Homotopi, inom matematiken, ett sätt att klassificera geometriska områden genom att studera de olika typer av banor som kan dras i området. Två banor med gemensamma ändpunkter kallas homotopiska om den ena kan deformeras kontinuerligt till den andra med faststående ändpunkter och inom sin definierade region. I del A i figuren har det skuggade området ett hål; f och g är homotopiska banor, men g′ är inte homotopisk till f eller g eftersom g′ inte kan deformeras till f eller g utan att passera genom hålet och lämna området.

Mer formellt innebär homotopi att man definierar en bana genom att mappa punkter i intervallet från 0 till 1 till punkter i regionen på ett kontinuerligt sätt – det vill säga så att angränsande punkter i intervallet motsvarar angränsande punkter på banan. En homotopikarta h(x, t) är en kontinuerlig karta som associerar två lämpliga banor, f(x) och g(x), med en funktion av två variabler x och t som är lika med f(x) när t = 0 och lika med g(x) när t = 1. Kartan motsvarar den intuitiva idén om en gradvis deformation utan att lämna området när t ändras från 0 till 1. Till exempel är h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) en homotopisk funktion för banorna f och g i del A i figuren; punkterna f(x) och g(x) förenas av ett rätlinjigt linjesträck, och för varje fast värde på t definierar h(x, t) en bana som förenar samma två slutpunkter.

Av särskilt intresse är de homotopiska banor som börjar och slutar i en enda punkt (se del B i figuren). Klassen av alla sådana banor som är homotoper till varandra i ett givet geometriskt område kallas homotopiklass. Mängden av alla sådana klasser kan ges en algebraisk struktur som kallas en grupp, regionens fundamentala grupp, vars struktur varierar beroende på typen av region. I en region utan hål är alla slutna banor homotoper och den grundläggande gruppen består av ett enda element. I en region med ett enda hål är alla banor homotopiska som slingrar sig runt hålet lika många gånger. I figuren är banorna a och b homotopiska, liksom banorna c och d, men banan e är inte homotopisk till någon av de andra banorna.

Man definierar på samma sätt homotopiska banor och den fundamentala gruppen för regioner i tre eller fler dimensioner, liksom på allmänna manifestor. I högre dimensioner kan man också definiera högre dimensionella homotopigrupper.