kan bytas ut. Ett sådant permanent byte av deras identiteter är som en global mätarsymmetri. Det finns också en motsvarande lokal gauge-symmetri, som beskriver det faktum att Alice och Betty från ett ögonblick till ett annat skulle kunna byta roller medan ingen ser på, utan att någon skulle kunna se det. Om vi observerar att mammas favoritvas är trasig kan vi bara dra slutsatsen att det är den ena eller den andra tvillingen som bär skulden, men vi kan inte avgöra om skulden till 100 procent är Alices och 0 procent Bettys, eller tvärtom. Om Alice och Betty i själva verket är kvantmekaniska partiklar snarare än människor har de också vågegenskaper, inklusive egenskapen superposition, som gör det möjligt att lägga till, subtrahera och blanda vågor godtyckligt. Av detta följer att vi inte ens är begränsade till fullständiga identitetsbyten. Om vi till exempel observerar att det finns en viss mängd energi på en viss plats i rummet, finns det inget experiment som kan tala om för oss om den energin är 100 procent A och 0 procent B, 0 procent A och 100 procent B eller 20 procent A och 80 procent B eller någon annan blandning. Det faktum att symmetrin är lokal innebär att vi inte ens kan räkna med att dessa proportioner förblir oförändrade när partiklarna fortplantar sig genom rymden. Detaljerna för hur detta representeras matematiskt beror på tekniska frågor som rör partiklarnas spinn, men för vårt nuvarande syfte betraktar vi en spinnlös partikel, för vilken det visar sig att blandningen kan specificeras genom ett godtyckligt val av gauge θ(x), där en vinkel θ = 0° representerar 100 % A och 0 % B, θ = 90° innebär 0 % A och 100 % B, och mellanliggande vinklar representerar blandningar.

Enligt kvantmekanikens principer har partiklar i själva verket inte några banor genom rummet. Rörelse kan endast beskrivas i termer av vågor, och rörelsemängden p hos en enskild partikel är relaterad till dess våglängd λ genom p = h/λ. När det gäller empiriska mätningar kan våglängden endast bestämmas genom att observera en förändring av vågen mellan en punkt i rymden och en annan närliggande punkt (matematiskt, genom differentiering). En våg med kortare våglängd svänger snabbare och förändras därför snabbare mellan närliggande punkter. Anta nu att vi godtyckligt fastställer en mätare i en punkt i rymden genom att säga att energin i den punkten är 20 % A och 80 % B. Vi mäter sedan de två vågorna vid en annan, närliggande punkt för att bestämma deras våglängder. Men det finns två helt andra anledningar till att vågorna kan ha förändrats. De kan ha förändrats för att de oscillerade med en viss våglängd, eller så kan de ha förändrats för att gaugefunktionen ändrades från en 20-80-blandning till, låt oss säga, 21-79. Om vi ignorerar den andra möjligheten fungerar inte den resulterande teorin; märkliga avvikelser i rörelsemängd kommer att dyka upp, vilket bryter mot principen om rörelsemängdens bevarande. Något i teorin måste ändras.

Även här finns det tekniska frågor som rör spinn, men i flera viktiga fall, inklusive elektriskt laddade partiklar och partiklar som interagerar via kärnkrafter, är lösningen på problemet att tillskriva gaugefunktionen θ(x) en fysisk verklighet. Vi säger att om funktionen θ oscillerar representerar den en ny typ av kvantmekanisk våg, och denna nya våg har sin egen drivkraft p = h/λ, vilket visar sig lappa ihop de diskrepanser som annars skulle ha brutit mot bevarandet av drivkraften. I samband med elektromagnetism skulle partiklarna A och B vara laddade partiklar såsom elektroner, och den kvantmekaniska våg som representeras av θ skulle vara det elektromagnetiska fältet. (Här ignorerar vi de tekniska problem som uppstår på grund av det faktum att elektroner faktiskt har spinn 1/2, inte spinn noll. Denna förenkling är orsaken till att mätfältet θ visar sig vara en skalär, medan det elektromagnetiska fältet faktiskt representeras av en vektor bestående av V och A). Resultatet är att vi har en förklaring till förekomsten av elektromagnetisk växelverkan: om vi försöker konstruera en gauge-symmetrisk teori med identiska, icke-växelverkande partiklar är resultatet inte självkonsistent och kan endast repareras genom att lägga till elektriska och magnetiska fält som får partiklarna att växelverka.

Och även om funktionen θ(x) beskriver en våg, kräver kvantmekanikens lagar att den också har partikelegenskaper. När det gäller elektromagnetism är den partikel som motsvarar elektromagnetiska vågor fotonen. I allmänhet kallas sådana partiklar för gaugebosoner, där termen ”boson” hänvisar till en partikel med helt spinn. I de enklaste versionerna av teorin är gaugebosoner masslösa, men det är också möjligt att konstruera versioner där de har massa, vilket är fallet med de gaugebosoner som överför de nukleära sönderfallskrafterna.