Detta är en kort introduktion till Galoisteori. Nivån på den här artikeln är nödvändigtvis ganska hög jämfört med vissa NRICH-artiklar, eftersom Galoisteori är ett mycket svårt ämne som vanligtvis bara introduceras under det sista året av en grundutbildning i matematik. Den här artikeln sköljer bara Galois-teorins yta och bör förmodligen vara tillgänglig för en 17- eller 18-årig skolelev med ett starkt intresse för matematik. Det finns en kort och mycket vag översikt över två viktiga tillämpningar av Galoisteorin i inledningen nedan. Om du vill veta mer om Galoisteorin är resten av artikeln mer djupgående, men också svårare.
De två viktigaste sakerna att känna till för att förstå den djupgående delen av artikeln är komplexa tal och gruppteori. Om du inte har stött på komplexa tal tidigare kan du läsa An Introduction to Complex Numbers , som borde vara tillgänglig för 15 eller 16-åriga elever. Om du inte har stött på gruppteori tidigare behöver du inte oroa dig. Jag presenterar idén om en grupp nedan, även om det kan vara bättre att försöka hitta en bok eller webbplats som går in mer i detalj.
1.1 Motivation
Galoisteori är ett mycket stort ämne, och tills du är helt nedsänkt i matematiska studier på ett sätt som är ovanligt om du inte studerar för en examen i matematik, kan det verka ganska meningslöst. Det finns dock två problem som ger en viss motivation för att studera Galoisteori – existensen av polynom som inte är lösliga med radikaler, och vissa resultat om klassisk euklidisk geometri,till exempel att man inte kan tredela en vinkel med hjälp av en linjal och en kompass, och att vissa regelbundna polygoner inte kan konstrueras med hjälp av en linjal och en kompass.
Definition När vi kan hitta lösningarna för ett polynom med rationella koefficienter enbart med hjälp av rationella tal och operationerna addition, subtraktion, division, multiplikation och att hitta n:e rötter, säger vi att $p(x)$ är löslig genom radikaler.
1.2 Historik
Så, varför kallas Galois teori för Galois teori? Svaret är att den är uppkallad efter en fransk matematiker Evariste Galois (1811-1832) som gjorde ett mycket viktigt arbete på detta område. Han hade ett mycket dramatiskt och svårt liv och misslyckades med att få mycket av sitt arbete erkänt på grund av sina stora svårigheter att uttrycka sig tydligt. Han blev till exempel inte antagen till det ledande universitetet i Paris, Ecole Polytechnique , och fick nöja sig med Ecole Normale . Han stötte också på svårigheter på grund av sina politiska sympatier, han var republikan. Detta ledde till att han blev avstängd från Ecole Normale när han skrev ett brev till en tidning där han kritiserade skolans direktör. Han gick med i en republikansk gren av milisen och fängslades senare (två gånger) på grund av sitt medlemskap. Andra gången i fängelset blev han förälskad i fängelseläkarens dotter, Stephanie-Felice du Motel, och efter frigivningen dog han i en duell med Perscheux d’Herbinville. Orsakerna till duellen är inte helt klara, men det verkar troligt att den hade något med Stephanie att göra. Hans död utlöste republikanska upplopp och sammankomster som varade i flera dagar.
Och även om Galois ofta tillskrivs uppfinningen av gruppteorin och Galois-teorin verkar det som om en italiensk matematiker Paolo Ruffini (1765-1822) kan ha kommit med många av idéerna först. Tyvärr togs hans idéer inte på allvar av resten av det matematiska samfundet på den tiden. Det finns några länkar i slutet av det här dokumentet för den som är intresserad av att ta reda på mer om gruppteorins och Galoisteorins historia.
1.3 Översikt
Sättet på vilket resultatet om löslighet genom radikaler ovan bevisas (med hjälp av Galoisteorin) är att bevisa ett resultat om samlingen av symmetrier bland rötterna till ett polynom givet att rötterna byggs upp med hjälp av endast de speciella operationerna ovan. (Det visar sig att samlingen av symmetrier måste bilda vad som kallas en löslig grupp. Mer om detta i slutet av den här artikeln). Sedan hittar du ett polynom för vilket rötternas symmetrier inte har denna speciella egenskap, så du vet att rötterna inte kunde byggas upp med hjälp av de speciella operationerna.
Resten av denna artikel handlar om att precisera vad vi menar med en rötternas symmetri och om strukturen hos samlingen av dessa symmetrier.
1.4 Notation
1.5 Råd om hur man läser den här artikeln
Resten av den här artikeln är ganska svår. Ett stort antal nya idéer introduceras och används om och om igen, och det finns många okända ord. I slutet av artikeln kommer jag att använda fraser som att $Q$ är en radikal fältförlängning av $Q$ eftersom den kan byggas upp med hjälp av endast cyklotomiska fältförlängningar i varje steg. Låt dig inte avskräckas alltför mycket av detta till synes främmande språk, varje ord förklaras när det introduceras. Den bästa strategin för att läsa den är att gå långsamt fram och se till att du förstår exakt vad varje ord betyder innan du går vidare till nästa avsnitt, eftersom det ordet kommer att användas om och om igen, och om du inte riktigt förstår det så kommer allting bara att bli mer och mer förvirrande allteftersom du läser vidare. Om du läser detta online kan du dock helt enkelt klicka på något av de understrukna orden och den ursprungliga definitionen kommer att dyka upp i ett litet fönster.
2 Grupper och fält
I det här läget kanske du vill kontrollera att du har följt med så här långt. Se om du kan bevisa att $S_n$ är en grupp och att den har $n!$ element. Om du är nöjd med idén om mängder och funktioner kan du bevisa att $S_X$ är en grupp även om $X$ är en oändlig mängd.
2.2 Fält
2.3 Fältförlängningar
Definition (Fältförlängning):
En fältförlängning av ett fält $F$ är ett fält $K$ som innehåller $F$ (vi skriver en fältförlängning som $F\subseteq K$ eller $K/F$). Till exempel är de reella talen en fältförlängning av de rationella talen, eftersom de reella talen är ett fält och varje rationellt tal också är ett reellt tal.
2.4 Splitterfält
Här börjar biten Galois-teori.
Ett annat exempel är att splitterfältet för $p(x)=x^4-5x^2+6$ är $Q$. Kan du se varför?
3 Automorfismer och Galoisgrupper
Du kan kontrollera att funktionen $f$ ovan verkligen uppfyller alla villkor.
Tanken med en fältautomorfism är att det bara är ett sätt att byta etikett på fältets element utan att förändra strukturen alls. Med andra ord kan vi ersätta symbolen $\sqrt{2}$ med symbolen $-\sqrt{2}$, göra alla våra beräkningar och sedan ändra symbolen $-\sqrt{2}$ tillbaka till $\sqrt{2}$ och vi får rätt svar. Fältautomorfismer är det rätta sättet att uttrycka denna idé,eftersom villkoren att $f(x+y)=f(x)+f(y)$ bevarar multiplikation, addition och så vidare.
3.2 Galoisgruppen
4 Radikalernas löslighet
Att gå längre in i Galoisteorin skulle tyvärr vara för komplicerat. Jag ska skissa resten av beviset för att det finns polynom som inte är lösliga genom radikaler.
5 Trissning av vinklar
Som jag nämnde ovan kan man med hjälp av Galois-teorin visa att det är omöjligt att trissa alla vinklar med hjälp av metoder med linjal och kompass. Jag kommer att beskriva ett bevis för att du inte kan konstruera en vinkel på $20^{\circ}$ med hjälp av linjal och kompass (och att du därför inte kan trissera en vinkel på $60^{\circ}$).
Det är inte uppenbart att varje konstruerbart tal måste ligga i en fältförlängning av denna form, men vi kan på sätt och vis se varför eftersom det, givet linjesträckor med längderna $x$, $y$, är möjligt att konstruera andra linjesträckor med längderna $x+y$, $x y$ och $1/x$ med hjälp av geometriska konstruktioner. Dessutom kan man konstruera ett linjesegment med längden $\sqrt{x}$ enbart med hjälp av geometriska konstruktioner. Du kan faktiskt också visa att detta är de enda saker du kan göra med geometriska konstruktioner. (Om du vill försöka är sättet att bevisa detta att använda det faktum att allt du kan göra med omärkta linjaler och kompasser är att hitta skärningspunkten mellan två linjer, vilket bara ger dig aritmetiska operationer, hitta skärningspunkten mellan en linje och en cirkel, vilket ger dig kvadratrötter, och skärningspunkter mellancirklar och cirklar, vilket ger dig kvadratrötter). Kan du se varför detta innebär att ett tal i en konstruerbar fältutvidgning (enligt definitionen ovan) kan konstrueras endast med hjälp av en omärkt linjal och kompass, och att endast tal i konstruerbara fältutvidgningar kan göras på detta sätt?
Nästan visar du att om man har ett kubiskt polynom $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$ vars rötter inte är rationella tal, så är rötterna inte konstruerbara? Detta är inte särskilt svårt att bevisa men kräver vissa kunskaper utöver vad jag förutsätter för den här artikeln.
Här kommer den smarta delen. Anta att du kan konstruera en vinkel på $20^{\circ}$, då skulle talet $\cos(20^{\circ})$ vara konstruerbart (du kan bara släppa en vinkelrätt från en punkt på en linje på $20^{\circ}$ till horisontalplanet, avstånd $1$ från origo). Du kan dock visa att $\alpha=\cos(20^{\circ})$ är en rot till ekvationen $8x^3-6x-1=0$ (genom att expandera $\cos(60^{\circ})$ i termer av $\cos(20^{\circ})$ med hjälp av additionsformeln). Det är lätt att visa att detta inte har några rationella rötter och att rötterna därför inte kan konstrueras. Detta innebär att vi inte kunde ha konstruerat en vinkel på $20^{\\circ}$, eftersom vi då skulle kunna konstruera $\cos(20^{\circ})$, vilket är omöjligt. Så en vinkel på $60^{\circ}$ kan inte vara tredelad.
Du kan använda metoder som denna för att bevisa andra resultat om vilka former som kan eller inte kan konstrueras och så vidare.
6 Vidare läsning