Detta är en del av en serie om vanliga missuppfattningar.

Sant eller falskt?

Oändligheten är talet i slutet av den reella tallinjen.

Varför vissa människor säger att det är sant: för att oändligheten är det tal som är större än alla andra tal.

Varför vissa människor säger att det är falskt: för att oändligheten inte är ett tal och att tallinjen inte har en ände.

Det är falskt \color{#D61F06}{\textbf{false}}}falskt.

Bevis:

Missuppfattningen som är aktuell här är att ”om du fortsätter uppåt längs tallinjen förbi allt större och större räknevärden, så slutar räknevärdena så småningom att ge upp (någonstans efter den punkt där din lärare tröttnar på att göra tic-markeringar) och det kommer att finnas ett oändlighetstecken (∞\infty∞) som markerar slutet på tallinjen”. Alternativt säger vissa att ”oändligheten är i slutet av tallinjen, men det finns fortfarande oändligt många tal mindre än oändligheten och mellan oändligheten och varje annan punkt på linjen”. Båda dessa föreställningar har rötter i kalkylrelaterade begrepp, men båda är i grunden felaktiga.

När din lärare ”avslutar tallinjen” med ∞\infty∞ är detta faktiskt en missvisande förkortning för att representera att tallinjen fortsätter i all oändlighet. Ett mindre vilseledande sätt att representera denna föreställning kan vara att förlänga tallinjen ut med en pil. Vi kan dessutom ange att de hela talen fortsätter efter det att vi bestämt oss för att sluta registrera dem genom att använda den vanliga allmänna serieredovisningen: ”…n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,…” för att i det här fallet beskriva mängden av alla icke-negativa, hela tal. Denna mängd är också allmänt känd som ”de naturliga talen (N\mathbb{N}N)” eller som ”de icke-negativa heltalen”.

Missuppfattningen ligger i valet att behandla ∞\\infty∞ som ett heltal eller heltal eller som ett av de reella talen. Detta är inte samma sak som att tro att ∞\infty∞ är ”verkligt” eller ”overkligt” i den engelska betydelsen av ordet. Oändligheten är ett ”verkligt” och användbart begrepp. Oändligheten ingår dock inte i den matematiskt definierade uppsättningen av ”reella tal” och är därför inte ett tal på den reella tallinjen.

Mängden reella tal, R\mathbb{R}R, förklaras istället för att definieras i de flesta förskolor. Och även då förklaras den oftast bara kortfattat, med en beskrivning i stil med ”alla punkter på en tallinje” och med den ytterligare uppföljningen att ”de negativa reella talen är till vänster om 0 och de positiva talen är de till höger om 0”.

De flesta elever får inte lära sig en rigorös definition av de reella talen om de inte blir matematiklärare vid ett universitet. En av de vanligaste definitionerna man lär sig då är att de reella talen är mängden Dedekind-snitt av de rationella talen. Med en strikt definition av de reella talen är det omedelbart uppenbart att ”oändligheten” inte ingår i mängden reella tal.

Motargument: I studiet om gränser behandlas oändligheten (∞\infty∞) precis som alla andra tal. Varför gör vi detta i kalkyl om oändligheten faktiskt inte är ett tal?

Svar: Många lär sig om gränser i förkalkyl eller kalkyl precis som du beskriver, och det sätt på vilket oändligheten behandlas tyder på ett missvisande sätt på att oändligheten bara är ett annat tal. Till exempel, med tanke på en funktion med en horisontell asymptot vid 5, kan vi säga att gränsen för f(x)f(x)f(x) när xxx närmar sig oändligheten är fem: f(x)x→∞=5f(x)_{x\rightarrow \infty} = 5f(x)x→∞=5, och om f(x)f(x)f(x)f(x) har en vertikal asymptot vid 171717 lär vi oss att säga att f(x)x→17=∞f(x)_{x\rightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Detta är många elevers första exponering för ∞\infty∞, och det är en mycket missvisande introduktion eftersom den innebär att ∞\infty∞ kan behandlas som ett tal som helt enkelt är ”större än alla andra tal”

I det här sammanhanget är oändlighet dock bara en förkortning för ett väldefinierat begrepp som innebär att en funktion inte har någon gräns för ett reellt värde, utan i stället ökar för evigt utan gräns. Se wikin om gränsvärden för funktioner för mer information!

Rebuttal: Jag har definitivt sett oändlighet i läroböcker i matematik, och ibland definieras det som ett tal som är större än alla icke oändliga tal. Varför finns det där om det inte är ett riktigt matematiskt begrepp?

Svar: Det finns faktiskt matematiska taluppsättningar, t.ex. kardinaltalen och ordinaltalen, där många olika definierade versioner av ∞\infty∞ är tal. Och strikt definierade talsystem som inkluderar ∞\infty∞ har många värdefulla tillämpningar. Till exempel är oändligheten i kardinaltalsystemet faktiskt ett mått på hur många verkliga tal det finns. Mängden reella tal R\mathbb{R}R är dock definierad så att den utelämnar varje version av oändlighet.

För övrigt måste vi, när vi betraktar kardinaltalen, ändra vår intuition om oändligheten: det är inte ett tal i den mening av ”tallinjen” som de reella talen tillämpas. Istället är det ett begrepp för att mäta och jämföra storleken på mängder.