Puget Sound från himlen, sett i vintras. (Foto: EcologyWA/Public Domain)
Föreställ dig för ett ögonblick att du och din vän har fått en till synes enkel uppgift: att mäta kusten i Puget Sound i delstaten Washington. Resurserna är knappa, så du har en måttstock, medan din vän har en fotlång linjal. Ni går båda två och lägger er mätpinne längs vattenkanten och följer kusten så gott ni kan. När ni är klara jämför ni era anteckningar – och ni blir chockade. Medan du hamnade på respektabla 3 000 miles, fick din vän och hans fotlängd en mycket högre siffra, någonstans runt 4 500 miles.
Ni killar är inte galna. Ni är offer för kustlinjeparadoxen, en knepig matematisk princip som ställer till det för kartografer, förvirrar regeringsbyråer och gör det omöjligt att veta exakt hur stor vår värld egentligen är.
Kustlinjeparadoxen, i en praktisk gif. (Bild: Branden Rishel)
Människor har varit förvirrade över kustlinjerna åtminstone sedan det femte århundradet f.Kr., då atenska sjömän enligt uppgift fick i uppdrag att mäta Sardiniens kust och kom tillbaka förbryllade. Men paradoxen avslöjades för första gången 1951, under en studie av väpnade konflikter. Lewis Fry Richardson, en pacifist och matematiker, försökte ta reda på om längden på gränsen mellan två givna länder hade någon betydelse för om de skulle gå i krig eller inte.
Han upptäckte att det fanns meningsskiljaktigheter redan under datainsamlingsfasen – när han sökte efter längden på gränsen mellan Spanien och Portugal upptäckte han att Spanien hade angivit 987 km, medan Portugal angav 1214 km. Fascinerad av denna upptäckt undersökte han saken ytterligare och kom fram till att längden på kustlinjer och vissa gränser inte bara är extremt varierande – om man har en tillräckligt liten måttstock är de i själva verket oändligt långa.
Detta tankesätt togs snart upp av matematikern Benoit Mandelbrot, i en artikel från 1967 med titeln ”How long is the coast of Britain?” (Hur lång är Storbritanniens kust?). ”Här är en fråga, en grundskolefråga i geometri som, om man tänker efter, är omöjlig”, sade han senare till New York Times. För att ta itu med den – och för att mäta andra liknande ojämna former som moln, snöflingor och berg – uppfann Mandelbrot begreppet fraktal, en kurva som blir mer komplex ju närmare man tittar på den.
Mandelbrot-uppsättningen, en fraktal som du troligen känner igen från början av en lärobok i matematik. (Foto: Wolfgang Beyer/CC BY-SA 3.0)
Abstrakt betraktat är kustlinjeparadoxen en respektingivande sak, ett bevis på att det är omöjligt att fastställa allting och att vår värld är oåterkallelig. På ett praktiskt plan är det dock en enorm smärta, säger Branden Rishel, en kartograf som arbetar med restaurering av kustlinjen i Puget Sound. Liksom stora delar av delstaten Washington är Puget Sound fullt av fjordar, oändliga vrår och håligheter som glaciärer skar in i marken för 15 000 år sedan. Fjordar ger en kustlinje en hel del galenskap – det oändligt krumma Norge, till exempel, har cirka 18 000 mil kustlinje med fjordar, och bara 1573 mil om man bortser från dem.
Ovanpå den rent matematiska konstigheten förändras kusterna hela tiden, säger Rishel. Klippor eroderar, havsnivåerna stiger, landmassor återhämtar sig långsamt från var glaciärerna har tryckt dem. Varje dag går tidvattnet in och flyttar vattenlinjen tre meter, och sedan tillbaka ut igen. ”Stränderna ändrar form med varje våg”, säger Rishel. ”Hur kan man fastställa det?”
Det kan man inte – inte ens när man verkligen vill. År 2006 publicerade Congressional Research Service ett memo med titeln ”U.S. International Borders: Brief Facts”, som syftade till att se till att alla var på samma sida om exakt hur mycket gräns vi behöver tänka på att säkra. Men än en gång fanns det inte ens en gemensam sida att vara på. ”Uppgifterna om ’allmän kustlinje’ i denna rapport är baserade på storskaliga sjökort, vilket resulterar i ett kustmått för de 50 delstaterna på totalt 12 383 miles”, står det i rapporten. ”Ett annat mått som bygger på sjökort i mindre skala mer än fördubblar detta mått till 29 093 sjömil… medan de siffror som används av NOAA för att administrera programmet för förvaltning av kustområden uppgår till 88 612 sjömil (exklusive de stora sjöarna).”
Washington State from way up. (Foto: NASA/Public Domain)
Ibland måste människor dock hitta ett sätt att komma överens. I delstaten Washington använder experter som Rishel det som kallas ”ShoreZone Shoreline”, som ritades av Washingtons naturresursdepartement i slutet av 1990-talet, baserat på foton och videor tagna från lågt flygande helikoptrar. ShoreZone-versionen av Puget Sound-kusten är ungefär 2 500 miles lång, säger Rishel – en hanterbar siffra, eller åtminstone bättre än ”oändligheten”. Genom att enas om denna approximation kan människor som arbetar med att återställa stränder, spåra var fiskar leker eller bygga bostäder vid vattnet se till att de talar samma geografiska språk.
Men försöket till standardisering har sina egna brister. ShoreZone-kustlinjen behandlar vissa konstgjorda strukturer, som vissa bryggor, som om de är en del av kustlinjen, medan andra lämnas utanför. ”Ibland är ShoreZone-kustlinjen tiotals meter från den plats där en respektabel kustlinje borde vara”, säger Rishel. ”På ett ställe är det 800 fot bort och det finns en landningsbana i det som borde vara vatten.” Den lyckades till och med missa en hel ö.
Rishel räknar med att ShoreZone snart kommer att uppdateras med LiDAR-data, som ersätter kameror och mänskliga ögon med mer exakta lasermätningar, tagna från flygplan. Ändå kommer det inte att vara perfekt. ”Under den månad eller två som det tog att flyga skulle även den bästa LiDAR-funktionen fånga en suddig ögonblicksbild av sundet”, säger han. ”Vinterns strandprofiler skiljer sig drastiskt från sommarens. Klipporna fortsätter att erodera. Jordskred sker.”
Det är vad som händer när vi försöker arbeta med något som bokstavligen är oändligt – vi måste bara göra det bästa vi kan.