av Marco Taboga, PhD
Indikatorfunktionen för en händelse är en slumpmässig variabel som får värdet 1 när händelsen inträffar och värdet 0 när händelsen inte inträffar. Indikatorfunktioner används ofta i sannolikhetsteori för att förenkla notation och för att bevisa satser.
Definition
Följande är en formell definition.
Definition Låt 
vara ett samplingsutrymme och vara en händelse. Indikatorfunktionen (eller indikatortillfällighetsvariabeln) för händelsen , betecknad med , är en slumpvariabel som definieras på följande sätt:
Medan indikatorn för händelsen vanligtvis betecknas med , betecknas den ibland också med där är den grekiska bokstaven Chi.
Exempel Vi kastar en tärning och ett av de sex siffrorna från 1 till 6 kan visas uppåt. Provrummet ärDefiniera händelsen som beskrivs av meningen ”Ett jämnt tal visas uppåt”. En slumpvariabel som får värdet 1 när ett jämnt tal visas uppåt och värdet 0 annars är en indikator för händelsen . Den fallvisa definitionen av denna indikator är
Från ovanstående definition kan man lätt se att är en diskret slumpvariabel med stöd och sannolikhetsmassafunktion
egenskaper
Indikatorfunktioner har följande egenskaper.
Power
Den -te potensen av är lika med :om att kan vara antingen eller och
Förväntat värde
Det förväntade värdet av är lika med :
Varians
Variansen för är lika med . Tack vare den vanliga variansformeln och potensegenskapen ovan får vi
Intersektioner
Om och är två händelser, så får vipå grund av:
-
om
, då och
-
om
, dåoch
Indikatorer för händelser med noll sannolikhet
Låt vara en händelse med noll sannolikhet och en integrerbar slumpvariabel. Då, Även om ett rigoröst bevis för detta faktum ligger utanför räckvidden för denna inledande redogörelse, bör denna egenskap vara intuitiv. Den slumpmässiga variabeln är lika med noll för alla provpunkter utom möjligen för punkterna . Det förväntade värdet är ett viktat medelvärde av de värden kan anta, där varje värde viktas med sin respektive sannolikhet. De värden som inte är noll och som kan anta viktas med noll sannolikheter, så måste vara noll.
Lösta övningar
Nedan hittar du några övningar med förklarade lösningar.
Övningsuppgift 1
Betrakta en slumpvariabel och en annan slumpvariabel som är definierad som en funktion av .
Uttryck med hjälp av indikatorfunktionerna för händelserna och .
Notera med indikatorn för händelsen och notera med indikatorn för händelsen . Vi kan skriva som
Övningsuppgift 2
Låt vara en positiv slumpvariabel, det vill säga en slumpvariabel som endast kan anta positiva värden. Låt vara en konstant. Bevisa att där är indikatorn för händelsen .
Bemärk först att summan av indikatorerna och alltid är lika med :Som en följd av detta kan vi skriva
Bemärk nu att är en positiv slumpvariabel och att det förväntade värdet av en positiv slumpvariabel är positivt:Det innebär att 
Övningsuppgift 3
Låt vara en händelse och beteckna dess indikatorfunktion med . Låt vara komplementet till och beteckna dess indikatorfunktion med . Kan du uttrycka som en funktion av ?
Summan av de två indikatorerna är alltid lika med :Därför,
How to cite
Please cite as:
Taboga, Marco (2017). ”Indicator functions”, Lectures on probability theory and mathematical statistics, tredje upplagan. Kindle Direct Publishing. Online appendix. https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/indicator-functions.