Denna text presenterar en introduktion till differentialgeometri på forskarnivå för matematik- och fysikstudenter. Exponeringen följer den historiska utvecklingen av begreppen anslutning och krökning med målet att förklara Chern-Weilteorin om karakteristiska klasser på ett huvudpaket. På vägen dit möter vi några av höjdpunkterna i differentialgeometrins historia, till exempel Gauss’ Theorema Egregium och Gauss-Bonnet-satsen. Övningar genom hela boken testar läsarens förståelse av materialet och illustrerar ibland utvidgningar av teorin. Inledningsvis är förutsättningarna för läsaren bland annat att ha en viss förtrogenhet med manifestor. Efter det första kapitlet blir det nödvändigt att förstå och manipulera differentialformer. Kunskap om de Rham-kohomologi krävs för den sista tredjedelen av texten.

Förutsatt material finns i författarens text An Introduction to Manifolds, och kan läras på en termin. För att underlätta för läsaren och för att fastställa gemensamma beteckningar påminner bilaga A om grunderna i manifestteori. I ett försök att göra framställningen mer självständig ingår dessutom avsnitt om algebraiska konstruktioner som tensorprodukten och den yttre kraften.

Differentialgeometri är, som namnet antyder, studiet av geometri med hjälp av differentialräkning. Den går tillbaka till Newton och Leibniz på 1600-talet, men det var inte förrän på 1800-talet, med Gauss arbete på ytor och Riemann på krökningstensorn, som differentialgeometrin blomstrade och dess moderna grund lades. Under de senaste hundra åren har differentialgeometrin visat sig vara oumbärlig för förståelsen av den fysiska världen, i Einsteins allmänna relativitetsteori, i gravitationsteorin, i mätningsteorin och nu i strängteorin. Differentialgeometri är också användbar inom bland annat topologi, flera komplexa variabler, algebraisk geometri, komplexa mångfaldsformer och dynamiska system. Området har till och med funnit tillämpningar på gruppteori som i Gromovs arbete och på sannolikhetsteori som i Diaconis arbete. Det är inte alltför långsökt att hävda att differentialgeometri bör ingå i varje matematikers arsenal.