Den klassiska eran var en tid av blomstrande innovation och såg en explosion av manuja grantham : Siddhantas, bhaashyaas, vartikaas (förklaringar av kommentarer), karanas, tantraa och nyheter som vaakya-panchaangas, varav ett överraskande antal har bevarats, redigerats, publicerats och vissa till och med översatts till engelska under de senaste århundradena. Kritik, korrigering, observation, förfining, innovation präglade denna period av flera århundraden och över olika geografiska områden.
En intressant sidofråga för en ekonom är den mångfald av valutor och mynt (dinara, paNaa, kaarshapaaNa, puraaNa, svarNaa) och vikter (pala, krosha) och mått (angula, hasta) som diskuteras i de olika böckerna.
Det primära fokuset ligger på astronomi, men varje siddhanta diskuterar också kapital, ränta, sammansättning, tillväxttakt och sådana monetära beräkningar.
Mahavira
Mahavira, Jain-matematikern som komponerade Ganita Saara Sangraha, skrev den första matematikboken, rensad från astronomi.
Strukturen i hans bok är att de första två eller tre stroferna i varje kapitel förklarar en algoritm eller formel, och resten av stroferna är problem av den typen som ska lösas av läsaren.
Hans användning av Jaina-symboler, tempel, metoder för dyrkan, beräkningar etc. är unika kännetecken för boken.
Mahavira frossar i flera typer av bråk: bhaaga (enkelt bråk), prabhaaga( bråk av bråk), bhaagaabhaaga (komplexa bråk), och så vidare. Ett problem som ställs är till exempel följande:
दिवसैसत्रिभिस्सपादैरयोजनषट्कं चतुर्थभागोनम्
गच्छति यः पुरुशोसौ दिनयुतवर्षेण किं कथय ॥ ३ ॥
divasais-tribhis-sa-paadair-yojana-shaTkam caturta-bhaaga-unam
Gacchati yaH purusho-asau dina-yuta-varsheNa kim kathaya
Translation: Den man (purusha) som (asau) går (gacchati) en fjärdedels (caturtha-bhaaga) mindre (unam) än sex (shaTka) yojanaas på tre (tribhi) och en fjärdedels (paadai) dagar (divasau), berätta (kataya) hur mycket (kim) han går på en dag (dina) och (yuta) ett år (varsha).
Bhaskaracharya
Lilavati av Bhaskara, författare även till Siddhanta Siromani, är känd även för dem som inte är bekanta med matematik, som ett exempel på vacker poesi, och har en populär legend kring sig.
Likt Mahavira kastade Bhaskara in flera exempel från det dagliga livet för att ställa matematiska problem, och liksom Varahamihira frossade han i sina poetiska talanger.
Lilavati är den vanligtvis enda matematikbok som sanskritordböcker citerar. Den inspirerade till otaliga kommentarer, under århundraden, översättning till flera språk och blev den indiska matematikens standardlärobok.
Bhaskara korrigerade Aryabhatas felaktiga formel för volymen av en sfär, vilket till och med Brahmagupta undgick (som korrigerade Aryabhatas felaktiga formel för volymen av en tetraeder).
Han gav också korrekta volymer för ytan av en sfär. Hans metafor om ett nät som täcker en boll (kandukasya jaalam) för en sfärs volym antyder att han hade snubblat över grogrunden till idén om infinetismer och kalkyl. Men dessa områden skulle utvecklas först under senare århundraden, i Kerala.
Bhaskara introducerade också begreppet kha-hara (ett tal dividerat med noll) för oändlighet (inte bara det filosofiska ananta (oändlig).
Bhaskara var också en av de tidigaste som gav bevis för vissa av sina härledningar, och inte lämnade det till kommentatorer, eller bara undervisade studenter. Efter korta utforskningar av Pingala och Varahamihira utforskade Bhaskara också permutationer och kombinationer.
Vid Bhaskaras tid hade algebra utvecklats till ett avancerat stadium. Han erkänner att han byggde på sina föregångare Sridharas och Padmanabhas arbeten.
Historiskt perspektiv
Indianska matematiker använde irrationella kvadratrötter i tusen år och sinus och cosinus i flera århundraden innan de upptäckte negativa tal. Inspirationen till negativa tal kommer från handel och begreppet skuld, inte från någon religiös filosofi.
Det krävdes sex århundraden och en Bhaskara för att korrigera Aryabhatas misstag med sfärvolymen. Bhaskara insåg att division med noll ger oändlighet, men förstod inte fullt ut dess konsekvenser.
Från Aryabhatas ändliga serie till Virasenas oändliga serie tog det bara två århundraden. De upptäckte att oändliga serier summerades till ett ändligt tal i sex århundraden innan de ifrågasatte det.
Såsom ångmaskinen uppfanns ett århundrade före den mycket enklare cykeln är matematikens historia full av exempel på att komplexa begrepp upptäcktes före mycket enklare begrepp.
Astronomin inspirerade till extraordinär matematik, men lurade och vilseledde också ofta de största matematikerna.