Teoriile de gabarit se referă la o clasă destul de generală de teorii ale câmpurilor cuantice utilizate pentru descrierea particulelor elementare și a interacțiunilor acestora. Teoriile se caracterizează prin prezența câmpurilor vectoriale și, ca atare, reprezintă o generalizare a mai vechii teorii a electrodinamicii cuantice (QED) care este utilizată pentru a descrie interacțiunile electromagnetice ale particulelor elementare încărcate cu spin 1/2. Invarianța gauge locală este o problemă foarte importantă. O caracteristică importantă este faptul că aceste teorii sunt adesearenormalizabile atunci când sunt utilizate în 3 dimensiuni spațiale și 1 dimensiune temporală.

• 1 1. Ecuațiile lui Maxwell și invarianța gauge
• 2 2. Teoria Yang-Mills
• 3 3. Mecanismul Brout-Englert-Higgs
• 4 4. Cromodinamica cuantică
• 5 5. Lagrangianul
• 6 6. Renormalizarea și anomalii
• 7 7. Modelul standard
• 8 8. Marile teorii unificate
• 9 9. Observații finale
• 10 Referințe
• 11 Lecturi suplimentare
• 12 Vezi și
• 13 Legături externe

1. Ecuațiile lui Maxwell și invarianța gauge

Cel mai simplu exemplu de teorie gauge este electrodinamica, descrisă de ecuațiile lui Maxwell. Intensitatea câmpului electric\(\vec E(\vec x,t)\) și intensitatea câmpului magnetic\(\vec B(\vec x,t)\) se supun ecuațiilor omogene ale lui Maxwell (în unități SI):

\

\

Potrivit Lemei lui Poincaré, Ec. (2) implică faptul că există un alt câmp de vectori \(\vec A(\vec x,t)\) astfel încât

\

Din moment ce Eq. (1) se citește acum

\

puteți concluziona, de asemenea, că există un câmp potențial \(\Phi(\vecx,t)\) astfel încât

\

Câmp \(\Phi\) este câmpul potențial electric;câmpul vectorial \(\vec A\) se numește câmp potențial vectorial. Intensitățile acestor câmpuri potențiale sunt determinate de ecuațiile neomogene ale lui Maxwell, care sunt ecuațiile care relaționează intensitățile câmpurilor electromagnetice cu sarcinile și curenții electrici care generează aceste câmpuri. Utilizarea câmpurilor potențiale simplifică adesea problema rezolvării secvențelor lui Maxwell.

Ceea ce transformă această teorie într-o teorie gauge este faptul că valorile acestor câmpuri potențiale nu sunt complet determinate de ecuațiile lui Maxwell. Să considerăm o configurație de câmp electromagnetic\((\vec E(\vec x,t),\,\vec B(\vec x,t))\ ,\) și să presupunem căeste descrisă de câmpurile potențiale \((\Phi(\vec x,t),\,\vecA(\vec x,t))\ .\) Apoi, folosind orice funcție scalară arbitrară\(\Lambda(\vec x,t)\ ,\) se poate găsi un set diferit de câmpuri potențiale care descriu aceleași câmpuri electrice și magnetice, prin scrierea

\

Inspectând ecuațiile (3) și (5), se observă cu ușurință că \(\vec E=\vec E’\) și \(\vecB=\vec B’\ .\) Astfel, ansamblul (\(\(\Phi’,\,\vec A’\)) și(\(\(\Phi,\,\vec A\)) descriu aceeași situație fizică.Din acest motiv, numim transformarea (6) transformare agauge. Deoarece \(\(\Lambda\)) poate fi aleasă ca o funcție arbitrară a punctelor \((\vec x,t)\) din spațiul-timp, vorbim de o transformare gauge locală. Faptul că câmpurile electromagnetice sunt invariante sub aceste transformări gauge locale transformă teoria lui Maxwell într-o teorie gauge.

În teoria cuantică relativistă a câmpurilor, câmpul \(\psi(\vecx,t)\) al unei particule fără spini care nu interacționează ar respecta de obicei ecuația

\

unde se folosesc unități astfel încât viteza luminii \(c=1\ ,\) și constanta lui Planck \(\hbar=1\ .\) Astfel se obține relația de dispersie între energie și impuls, așa cum este dictată de relativitatea specială:

Să presupunem acum că particula în cauză poartă o sarcină electrică\(q\ .\) Cum este afectată ecuația sa de prezența câmpurilor electro-magnetice? Se pare că nu se pot scrie ecuațiile corecte folosind direct câmpurile \(\vec E\) și \(\vecB\). În acest caz, se poate alege doar să se adauge în schimb termeni care depind de câmpurile potențiale (vectoriale):

\

Se poate verifica faptul că această ecuație produce corect undele care sunt deviate de forțele electromagnetice în modul în care ne așteptăm.De exemplu, se poate observa cu ușurință că energia \(E\) este îmbunătățită cu o cantitate \(q\,\Phi(\vec x,t)\ ,\) care este energia potențială a unei particule încărcate într-un câmp potențial electric.

Cu toate acestea, ce se întâmplă cu această ecuație atunci când se efectuează o transformare gauget? Se pare că ecuația se schimbă, astfel încât soluția pentru câmpul \(\psi\) ar trebui să se schimbe și ea.Într-adevăr, \(\psi\) se schimbă în felul următor:

\

Astfel, câmpul \(\psi\) face o rotație în planul complex. Acest lucru este strâns legat de o „transformare de scară”, care ar rezulta dacă s-ar elimina „i” din Ecuația (10).Hermann Weyl a fost cel care a observat că această transformare de simetrie redefinește pur și simplu scara câmpului\(\psi\ ,\) și a introdus cuvântul „gauge” pentru a descrie această caracteristică.

Combinațiile

\

Figura 1: Diagrama Feynman pentru electronul care emite un foton.

se numesc derivate covariante, deoarece sunt alese în așa fel încât derivatele funcției \(\Lambda(\vecx,t)\) se anulează într-o transformare gauge:

\

\

și acest lucru face ușor de observat că ecuația (10)descrie corect modul în care \(\psi\) se transformă sub o transformare gauge locală, respectând aceeași ecuație de câmp(9) atât înainte, cât și după transformare (toți termenii din ecuație sunt înmulțiți cu același exponențial\(e^{-iq\Lambda}\ ,\), astfel încât acest factor este irelevant).

Valoarea absolută, \(|\psi(\vec x,t)|^2\) nu se schimbă deloc sub efectul unei transformări gauge și, într-adevăr, aceasta este cantitatea care corespunde unui lucru observabil din punct de vedere fizic: este probabilitatea ca o particulă să poată fi găsită la \((\vecx,t)\ .\) O regulă de bază este că invarianța gauge locală impune ca toate derivatele din ecuațiile noastre să fie înlocuite cu derivate covariante.

2. Teoria Yang-Mills

Figura 2: Diagramele Feynman pentru emisia de fotoni Yang-Mills. Deasupra: electronul care se transformă în electron-neutrino; dedesubt: neutronul care se transformă în proton.

În anii 1950, se știa că ecuațiile de câmp pentru câmpul unui proton, \(P(\vec x,t)\ ,\) și câmpul unui neutron,\(N(\vec x,t)\ ,\) sunt de așa natură încât se pot roti aceste câmpuri într-un spațiu bidimensional complex:

\

unde matricea \( U=\stânga({a\quad b\atop c\quadd}\dreapta)\) poate conține patru numere complexe arbitrare, atâta timp cât este unitară (\(U\,U^\dagger=I\)) și, de obicei, determinantul lui \(U\) este restricționat la 1. Deoarece aceste ecuații seamănă cu rotațiile pe care le putem efectua în spațiul obișnuit, pentru a descrie spinul unei particule, simetria în cauză a fost numită izospin.

În 1954, C.N. Yang și R.L. Mills au publicat o idee foarte importantă.Se pot modifica ecuațiile astfel încât aceste rotații izospin să poată fi considerate rotații locale gauge? Acest lucru ar însemna că, spre deosebire de cazul cunoscut, matricelor\(U\) ar trebui să li se permită să depindă de spațiu și timp, la fel ca generatorul gauge \(\Lambda(\vec x,t)\) înelectromagnetism. Yang și Mills au fost, de asemenea, inspirați de observația că teoria gravitației a lui Einstein, relativitatea generală, permite, de asemenea, transformări foarte asemănătoare cu transformările gauget locale: înlocuirea cadrului de coordonate cu alte coordonate într-un mod arbitrar, dependent de spațiu-timp.

Pentru a scrie ecuațiile de câmp pentru protoni și neutroni, este nevoie de derivatele acestor câmpuri. Modul în care aceste derivate se transformă sub o transformare gauge locală implică faptul că vor exista termeni care să conțină gradienții \(\vec\nabla U\) ai matricelor\(U\ .\) Pentru a face teoria invariantă gauge, aceste gradiente ar trebui să fie anulate și, pentru a face acest lucru, Yang și Mills au înlocuit derivatele \(\vec\nabla\) cu derivate covariante \(\vec D=\vec\nabla -ig\vec A(\vec x,t)\ ,\) așa cum s-a făcut în electromagnetism, a se vedea ecuația (11). Aici, însă, câmpurile \(\vec A\) trebuiau să fie evaluate prin matrice, la fel ca și matricile de izospin \(U\):

\

\

Deoarece matricile \(U\) conțin patru coeficienți cu o singură constrângere (determinantul trebuie să fie 1), se ajunge la un set de trei noi câmpuri vectoriale (există 3 vectori reali independenți în matricea (15)). La prima vedere, acestea par a fi câmpurile unei particule vectoriale cu izospin unu. În practică, aceasta ar trebui să corespundă unor particule cu o unitate de spin (adică particula se rotește în jurul axei sale), iar sarcina sa electrică ar putea fi neutră sau una sau minus o unitate. Prin urmare, teoria Yang-Mills prezice și descrie un nou tip de particule cu spin unu, care transmit o forță nu foarte diferită de forța electro-magnetică.

Câmpurile care sunt echivalente cu câmpurile electrice și magnetice ale lui Maxwell se obțin prin considerarea comutatorului a două derivate de două variante:

\=D_\mu D_\nu-D_\nu D_\mu D_\mu=-ig(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig) = -igF_{\mu\nu}\ ,\]

unde indicii iau valorile \(\mu,\ \nu=0,1,2,3\ ,\)cu 0 referindu-se la componenta de timp.

Din moment ce \( F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu\mu}\ ,\) acest tensor are 6 componente independente, trei formând un câmp vectorial electric și trei un câmp magnetic. Fiecare dintre aceste componente este, de asemenea, o matrice.Comutatorul, \(\) este un termen nou, neliniar, care face ca ecuațiile Yang-Mills să fie mult mai complicate decât sistemul Maxwell.

În alte privințe, particulele Yang-Mills, fiind cuantele de energie ale câmpurilor Yang-Mills, sunt asemănătoare fotonilor, cuantele de lumină. De asemenea, particulele Yang-Mills nu au masă intrinsecă și călătoresc cu viteza luminii. Într-adevăr, aceste caracteristici au fost la început motive pentru a respinge această teorie, deoarece particulele fără masă de acest fel ar fi trebuit să fie detectate cu mult timp în urmă, în timp ce ele au fost vizibil absente.

3. Mecanismul Brout-Englert-Higgs

Teoria a fost reînviată atunci când a fost combinată cu ruperea spontană a simetriei locale de gabarit, cunoscută și sub numele de mecanismulBrout-Englert-Higgs. Să considerăm o particulă scalară (fără spini)descrisă de un câmp \(\phi(\vec x,t)\ .\) Se presupune că acest câmp este un câmp vectorial, în sensul că este supus unei erotații atunci când se efectuează o transformare gauge. În practică, aceasta înseamnă că particula poartă unul sau mai multe tipuri de sarcini care o fac sensibilă la forța Yang-Mills și, adesea, are mai multe componente, ceea ce înseamnă că există mai multe specii ale acestei particule.Astfel de particule trebuie să se supună statisticii Bose-Einstein, ceea ce înseamnă că pot suferi condensarea Bose-Einstein. În ceea ce privește câmpul său \(\phi\), aceasta înseamnă următoarele:

Figura 3: Ruperea spontană a simetriei. Un obiect care rezidă într-un potențial simetric de rotație își găsește o poziție stabilă, asimetrică. În cazul BEH, este vorba de câmpul Higgs, \((\phi_1, \phi_2)\) care găsește o valoare asimetrică \((F,\,0)\ .\)

În vid, câmpul \(\phi\) ia o valoare care nu dispare \(F\ .\)

Aceasta se scrie de obicei sub forma

\

După o transformare de gabarit locală, aceasta ar arăta ca

\

unde \( U(\vec x,t) \) este un câmp matriceal care reprezintă transformarea de gabarit locală.

Se spune adesea că, prin urmare, vidul nu este invariant gauge,dar, strict vorbind, acest lucru nu este corect. Situația descrisă de ecuația (18) este același vid ca și cea din (17); este doar descris diferit. Totuși, această proprietate a vidului are consecințe importante. Datorită faptului că câmpul rotit descrie acum aceeași situație ca și valoarea anterioară, nu există nicio particulă fizică diferită asociată câmpului rotit. Numai lungimea vectorului\(\phi\) are semnificație fizică. Prin urmare, numai lungimea vectorului \( \phi\) este asociată unui singur tip de particulă, care trebuie să fie neutră pentru forțele Yang-Mills. Această particulă se numește acum particula Higgs.

Cum câmpul Higgs este o sursă constantă pentru forța câmpului Yang-Mills, ecuațiile câmpului Yang-Mills sunt modificate de acesta. Datorită câmpului Higgs, „fotonii” Yang-Mills descriși de câmpul Yang-Mills \(A_\mu(\vec x,t)\) primesc o masă. Acest lucru poate fi, de asemenea, explicat după cum urmează. Fotonii fără masă nu pot avea decât două stări de elicitate, adică se pot roti numai în două direcții. Acest lucru este legat de faptul că lumina poate fi polarizată în exact două direcții. Fotonii masivi (particule cu o masă care nu dispare și cu o unitate de rotație), se pot roti întotdeauna în trei direcții. Acest al treilea mod de rotație este asigurat în prezent de câmpul Higgs, care la rândul său pierde mai multe dintre componentele sale fizice. Numărul total de componente fizice ale câmpului rămâne același înainte și după mecanismul Brout-Englert-Higgs. O altă consecință a acestui efect asupra câmpului Yang-Mills este că forța transmisă de fotonii masivi este una cu rază de acțiune redusă (raza de acțiune a forței fiind invers proporțională cu masa fotonului).

Figura 4: Cele șase arome și trei culori ale quarcilor și antiparticulele lor. Săgețile arată tranzițiile slabe și puternice

Interacțiunile slabe ar putea fi acum descrise cu succes de o teorie Yang-Mills. Setul de transformări locale de gauge formează grupul matematic \(SU(2)\ ori U(1)\ .\) Acest grup generează 4 specii de fotoni (3 pentru \(SU(2)\) și 1 pentru \( U(1)\))). Mecanismul Brout-Englert-Higgs descompune acest grup în așa fel încât rămâne un subgrup de forma \(U(1)\).Aceasta este teoria electromagnetică, cu un singur foton. Ceilalți trei fotoni devin masivi; ei sunt responsabili pentru interacțiunile slabe, care în practică par a fi slabe doar pentru că aceste forțe au o rază de acțiune foarte scurtă. În ceea ce privește electromagnetismul, doi dintre acești bosoni vectoriali intermediari, \(W^\pm\ ,\)sunt încărcați electric, iar un al treilea, \( Z^0\ ,\) este neutru din punct de vedere electric. Atunci când existența acestuia din urmă a fost dedusă din argumente teoretice de grup, aceasta a dat naștere la prezicerea unei forme de interacțiune slabă până atunci neobservate: interacțiunea curentului neutru. Această teorie, care combină electromagnetismul și forța slabă într-o singură teorie, se numește teoria electro-foarte slabă și a fost prima teorie complet renormalizabilă pentru forța slabă (a se vedea capitolul 5).

4. Cromodinamica cuantică

Când s-a înțeles că interacțiunile slabe, împreună cu cele electromagnetice, pot fi atribuite unei teorii gauge Yang-Mills, s-a pus întrebarea cum să se abordeze forța puternică, o forță foarte puternică, cu o rază de acțiune relativ scurtă, care controlează comportamentul particulelor hadronice, cum ar fi nucleonii și pionii. Încă din 1964 s-a înțeles că aceste particule se comportă ca și cum ar fi construite din subunități, numite quarci. Se cunoșteau trei varietăți de quarci (up, down și strange), iar alte trei aveau să fie descoperite ulterior (charm, top și bottom). Aceste quarcuri au proprietatea particulară de a se lipi permanent între ele, fie în triplete, fie un quarc se lipește cu un antiquarc. Cu toate acestea, atunci când se apropie unul de altul foarte mult, încep să se comporte mai liber ca indivizi.

Figura 5: Diagrame Feynman pentru emisia de gluoni QCD. Quarcii își schimbă culoarea, dar aroma lor rămâne aceeași: u rămâne u și d rămâne d.

Aceste caracteristici le înțelegem acum ca fiind, din nou, datorate unei teorii Yang-Millsgauge. Aici, avem grupul matematic \(SU(3)\)ca grup gauge local, în timp ce acum simetria nu este afectată de niciun mecanism Brout-Englert-Higgs. Datorită naturii neliniare a câmpului Yang-Mills, acesta se autointeracționează, ceea ce forțează câmpurile să apară în modele destul de diferite de cazul electromagnetic: se formează linii vortex, care formează legături incasabile între quarci. La distanțe apropiate, forța Yang-Mills devine slabă, iar aceasta este o caracteristică care poate fi derivată în mod elementarfolosind expansiuni de perturbații, dar este o proprietate a sistemului cuantificatYang-Mills care până acum fusese considerată imposibilă pentru orice teorie cuantică a câmpurilor, numită libertate asimptotică. Descoperirea acestei caracteristici are o istorie complicată.

Figura 6: Câmpurile cromodinamice cuantice formează vârtejuri care mențin quarcurile și antiquarcurile (stânga) sau sistemele cu trei quarcuri (dreapta) permanent confinate.

\(SU(3)\) implică faptul că fiecare specie de quarc se prezintă în trei tipuri, denumite culori: acestea sunt „roșu”, „verde” sau „albastru”. câmpul unui quarc este, prin urmare, un vector cu trei componente într-un spațiu intern „de culoare”. Transformările de gabarit Yang-Mills rotesc acest vector în spațiul culorilor. Câmpurile Yang-Mills în sine formează matrici de 3 cu 3, cu o singură constrângere (deoarece determinantul matricelor de gaugerotație Yang-Mills trebuie să fie menținut egal cu unu). Prin urmare, câmpul Yang-Mills are 8 particule colorate asemănătoare fotonilor, numitegluoni. Anti-quarcii poartă culorile conjugate („cyan”, „magenta” sau „galben”). Teoria se numește acum cromodinamică cuantică (QCD). Este, de asemenea, o teorie renormalizabilă.

Gluonii țin efectiv quarcurile laolaltă în așa fel încât culorile lor se adaugă la un total care este neutru din punct de vedere al culorii („alb” sau o „nuanță de gri”). Acesta este motivul pentru care fie trei quarci, fie un quarc și un anti-quark pot sta împreună pentru a forma o particulă observabilă fizic (un hadron). Această proprietate a teoriei se numește confinare permanentă a quarcilor. Din cauza caracterului puternic neliniar al câmpurilor, confinarea quarcilor este de fapt destul de dificil de demonstrat, în timp ce proprietatea de libertate asimptotică poate fi demonstrată cu exactitate. Într-adevăr, o demonstrație ireproșabilă din punct de vedere matematic a confinării, cu fenomenul asociat al unui decalaj de masă în teorie (absența obiectelor hadronice strict lipsite de masă), nu a fost încă demonstrată și face obiectul unui, publicat de Clay Mathematics Institute din Cambridge, Massachusetts.

5. Lagrangianul

Nu se pot alege toate ecuațiile de câmp la discreție. Ele trebuie să se supună unor condiții cum ar fi conservarea energiei. acest lucru implică faptul că există un principiu de acțiune (acțiune = reacție), iar acest principiu este cel mai convenabil exprimat prin scrierea Lagrangianului pentru teorie. Lagrangianul (mai exact, densitatea Lagrange) \( \mathcal{L}(\vec x,t)\) este o expresie a câmpurilor sistemului. Pentru un câmp scalar real \(\Phi\) este

\

și pentru câmpurile Maxwell este

\

unde însumarea este însumarea covariantă Lorentz peste indicii Lorentz \(\mu,\ \nu\ .\)Ecuațiile de câmp pot fi toate derivate din această expresie cerând ca integrala acțiunii,

\

unde \(\mathcal{L}\) este suma Lagranganelor tuturor câmpurilor din sistem,să fie staționară sub toate variațiile infinitezimale ale acestor câmpuri. Aceasta se numește principiul lui Euler-Lagrange, iar ecuațiile sunt ecuațiile lui Euler-Lagrange.

Pentru teoriile gauge acest lucru se generalizează direct: se scrie

\

folosind expresia (16) pentru câmpurile gauge \(F_{{mu\nu}\ ,\) și se adaugă toți termenii asociați celorlalte câmpuri care sunt introduse. Toate simetriile teoriei sunt simetriile lagrangianului, iar dimensionalitatea tuturor intensităților de cuplaj poate fi citită cu ușurință și din lagrangian, ceea ce este important pentru procedura de renormalizare (a se vedea capitolul următor).

6. Renormalizare și anomalii

În conformitate cu legile mecanicii cuantice, energia dintr-un câmp este alcătuită din pachete de energie, iar aceste pachete de energie sunt de fapt particulele asociate câmpului. Mecanica cuantică oferă prescripții extrem de precise cu privire la modul în care aceste particule interacționează, de îndată ce ecuațiile câmpului sunt cunoscute și pot fi date sub forma unui lagrangian. Teoria se numește atunci teoria cuantică a câmpului (QFT) și explică nu numai modul în care forțele sunt transmise prin schimbul de particule, ci și faptul că ar trebui să aibă loc mai multe schimburi. În multe teorii mai vechi, aceste schimburi multiple au dat naștere la dificultăți: efectele lor par a fi nelimitate sau infinite. Cu toate acestea, într-o teorie gauge, structura micilor distanțe este prescrisă foarte precis de cerința de invarianță gauge. Într-o astfel de teorie se pot combina efectele infinite ale schimburilor multiple cu redefiniri ale maselor și sarcinilor particulelor implicate. Această procedură se numeșterenormalizare. În 3 dimensiuni spațiale și 1 dimensiune temporală, majoritatea teoriilor gauget sunt renormalizabile. Acest lucru ne permite să calculăm efectele schimburilor multiple de particule cu o precizie ridicată, permițând astfel o comparație detaliată cu datele experimentale.

Figura 7: Diagrame Feynman care conțin bucle, datorate schimburilor multiple de particule. Buclele generează adesea expresii infinite.

Renormalizarea necesită ca masele și intensitățile de cuplaj ale particulelor să fie definite foarte atent. Dacă toțiparametrii de cuplaj ai unei teorii primesc o masă-dimensionalitate care este zero sau pozitivă, numărul de expresii divergente rămâne sub control. De obicei, cerând ca teoria să rămână invariantă gauge pe tot parcursul procedurii de renormalizare nu lasă nicio ambiguitate pentru definiții. Cu toate acestea, nu este evident că există definiții neambigue și invariante gauge, deoarece invarianța gauge trebuie să fie valabilă pentru toate interacțiunile, în timp ce doar câteva expresii finite pot fi înlocuite cu expresii finite.

Demonstrația care a arătat cum și de ce pot fi obținute expresii renormalizate neambigue, ar putea fi obținută cel mai elegant prin realizarea faptului că teoriile gauge pot fi formulate în orice număr de dimensiuni spațiu-timp. A fost posibil chiar să se definească fără ambiguitate toate Diagramele Feynmand pentru teorii în spații în care dimensiunile sunt \(3-\epsilon\ ,\) unde \(\epsilon\) este o cantitate infinitezimală. Luarea limitei \(\(\epsilon\dreptarrow0\) necesită scăderea polilor de forma\(C_n/\epsilon^n\) din parametrii de masă și de cuplaj originali, „goi”. Rezultatul este un set de expresii unice, finite și invariante gauge. În practică, s-a constatat că această procedură, numită regularizare și renormalizare dimensională, este, de asemenea, convenabilă pentru efectuarea calculelor complicate din punct de vedere tehnic ale diagramelor de buclă.

Figura 8: Diagrama în care o particulă fermionică formează un triunghi închis, cuplându-se la trei particule gauge, este principala sursă de anomalii.

Există însă un caz special în care extinderea la dimensiunidiferite de cea canonică este imposibilă. Acesta este cazul în care particulele fermionice prezintă simetrie chirală. Simetria chirală este o asimetrie care distinge particulele care se rotesc spre stânga de cele care se rotesc spre dreapta și, într-adevăr, joacă un rol crucial în Modelul Standard.Simetria chirală este posibilă numai dacă spațiul este tridimensional și, prin urmare, nu permite renormalizarea dimensională. Într-adevăr, uneori, chiralsimetria nu poate fi păstrată la renormalizarea teoriei. Apare o anomalie, numită anomalie chirală. Aceasta a fost descoperită pentru prima dată atunci când un calcul al amplitudinii de dezintegrare\(\pi_0\rightarrow\gamma\gamma\) a dat răspunsuri care nu urmau modelul de simetrie așteptat.

Din moment ce simetriile gauge ale Modelului Standard disting particulele care se rotesc spre stânga de cele care se rotesc spre dreapta (în special, numai neutrinii care se rotesc spre stânga sunt produși într-o interacțiune slabă), anomaliile au fost o mare îngrijorare. Cu toate acestea, se întâmplă că toate amplitudinile anormale care ar pune în pericol invarianța gauge și ar împiedica coerența de sine a ecuațiilor noastre, se anulează. Acest lucru este legat de faptul că anumite extensii „grand unified” ale Modelului Standard se bazează pe grupuri gauge fără anomalii (a se vedea capitolul 7).

Anomalia are o implicație fizică directă. O configurație de câmp topologic răsucită numită instanton (pentru că reprezintă un eveniment la un anumit moment în timp), reprezintă exact configurația câmpului gauge în care anomalia este maximă. Aceasta determină o încălcare a conservării unora dintre sarcinile gauge. Atunci când există o anomalie, cel puțin una dintre sarcinile implicate nu poate fi o sarcină gauge, ci trebuie să fie o sarcină la care nu este cuplat nici un câmp gauge, cum ar fi sarcina barionică.Într-adevăr, în teoria electro-dacilor, instantonii declanșează încălcarea legilor de conservare a barionilor. Se crede acum că acest lucru ar putea explica dezechilibrul dintre materieși antimaterie care trebuie să fi apărut în fazele timpurii ale Universului.

7. Modelul standard

Pe lângă forța slabă, forța electromagnetică și forța puternică, există forța gravitațională care acționează asupra particulelor elementare. Nu se cunosc alte forțe elementare. La nivelul particulelorindividuale, gravitația este atât de slabă încât poate fi ignorată în cele mai multe cazuri. Să presupunem acum că luăm \( SU(2)\timesU(1)\) Yang-Mills, împreună cu câmpul Higgs, pentru a descrie electromagnetismul și forța slabă, și să adăugăm la acesta sistemul\(SU(3)\) Yang-Mills pentru forța puternică și includem toate câmpurile elementare cunoscute ale materiei, adică quarcii și leptonii, cu regulile lor de transformare corespunzătoare în cadrul unei transformări agauge; să presupunem că adăugăm la acestea toate modurile posibile în care aceste câmpuri se pot amesteca, o caracteristică observată experimental, care poate fi explicată ca un tip de bază de auto-interacțiune a câmpurilor. Atunci obținem ceea ce se numește modelul standard. Acesta este o mare teorie de gabarit care reprezintă literalmente toată înțelegerea noastră actuală a particulelor subatomice și a interacțiunilor lor.

Modelul Standard își datorează puterea faptului că esterenormalizabil. A făcut obiectul a numeroase experimente și observații experimentale. A rezistat la toate aceste testeremarcabil de bine. O modificare importantă a devenit inevitabilă la începutul anilor 1990: în sectorul leptonic, și neutrinii poartă o cantitate mică de masă, iar câmpurile lor se amestecă. Acest lucru nu era total neașteptat, dar experimentele de mare succes cu neutrini (în special experimentul japonez Kamiokande) au făcut clar că aceste efecte există cu adevărat. Ele au presupus, de fapt, o nouă întărire a Modelului Standard.

Un ingredient nu a fost încă confirmat: particula Higgs.Observarea acestui obiect este așteptată în viitorul apropiat, în special de către Marele Accelerator de Hadroni de la CERN, Geneva. Cele mai simple versiuni ale modelului standard presupun doar o singură particulă Higgs, neutră din punct de vedere electric, dar „sectorul Higgs” ar putea fi mai complicat: particulele Higgs ar putea fi mult mai grele decât se așteaptă în prezent sau ar putea exista mai multe varietăți, caz în care s-ar găsi și particule scalare încărcate electric.

Modelul standard nu este perfect din punct de vedere matematic.La energii extrem de mari (energii mult mai mari decât cele care pot fi atinse în prezent în acceleratoarele de particule), teoria devine nenaturală. În practică, acest lucru înseamnă că nu mai credem că totul se va întâmpla exact așa cum este prevăzut în teorie; sunt de așteptat fenomene noi. Cel mai popular scenariu este apariția unei noi simetrii numite supersimetrie, o simetrie care corelează bosonii cu fermionii (particule precum electronii și quarcii, care necesită câmpuri Dirac pentru descrierea lor).

8. Marile teorii unificate

Este firesc să bănuim că forțele electrofoarte slabe și forțele tari ar trebui să fie, de asemenea, conectate prin rotații gauge. Acest lucru ar însemna că toate forțele dintre particulele subatomice sunt de fapt legate prin transformări de gabarit. Nu există dovezi directe în acest sens, dar există câteva circumstanțe care par să indice această direcție. În versiunea actuală a Modelului Standard, combinația \(SU(3)\) Yang-Mills, care descriu forța puternică, prezintă într-adevăr intensități de cuplaj foarte mari, în timp ce sectorul \(U(1)\), care descrie sectorul electric (și o parte din cel slab), are o intensitate de cuplaj mică. Acum se poate utiliza matematica normalizării, în special așa-numitul grup de renormalizare, pentru a calcula intensitățile efective ale acestor forțe la energii mult mai mari. Se constată că forțele \(SU(3)\) își reduc puterea, datorită libertății asimptotice, dar că puterea de cuplare \(U(1)\) crește. Forța \(SU(2)\) variază mai lent. La energii extrem de mari, care corespund unor scări de distanță foarte scurte, în jur de \(10^{-32}\) cm, cele trei forțe de cuplaj par să se apropie una de cealaltă, ca și cum acesta ar fi locul unde forțele se unesc.

S-a constatat că \(SU(2)\ ori U(1)\) și \(SU(3)\) se potrivesc destul de bine într-un grup numit \(SU(5)\ .\) Într-adevăr, ele formează un subgrup al lui\(SU(5)\ .\) Se poate presupune apoi că un mecanism Brout-Englert-Higgs descompune acest grup într-un subgrup \(SU(2)\times U(1)\timesSU(3)\). Se obține așa-numita teorie a Marelui Câmp Unificat. În această teorie, se presupune că există trei generații de oferemioni, fiecare dintre ele transformându-se în același mod sub transformări \(SU(5)\) (matematic, ele formează o reprezentare \(\mathbf{10}\)și o reprezentare \(\overline{\mathbf{5}}\).

Teoria \(SU(5)\) prevede însă că protonul se candecă, extrem de lent, în leptoni și pioni. Această dezintegrare a fost căutată, dar nu a fost găsită. De asemenea, în acest model, nu este ușor să se ia în considerare masa neutrinilor și amestecurile acestora. A fost găsită o teorie mai bună în care \( SU(5)\) este extinsă în \(SO(10)\ .Reprezentările \(\(\mathbf{10}\) și \(\(\overline{\mathbf{5}}\}) ale \(SU(5)\) împreună cu un singur câmp de neutrini de dreapta, se combină într-o reprezentare \(\mathbf{16}\ a \(SO(10)\) (câte una pentru fiecare din cele trei generații).Acest mare model unificat plasează neutrinii la același nivel cu leptonii încărcați. Adesea, acesta este extins la o versiune supersimetrică.

9. Observații finale

Oricărei teorii gauge i se construiește după cum urmează. Mai întâi, se alege grupul gauge. Acesta poate fi produsul direct al unui număr oarecare de grupuri Lie ireductibile,compacte, fie din seriile \(SU(N)\ ,\)\(SO(N)\) sau \(Sp(2N)\ ,\), fie din grupurile excepționale\(G_2,\ F_4,\ E_6, E_7,\) sau \(E_8\ .\) Apoi, se aleg câmpuri fermionice (spin 1/2) și scalare (spin 0) care formează reprezentări ale acestui grup gauge local. Componentele de elicitate stângă și de elicitate dreaptă ale câmpurilor fermionice pot fi reprezentări indiferente, cu condiția ca anomaliile să se anuleze.Pe lângă grupul gauge local, putem impune și simetrii globale exacte și/sau aproximative. În cele din urmă, se pot alege termeni de masă și termeni de interacțiune în lagrangian, descriși prin parametrii de cuplaj ajustabili în mod liber. Va exista doar un număr finit de astfel de parametri, cu condiția ca toate interacțiunile să fie alese pentru a fi de tip renormalizabil (acest lucru poate fi acum citit cu ușurință din lagrangianul teoriei).

Există un număr infinit de moduri de a construi teorii gauge de-a lungul acestor linii. Cu toate acestea, se pare că modelele care sunt cele mai utile pentru adescrie particulele elementare observate, sunt cele relativ simple, bazate pe grupuri și reprezentări matematice destul de elementare. Ne putem întreba de ce natura pare a fi atât de simplă și dacă va rămâne așa atunci când vor fi descoperite noi particule și interacțiuni. Se poate concepe că vor fi necesare teorii gauge mai elaborate pentru a descrie interacțiunile la energii care nu sunt încă accesibile în acceleratoarele de particule de astăzi.

Subiecte conexe sunt Supersimetria și Teoria supercorzilor. Acestea sunt idei mai noi despre structura particulelor și simetriile particulelor, în care invarianța gauge joacă, de asemenea, un rol foarte fundamental.

• Yang, C N și Mills, R L (1954). Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review 96: 191-195.
• Higgs, P W (1964). Broken symmetries, massless particles and gauge fields. Phys. lett. 12: 132.
• Higgs, P W (1964). Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons. Phys. Rev. Lett. 13: 508.
• Higgs, P W (1966). Ruperea spontană a simetriei fără bosoni fără masă. Phys. Rev. 145: 1156.
• Englert, F și Brout, R (1964). Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons. Phys. Rev. Lett. 13: 321.
• Weinberg, S (1967). Un model de leptoni. Phys. Rev. Lett. 19: 1264.
• Faddeev, L D și Popov, V N (1967). Diagrame Feynman pentru câmpul Yang-Mills. Phys. Lett. 25B: 29.
• ‘t Hooft, G (1971). Renormalizarea câmpurilor Yang-Mills fără masă. Nucl. Phys. B33: 173.
• ‘t Hooft, G (1971). Lagrangiane renormalizabile pentru câmpuri Yang-Mills masive. Nucl. Phys. B35: 167.
• Taylor, J C (1971). Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field. Nucl. Phys. B33: 436.
• Slavnov, A (1972). Ward identities in gauge theories Theor. Math. Phys. 10: 153.
• ‘t Hooft, G și Veltman, M (1972). Regularizarea și renormalizarea câmpurilor gauge. Nucl. Phys. B44: 189.
• Adler, S L (1969). Axial-Vector Vertex in Spinor Electrodynamics Phys. Rev. 177: 2426.
• Bell, J S și Jackiw, R (1969). A PCAC puzzle: π0→γγ în modelul σ Nuovo Cim. 60A: 47.
• Adler, S L și Bardeen, W A (1969). Absence of Higher-Order Corrections in the Anomalous Axial-Vector Divergence Equation. Phys. Rev. 182: 1517.
• Bardeen, W A (1969). Anomalous Ward Identities in Spinor Field Theories. Phys. Rev. 184: 1848.
• Fritzsch, H; Gell-Mann , M și Leutwyler, H (1973). Advantages of the color octet gluon picture Phys. lett. 47B: 365.
• De Rujula, A; Georgi, H; Glashow, S L și Quinn, H (1974). Fapt și fantezie în fizica neutrinilor. Rev. Mod. Phys. 46: 391.

Lectură suplimentară

• Crease, R P și Mann, C C C (1986). The Second Creation: makers of the revolution in twentieth-century physics, Macmillan, New York. ISBN 0-02-521440-3.
• ‘t Hooft, G (1997). In Search of the Ultimate Building Blocks (traducere în limba engleză: „Bouwstenen van de Schepping”) Cambridge Univ. Press, Cambridge. ISBN 052155050831.
• ‘t Hooft, G (1994). Under the spell of the gauge principle (Sub vraja principiului gauge). Advanced Series in Mathematical Physics 19. World Scientific, Singapore. ISBN 981021213093.
• ‘t Hooft, G (2005). 50 years of Yang-Mills theory (50 ani de teorie Yang-Mills) World Scientific, Singapore. ISBN 978-981-256-007-0.
• de Wit, B și Smith, J (1986). Field Theory in Particle Physics (Teoria câmpului în fizica particulelor) North Holland, Amsterdam. ISBN 044486999999.
• Aitchison, I J R și Hey, A J G (1989). Gauge Theories in Particle Physics, a practical introduction Adam Hilger, Bristol și Philadelphia. ISBN 0-85274-329-7.
• Itzykson, C și Zuber, J B (2006). Teoria cuantică a câmpurilor Dover Publications, New York. ISBN 048644545682.
• Ryder, L H (1997). Teoria cuantică a câmpurilor Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521478146.

Vezi și

Becchi-Rouet-Stora-Tyutin symmetry, Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble_mechanism, Gauge invariance, Slavnov-Taylor identities, Zinn-Justin equation

• http://www.phys.uu.nl/~thooft/