Pagina

Written by on in Articles

O ecuație funcțională, în linii mari, este o ecuație în care unele dintre necunoscutele care trebuie rezolvate sunt funcții. De exemplu, următoarele sunt ecuații funcționale:

  • $f(x) + 2f\stânga(\frac1x\dreapta) = 2x$
  • $g(x)^2 + 4g(x) + 4 = 8\sin{x}$

.

Subiecte introductive

Inversul unei funcții

Inversul unei funcții este o funcție care „anulează” o funcție. Pentru un exemplu, luați în considerare funcția: $f(x) = x^2 + 6$. Funcția $g(x) = \sqrt{x-6}$ are proprietatea că $f(g(x)) = x$. În acest caz, $g$ se numește funcție inversă (dreaptă). (În mod similar, o funcție $g$ astfel încât $g(f(x))=x$ se numește funcție inversă stângă. De obicei, inversa dreaptă și inversa stângă coincid pe un domeniu adecvat și, în acest caz, numim pur și simplu funcția inversă dreaptă și inversă stângă funcția inversă). Adesea, inversa unei funcții $f$ este notată cu $f^{-1}$.

Subiecte intermediare

Funcții ciclice

O funcție ciclică este o funcție $f(x)$ care are proprietatea că:

$f(f(f(\cdots f(x) \cdots)) = x$

Un exemplu clasic al unei astfel de funcții este $f(x) = 1/x$ deoarece $f(f(x)) = f(1/x) = x$. Funcțiile ciclice pot ajuta semnificativ la rezolvarea identităților funcționale. Considerați această problemă:

Găsește $f(x)$ astfel încât $3f(x) - 4f(1/x) = x^2$. În această ecuație funcțională, fie $x=y$ și fie $x = 1/y$. Se obțin astfel două noi ecuații:

$3f(y) - 4f\stânga(\frac1y\dreapta) = y^2$

$3f\stânga(\frac1y\dreapta)- 4f(y) = \frac1{y^2}$

Acum, dacă înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua ecuație cu 4 și adunăm cele două ecuații, avem:

$-7f(y) = 3y^2 + \frac{4}{y^2}$

Deci, în mod clar, $f(y) = -\frac{3}{7}y^2 - \frac{4}{7y^2}$

Exemple de probleme

  • 2006 AMC 12A Problem 18
  • 2007 AIME II Problem 14

Vezi și

  • Funcții
  • Polinomii
  • Ecuația funcțională Cauchy

.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.