Aceasta este o scurtă introducere în teoria lui Galois. Nivelul acestui articol este în mod necesar destul de ridicat în comparație cu unele articole din NRICH, deoarece teoria lui Galois este un subiect foarte dificil, introdus de obicei doar în ultimul an al unei diplome de licență în matematică. Acest articol nu face decât să atingă suprafața teoriei Galois și ar trebui probabil să fie accesibil unui elev de 17 sau 18 ani cu un interes puternic pentru matematică. În introducerea de mai jos există o prezentare scurtă și foarte vagă a două aplicații importante ale teoriei lui Galois. Dacă doriți să știți mai multe despre teoria Galois, restul articolului este mai aprofundat, dar și mai dificil.
Cele mai importante două lucruri pe care trebuie să le cunoașteți pentru a înțelege partea aprofundată a articolului sunt numerele complexe și teoria grupurilor. Dacă nu v-ați mai întâlnit până acum cu numerele complexe, puteți citi An Introduction to Complex Numbers , care ar trebui să fie accesibil elevilor de 15 sau 16 ani. Dacă nu v-ați mai întâlnit până acum cu teoria grupurilor, nu vă faceți griji. Vă prezint mai jos ideea de grup, deși ar fi mai bine să încercați să găsiți o carte sau un site web care intră în mai multe detalii.
1.1 Motivație
Teoria galoizilor este un subiect foarte mare și, până când nu sunteți destul de imersați în studiul matematicii, într-un mod neobișnuit dacă nu studiați pentru o diplomă în matematică, poate părea destul de inutilă. Cu toate acestea, există două probleme care oferă o anumită motivație pentru studierea teoriei Galois – existența polinoamelor care nu sunt solubile prin radicali și unele rezultate despre geometria euclidiană clasică,de exemplu, faptul că nu se poate trisecta un unghi folosind o riglă și un compas și că anumite poligoane regulate nu pot fi construite folosind o riglă și un compas.
Definiție Atunci când putem găsi soluțiile unui polinom cu coeficienți raționali folosind numai numere raționale și operațiile de adunare, scădere, împărțire, înmulțire și găsire a n-a rădăcină, spunem că $p(x)$ este solubil prin radicali.
1.2. Istoric
Atunci, de ce se numește teoria lui Galois teoria lui Galois? Răspunsul este că ea poartă numele unui matematician francez Evariste Galois (1811-1832) care a realizat lucrări foarte importante în acest domeniu. El a avut o viață foarte dramatică și dificilă, nereușind să facă să fie recunoscute o mare parte din lucrările sale din cauza marii sale dificultăți de exprimare clară. De exemplu, nu a fost admis la cea mai importantă universitate din Paris, Ecole Polytechnique , și a trebuit să se mulțumească cu Ecole Normale . A întâmpinat dificultăți și din cauza simpatiilor sale politice, era republican. Acest lucru a dus la expulzarea sa de la Ecole Normale atunci când a scris o scrisoare într-un ziar în care îl critica pe directorul școlii. S-a alăturat unei ramuri republicane a miliției și mai târziu a fost încarcerat (de două ori) din cauza apartenenței sale. A doua oară, în timp ce se afla în închisoare, s-a îndrăgostit de fiica medicului închisorii, Stephanie-Felice du Motel și, după ce a fost eliberat, a murit într-un duel cu Perscheux d’Herbinville . Motivele duelului nu sunt foarte clare, dar pare probabil că a avut legătură cu Stephanie. Moartea sa a declanșat revolte și mitinguri republicane care au durat mai multe zile.
Deși Galois este adesea creditat cu inventarea teoriei grupurilor și a teoriei Galois, se pare că un matematician italian, Paolo Ruffini (1765-1822), ar fi putut veni primul cu multe dintre idei. Din păcate, ideile sale nu au fost luate în serios de restul comunității matematice de la acea vreme. Există câteva link-uri la sfârșitul acestui document pentru oricineeste interesat să afle mai multe despre istoria teoriei grupurilor și a teoriei lui Galois.
1.3 Prezentare generală
Modul în care este demonstrat rezultatul despre solubilitatea prin radicali de mai sus (folosind teoria lui Galois) este de a demonstra un rezultat despre colecția de simetrii dintre rădăcinile unui polinom, dat fiind că rădăcinile sunt construite folosind doar operațiile speciale de mai sus. (Se pare că colecția de simetrii trebuie să formeze ceea ce se numește un grup solubil. Mai multe despre acest lucru spre sfârșitul acestui articol). Apoi găsiți un polinom pentru care simetriile rădăcinilor nu are această proprietate specială, astfel încât să știți că rădăcinile nu au putut fi construite cu ajutorul operațiilor speciale.
Subiectul restului acestui articol este precizarea a ceea ce înțelegem prin simetrie a rădăcinilor și despre structura colecției acestor simetrii.
1.4 Notație
1.5 Sfaturi pentru citirea acestui articol
Restul acestui articol este destul de dificil. Un număr mare de idei noi sunt introduse și folosite din nou și din nou, și există o mulțime de cuvinte necunoscute. Până la sfârșitul articolului voi folosi expresii precum $Q$ este o extensie radicală de câmp a lui $Q$, deoarece poate fi construită folosind numai extensii de câmp ciclotomice în fiecare etapă. Nu fiți prea descurajat de acest limbaj aparent străin, fiecare cuvânt este explicat pe măsură ce este introdus. Cea mai bună strategie de lectură este să o parcurgeți încet și să vă asigurați că înțelegeți exact ce înseamnă fiecare cuvânt înainte de a trece la secțiunea următoare, deoarece acel cuvânt va fi folosit din nou și din nou, iar dacă nu îl înțelegeți bine, atunci totul va deveni din ce în ce mai confuz pe măsură ce veți continua să citiți. Cu toate acestea, dacă citiți această lucrareonline, puteți pur și simplu să faceți clic pe oricare dintre cuvintele subliniate și definiția originală va apărea într-o fereastră mică.
2 Grupuri și câmpuri
În acest moment, ați putea dori să verificați dacă ați urmărit până acum. Vedeți dacă puteți demonstra că $S_n$ este un grup și că are $n!$ elemente. Dacă sunteți mulțumiți de ideea de seturi și funcții, atunci puteți dovedi că $S_X$ este un grup chiar dacă $X$ este un set infinit.
2.2 Câmpuri
2.3 Extensii de câmp
Definiție (extensie de câmp):
O extensie de câmp a unui câmp $F$ este un câmp $K$ care conține $F$ (scriem o extensie de câmp ca $F\subseteq K$ sau $K/F$). De exemplu, numerele reale sunt o extensie de câmp a numerelor raționale, deoarece numerele reale sunt un câmp și fiecare număr rațional este, de asemenea, un număr real.
2.4 Câmpuri de divizare
Aici începe partea de teorie Galois.
Un alt exemplu este că domeniul de divizare al lui $p(x)=x^4-5x^2+6$ este $Q$. Puteți vedea de ce?
3 Automorfisme și grupuri Galois
Puteți verifica că pentru funcția $f$ de mai sus chiar satisface toate condițiile.
Ideea unui automorfism de câmp este că este doar o modalitate de a reeticheta elementele câmpului fără a schimba deloc structura. Cu alte cuvinte, putem înlocui simbolul $\sqrt{2}$ cu simbolul $-\sqrt{2}$, să facem toate calculele noastre și apoi să schimbăm simbolul $-\sqrt{2}$ înapoi în $\sqrt{2}$ și vom obține răspunsul corect. Automorfismele de câmp sunt modalitatea corectă de exprimare a acestei idei,deoarece condițiile ca $f(x+y)=f(x)+f(y)$ păstrează înmulțirea, adunarea și așa mai departe.
3.2 Grupul Galois
4 Solubilitatea prin radicali
Pentru a merge mai departe în teoria Galois ar fi, din păcate, prea complicat. Voi schița restul dovezii existenței polinoamelor care nu sunt solubile prin radicali.
5 Trisecția unghiurilor
După cum am menționat mai sus, puteți folosi teoria lui Galois pentru a demonstra că este imposibil să trisectați toate unghiurile folosind metodele riglei și compasului. Voi schița o dovadă că nu se poate construi un unghi de $20^{\circ}$ folosind rigla și compasul (și deci nu se poate trisecta un unghi de $60^{\circ}$).
Nu este evident că orice număr construibil trebuie să se afle într-o extensie de câmp de această formă, dar putem oarecum vedea de ce, deoarece, date segmente de dreaptă de lungime $x$, $y$, este posibil să se construiască alte segmente de dreaptă de lungime $x+y$, $x y$ și $1/x$ folosind construcții geometrice. Mai mult, se poate construi un segment de dreaptă de lungime $\sqrt{x}$ folosind doar construcții geometrice. De fapt, puteți, de asemenea, să demonstrați că acestea sunt singurele lucruri pe care le puteți face cu ajutorul construcțiilor geometrice. (Dacă vrei să încerci, modalitatea de a demonstra acest lucru este să folosești faptul că tot ceea ce poți face cu rigle și compasuri nemarcate este să găsești intersecția dintre două drepte, ceea ce îți oferă doar operații aritmetice, să găsești intersecția dintre o dreaptă și un cerc, ceea ce îți oferă rădăcini pătrate, și intersecțiile dintre cercuri și cercuri, ceea ce îți oferă rădăcini pătrate). Puteți înțelege de ce acest lucru înseamnă că un număr dintr-o extensie de câmp construibilă (așa cum a fost definită mai sus) poate fi construit folosind doar o riglă și un compas nemarcate și că doar numerele din extensiile de câmp construibile pot fi realizate în acest mod?
În continuare, arătați că dacă aveți un polinom cubic $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$ ale cărui rădăcini nu sunt numere raționale, atunci rădăcinile nu sunt construibile? Acest lucru nu este foarte greu de demonstrat, dar necesită anumite cunoștințe dincolo de cele pe care le presupun pentru acest articol.
Iată partea inteligentă. Să presupunem că ați putea construi un unghi de $20^{\circ}$, atunci numărul $\cos(20^{\circ})$ ar fi construibil (puteți pur și simplu să aruncați o perpendiculară dintr-un punct de pe o dreaptă la $20^{\circ}$ până la orizontală, la distanța $1$ de la origine). Cu toate acestea, puteți arăta că $\alpha=\cos(20^{\circ})$ este o rădăcină a ecuației $8x^3-6x-1=0$ (dezvoltând $\cos(60^{\circ})$ în termeni de $\cos(20^{\circ})$ folosind formula adunării). Este ușor de arătat că aceasta nu are rădăcini raționale, deci rădăcinile nu sunt construibile. Aceasta înseamnă că nu am fi putut construi un unghi de $20^{\circ}$, deoarece atunci am fi putut construi $\cos(20^{\circ})$, ceea ce este imposibil. Așadar, un unghi de $60^{\circ}$ nu poate fi trisectat.
Puteți folosi metode ca aceasta pentru a demonstra alte rezultate despre ce forme pot sau nu pot fi construite și așa mai departe.
6 Lecturi suplimentare