Bernoullis lag
Hittills har fokus legat på vätskor i vila. Det här avsnittet behandlar vätskor som rör sig på ett stadigt sätt så att vätskans hastighet vid varje given punkt i rummet inte förändras med tiden. Varje flödesmönster som är stabilt i denna bemärkelse kan ses i form av en uppsättning strömlinjer, banorna för imaginära partiklar som är upphängda i vätskan och som bärs med den. I ett stabilt flöde är vätskan i rörelse men strömlinjerna är fasta. Där strömlinjerna trängs ihop är fluidens hastighet relativt hög; där de öppnar sig blir vätskan relativt stillastående.
När Euler och Bernoulli lade grunden för hydrodynamiken behandlade de vätskan som en idealiserad inviscid substans där, precis som i en vätska i vila i jämvikt, skjuvspänningarna som är förknippade med viskositeten är noll och trycket p är isotropt. De kom fram till en enkel lag som relaterar variationen av p längs en strömlinje till variationen av v (principen tillskrivs Bernoulli, men Euler verkar ha kommit fram till den först), som tjänar till att förklara många av de fenomen som verkliga vätskor i jämn rörelse uppvisar. På den oundvikliga frågan om när och varför det är motiverat att försumma viskositeten finns det inget entydigt svar. Några svar kommer att ges senare i denna artikel, men andra frågor kommer att tas upp först.
Vid betrakta ett litet element av en vätska med massan m, som – bortsett från kraften på grund av gravitationen – endast påverkas av ett tryck p. Det senare är isotropt och varierar inte med tiden, men kan variera från punkt till punkt i rymden. Det är en välkänd konsekvens av Newtons rörelselagar att när en partikel med massan m förflyttar sig under inverkan av sin vikt mg och en ytterligare kraft F från en punkt P där dess hastighet är vP och dess höjd är zP till en punkt Q där dess hastighet är vQ och dess höjd är zQ, så är det arbete som utförs av den ytterligare kraften lika med ökningen av partikelns kinetiska och potentiella energi – dvs, att
I fallet med det aktuella vätskeelementet kan F relateras på ett enkelt sätt till gradienten för trycket, och man finner
Om variationerna i vätskans densitet längs strömlinjen från P till Q är försumbart små kan faktorn ρ-1 tas utanför integralen på högersidan av (131), som därefter reduceras till ρ-1(pQ – pP). Då kan (130) och (131) kombineras för att få
Då detta gäller för två punkter som kan besökas av ett enda element av vätskan, kan man omedelbart härleda Bernoullis (eller Eulers) viktiga resultat att längs varje strömlinje i det stabila flödet av en inviscid vätska är kvantiteten
är konstant.
Under vilka omständigheter är variationer i densiteten försumbart små? När de är mycket små jämfört med själva densiteten – dvs. när
där symbolen Δ används för att representera omfattningen av förändringen längs en strömlinje av den kvantitet som följer den, och där Vs är ljudets hastighet (se nedan Kompressibel strömning i gaser). Detta villkor är uppfyllt för alla flödesproblem som har med vatten att göra och som diskuteras nedan. Om vätskan är luft är det tillräckligt uppfyllt förutsatt att den största avvikelsen i z är i storleksordningen meter snarare än kilometer och förutsatt att vätskans hastighet överallt är mindre än cirka 100 meter per sekund.
Bernoullis lag anger att om en inviscid vätska strömmar längs ett rör med varierande tvärsnitt är trycket relativt lågt vid förträngningar där hastigheten är hög och relativt högt där röret mynnar ut och vätskan stagnerar. Många människor tycker att denna situation är paradoxal när de först möter den. De säger att en förträngning väl borde öka det lokala trycket snarare än att minska det? Paradoxen försvinner när man lär sig att se tryckförändringarna längs röret som orsak och hastighetsförändringarna som effekt, i stället för tvärtom; det är bara för att trycket sjunker vid en förträngning som tryckgradienten uppströms förträngningen har rätt tecken för att få vätskan att accelerera.
Paradoxalt eller inte, förutsägelser baserade på Bernoullis lag är väl verifierade av experiment. Försök att hålla två pappersark så att de hänger vertikalt två centimeter eller så från varandra och blåsa nedåt så att det uppstår en luftström mellan dem. Arkena kommer att dras ihop av den tryckminskning som är förknippad med denna ström. Fartyg dras samman av ungefär samma anledning om de rör sig genom vattnet i samma riktning med samma hastighet och med ett litet avstånd mellan dem. I detta fall beror strömmen på att vattnet förflyttas av varje fartygs bog, som måste strömma bakåt för att fylla det utrymme som skapas när aktern rör sig framåt, och strömmen mellan fartygen, som de båda bidrar till, är starkare än den ström som rör sig förbi deras yttre sidor. Som ett annat enkelt experiment kan du lyssna på det svischande ljudet från en kran som nästan, men inte riktigt, är avstängd. Vad som händer i detta fall är att strömmen är så begränsad och att hastigheten i begränsningen är så hög att trycket i begränsningen faktiskt är negativt. Med hjälp av de upplösta gaser som normalt finns närvarande kaviterar vattnet när det passerar igenom, och det ljud som hörs är ljudet av små bubblor som kollapsar när vattnet saktar ner och trycket stiger igen på andra sidan.
Två praktiska anordningar som används av hydraulikingenjörer för att övervaka flödet av vätskor genom rören är baserade på Bernoullis lag. Den ena är venturiröret, en kort längd med en förträngning av standardform (se figur 5A), som kan föras in i själva röret. Om hastigheten i punkten P, där röret har en tvärsnittsarea AP, är vP och hastigheten i förträngningen, där arean är AQ, är vQ, innebär kontinuitetsvillkoret – villkoret att den massa som flödar genom röret per tidsenhet måste vara densamma i alla punkter längs dess längd – att ρPAPvP = ρQAQvQ, eller att APvP = AQvQ om skillnaden mellan ρP och ρQ är försumbar. Då anger Bernoullis lag 
Encyclopædia Britannica, Inc.
Därmed borde man kunna hitta vP, och därmed den kvantitet Q (= APvP) som ingenjörer kallar utloppshastigheten, genom att mäta nivåskillnaden h mellan vätskan i de två sidorören som visas i diagrammet. Vid låga hastigheter påverkas tryckskillnaden (pP – pQ) kraftigt av viskositeten (se nedan Viskositet) och ekvation (135) är därför otillförlitlig. Venturiröret används dock normalt när hastigheten är tillräckligt stor för att flödet ska vara turbulent (se nedan Turbulens). I en sådan situation förutsäger ekvation (135) värden för Q som stämmer överens med värden som uppmätts med mer direkta metoder med en noggrannhet på några få delprocent, även om flödesmönstret egentligen inte alls är stabilt.
Den andra anordningen är pitotröret, som illustreras i figur 5B. Vätskeströmlinjerna delar sig när de närmar sig den trubbiga änden av detta rör, och vid den punkt som är markerad med Q i diagrammet råder fullständig stagnation, eftersom vätskan vid denna punkt varken rör sig uppåt, nedåt eller åt höger. Det följer omedelbart av Bernoullis lag att
Som med venturiröret bör man därför kunna hitta vP från nivåskillnaden h.
Ett annat enkelt resultat förtjänar att nämnas här. Det gäller en vätskestråle som kommer ut genom ett hål i väggen på ett kärl som är fyllt med vätska under tryck. Observation av jetstrålar visar att de efter att ha kommit ut smalnar av något innan de lägger sig till ett mer eller mindre enhetligt tvärsnitt som kallas vena contracta. Detta beror på att strömlinjerna konvergerar mot hålet inne i kärlet och är tvungna att fortsätta att konvergera en kort stund utanför. Det var Torricelli som först föreslog att om trycköverskottet inuti kärlet genereras av en vätskekant h, så är hastigheten v vid vena contracta den hastighet som en fri partikel skulle uppnå om den föll genom en höjd h – dvs, att
Detta resultat är en omedelbar följd, för en inviscid vätska, av den princip om energihushållning som Bernoullis lag förankrar.
I följande avsnitt används Bernoullis lag på ett indirekt sätt för att fastställa en formel för den hastighet med vilken störningar färdas över ytan på grunt vatten. Förklaringen till flera intressanta fenomen som har med vattenvågor att göra ligger begravd i denna formel. Analoga fenomen som handlar om ljudvågor i gaser diskuteras nedan i Kompressibel strömning i gaser, där en alternativ form av Bernoullis lag introduceras. Denna form av lagen är begränsad till gaser i jämnt flöde men är inte begränsad till flödeshastigheter som är mycket lägre än ljudets hastighet. Den komplikation som viskositeten utgör ignoreras återigen i dessa två avsnitt.