nLab Spațiu Banach

Written by on in Articles

Ideea

Un spațiu Banach â¬\mathcal{B} este atât un spațiu vectorial (pe un câmp normat, cum ar fi â\mathbb{R}) cât și un spațiu metric complet, într-un mod compatibil. Prin urmare, un spațiu vectorial normat complet.

O sursă de spații Banach simple provine din considerarea unui spațiu cartezian â n\mathbb{R}^n (sau K nK^n unde KK este câmpul normat) cu norma:

â(x 1,â¦,x n)â pââ i=1 n|x i| pp {\|(x_1,\ldots,x_n)\|_p} \coloneqq \root p {\sum_{i = 1}^n {|x_i|^p}}

unde 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty (acest lucru nu are sens strict pentru p=âp = \infty, dar luând limita ca pââp \la \infty și citind â â=limⶠnâ nâ n\mathbb{R}^\infty = \underset{\longrightarrow}{\lim}_n \mathbb{R}^n ca limită directă (spre deosebire de limita inversă) ajungem la formula â(x 1,â¦,x n)â â ââmax i|x i|{\|(x_1,\ldots,x_n)\|_\infty} \coloneqq \max_i {|x_i|}).

Cu toate acestea, teoria acestor spații nu este mult mai complicată decât cea a spațiilor vectoriale finit-dimensionale, deoarece toate au aceeași topologie de bază. Cu toate acestea, atunci când ne uităm la exemple infinit-dimensionale, lucrurile devin mai complicate. Exemple comune sunt spațiile Lebesgue, spațiile Hilbert și spațiile de secvențe.

În literatura de specialitate, cel mai adesea se văd spații Banach pe câmpul â\mathbb{R} al numerelor reale; spațiile Banach pe câmpul â\mathbb{C} al numerelor complexe nu sunt foarte diferite, deoarece sunt, de asemenea, pe â\mathbb{R}. Dar oamenii le studiază și pe numere p-adice. Dacă nu se specifică altfel, presupunem în continuare â\mathbb{R}.

Definiții

Să fie VV un spațiu vectorial peste câmpul numerelor reale. (Se poate generaliza oarecum alegerea câmpului.) O pseudonormă (sau seminormă) pe VV este o funcție

ââââ:Vâââ {\| – \|}\colon V \la \mathbb{R}

astfel încât:

  1. â0âââ¤0 {\|0\||} \leq 0 ;
  2. ârvâ=|r|vâvâ {\|r v\||} = {|r|} {\|v\|} (pentru rr un scalar și vv un vector);
  3. âv+wâ¤âvâ+âwâ {\|v + w\||} \leq {\|v\||} + {\|w\|w\|} .

Din cele de mai sus rezultă că âvââ¥0{\|v\|||} \geq 0; în particular, â0â=0{\|0\|\||} = 0. O normă este o pseudonormă care satisface o inversă la aceasta: v=0v = 0 dacă âvâ=0{\|v\|}} = 0.

O normă pe VV este completă dacă, dată orice secvență infinită (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) astfel încât

(1)lim m,nâââââ i=m m+nv iâ=0, \lim_{m,n\to\infty} {\left\| \sum_{i=m}^{m+n} v_i \right\|} = 0 ,

există o sumă (neapărat unică) SS astfel încât

(2)lim nâââSâââ i=1 nv iâ=0; \lim_{n\to\infty} {\left\| S – \sum_{i=1}^n v_i \right\|} = 0 ;

scriem

S=â i=1 âv i S = \sum_{i=1}^\infty v_i

(cu partea dreaptă nedefinită dacă nu există o astfel de sumă).

Atunci un spațiu Banach este pur și simplu un spațiu vectorial dotat cu o normă completă. Ca și în cazul liniei reale, avem într-un spațiu Banach că

ââ i=1 âv iââ¤â i=1 ââv iâ, {\left\| \sum_{i=1}^\infty v_i \right\|} \leq \sum_{i=1}^\infty {\|v_i\|} ,

cu garanția că partea stângă există dacă partea dreaptă există ca număr real finit (dar partea stângă poate exista chiar dacă partea dreaptă diverge, distincția obișnuită între convergența absolută și cea condiționată).

Dacă nu insistăm ca spațiul să fie complet, îl numim spațiu normat (vectorial). Dacă avem un spațiu vectorial topologic astfel încât topologia provine dintr-o normă, dar nu facem o alegere efectivă a unei astfel de norme, atunci vorbim de un spațiu normabil.

Spațiile Banach ca spații metrice

Cele trei axiome pentru o pseudonormă sunt foarte asemănătoare cu cele trei axiome pentru o pseudometrie.

De fapt, în orice spațiu vectorial pseudonormat, fie distanța d(v,w)d(v,w)

d(v,w)=âwâvâ. d(v,w) = {\|w – v\|} .

Atunci dd este un pseudometru, care este invariant față de translație în sensul că

d(v+x,w+x)=d(v,w) d(v+x,w+x) = d(v,w)

este întotdeauna valabil. Invers, dat fiind orice pseudometru invariant de translație dd pe un spațiu vectorial VV, fie âvâ{\|v\|}

âvâ=d(0,v). {\|v\|v\|} = d(0,v) .

Atunci âââ{{\|-\||} satisface axiomele (1â3) pentru o pseudonormă, cu excepția faptului că poate satisface (2) numai pentru r=0,±1r = 0, \pm 1. (Cu alte cuvinte, este doar o G-pseudonormă.) Va fi de fapt o pseudonormă dacă pseudometrul satisface o regulă de omogenitate:

d(rv,rw)=|r|d(v,w). d(r v,r w) = {|r|} d(v,w) .

Astfel, pseudonormele corespund exact pseudometrelor omogene invariante de translație.

În mod similar, normele corespund metricilor omogene invariante de translație, iar normele complete corespund metricilor omogene complete invariante de translație. Într-adevăr, (1) spune că secvența sumelor parțiale este o secvență Cauchy, în timp ce (2) spune că secvența sumelor parțiale converge la SS.

Din acest motiv, un spațiu Banach poate fi definit în mod echivalent ca un spațiu vectorial echipat cu o metrică completă omogenă invariantă la translație. De fapt, se observă de obicei un fel de abordare hibridă: un spațiu Banach este un spațiu vectorial normat a cărui metrică corespunzătoare este completă.

Mapse între spații Banach

Dacă VV și WW sunt spații vectoriale pseudonormate, atunci norma unei funcții liniare f:VâWf\colon V \la W poate fi definită în oricare dintre aceste moduri echivalente:

  • âfâ=sup{âfvâ|âvâvââ¤1} {\|f\|f\|} = \sup \{ {\|f v\||}}. \;|\; {\|v\|} \leq 1 \} ;
  • âfâ=inf{r|âv,âfvââ¤râvâvâ} {\|f\} = \inf \{ r \;|\; \forall{v},\; {\|f v\||} \leq r {\|v\|} \} .

(Uneori se întâlnesc și alte forme, dar acestea se pot descompune în cazuri degenerate.)

Pentru spații cu dimensiuni finite, orice hartă liniară are o normă finită bine definită. În general, următoarele sunt echivalente:

  • ff este continuă (așa cum este măsurată de pseudometrele pe VV și WW) la 00;
  • ff este continuă (peste tot);
  • ff este uniform continuă;
  • ff este continuă Lipschitz;
  • âfâ{\|f\||} este finită (și, în matematica constructivă, situată);
  • ff este mărginită (măsurată prin bornologiile date de pseudometrii pe VV și WW).

În acest caz, spunem că ff este mărginit. Dacă nu se presupune că f:VâWf\colon V \la W nu este liniară, atunci condițiile de mai sus nu mai sunt echivalente.

Harapsele liniare delimitate de la VV la WW formează ele însele un spațiu vectorial pseudonormat â¬(V,W)\mathcal{B}(V,W). Acesta va fi un spațiu Banach dacă (și, cu excepția cazurilor degenerate ale lui VV, numai dacă) WW este un spațiu Banach. În acest fel, categoria BanBan a spațiilor Banach este o categorie închisă cu â\mathbb{R} ca unitate.

Cititorul isteț va observa că nu am definit încă Ban\mathbf{Ban} ca o categorie! (în mod surprinzător în nLab) Există multe moduri (neechivalente) de a face acest lucru.

În analiza funcțională, noțiunea uzuală de „izomorfism” pentru spațiile Banach este o hartă liniară bijectivă mărginită f:VâWf\colon V \la W astfel încât funcția inversă f â1:WâVf^{-1}\colon W \la V (care este neapărat liniară) este de asemenea mărginită. În acest caz, se pot accepta ca morfisme toate hărțile liniare delimitate între spații Banach. Analiștii se referă uneori la aceasta ca fiind „categoria izomorfă”.

O altă noțiune naturală de izomorfism este o izometrie liniară surjectivă. În acest caz, considerăm că un morfism este o hartă liniară scurtă, sau o contracție liniară: o hartă liniară ff astfel încât âfââ¤1{\|f\||} \leq 1. Această categorie, care este ceea ce teoreticienii categoriilor numesc în general Ban\mathbf{Ban}, este uneori denumită de analiști „categoria izometrică”. Rețineți că acest lucru face ca „setul subiacent” (în sensul de Ban\mathbf{Ban} ca o categorie concretă ca orice categorie închisă) al unui spațiu Banach să fie bila sa unitară (închisă)

Hom Ban(â,V)â {v|âvâvâââ¤1} Hom_Ban(\mathbb{R},V) \cong \{ v \;|\; {\|v\||}}. \leq 1 \}

mai degrabă decât ansamblul tuturor vectorilor din VV (ansamblul care stă la baza lui VV ca spațiu vectorial).

Yemon Choi: Acest lucru este într-adevăr aici pentru a-mi reaminti cum să fac cutii de interogare. Dar, dacă tot sunt aici, este chiar în regulă să ne referim la „functorul de bilă unitară” ca „luând setul de bază”? Am observat că în discuția despre hom interne la hom interne se afirmă că „Fiecare categorie închisă este o categorie concretă (reprezentată prin II), iar ansamblul subiacent al homului intern este homul extern”, ceea ce pare să necesite ca „ansamblul subiacent” să fie interpretat în acest sens mai larg.

Toby: Sigur, dar scopul de a pune „setul subiacentâ în ghilimele este tocmai acela de a sublinia că setul subiacent din teoria categoriilor nu este ceea ce ne-am aștepta în mod normal.

Mark Meckes: Iâve extins această secțiune în parte pentru a fi în concordanță cu terminologia analiștilor. Am făcut unele presupuneri despre convențiile teoreticienilor categoriilor care s-ar putea să nu fie corecte. (Dacă găsesc timp aș putea scrie despre alte categorii de spații Banach la care se gândesc analiștii.)

Toby: Mie mi se pare că arată bine!

Din perspectiva unui teoretician al categoriilor, categoria izomorfă este de fapt imaginea completă a functorului de incluziune de la BanBan la TVSTVS (categoria spațiilor vectoriale topologice), care poate fi notată Ban TVSBan_{TVS}. Dacă lucrați în Ban TVSBan_{TVS}, atunci vă interesează doar structura liniară topologică a spațiului vostru (deși vă interesează și faptul că poate fi derivată dintr-o anumită metrică); dacă lucrați în BanBan, atunci vă interesează întreaga structură a spațiului.

Exemple

Multe exemple de spații Banach sunt parametrizate printr-un exponent 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty. (Uneori se poate încerca și 0â¤p<10 \leq p \lt 1, dar în general acestea nu dau spații Banach.)

  • Spațiul cartezian â n\mathbb{R}^n este un spațiu Banach cu

    â(x 1,â¦,x n)â p=â i|x i| pp. {\|(x_1,\ldots,x_n)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}}}. .

    (Putem permite ca p=âp = \infty prin luarea unei limite; rezultatul este că âxâ â=max i|x i|{\|x\|x\|_\infty} = \max_i {|x_i|}). Orice spațiu Banach finit-dimensional este izomorf cu acesta pentru anumite nn și pp; de fapt, odată fixat nn, valoarea lui pp este irelevantă până la izomorfism.

  • Spațiul de secvențe l pl^p este ansamblul secvențelor infinite (x 1,x 2,â¦)(x_1,x_2,\ldots) de numere reale astfel încât

    â(x 1,x 2,â¦)â p=â i|x i| pp {\||(x_1,x_2,\ldots)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}}}.

    există ca număr real finit. (Singura întrebare este dacă suma converge sau nu. Din nou p=âp = \infty este o limită, cu rezultatul că âxâ â=sup i|x i|{\|x\|x\|_\infty} = \sup_i {|x_i|}). Atunci l pl^p este un spațiu Banach cu această normă. Toate acestea sunt versiuni ale lui â â â\mathbb{R}^\infty, dar ele nu mai sunt izomorfe pentru diferite valori ale lui pp. (Vezi clasele de izomorfism ale spațiilor Banach.)

  • Mai general, fie AA un ansamblu oarecare și fie l p(A)l^p(A) ansamblul funcțiilor ff din AA în â\mathbb{R} astfel încât

    âfâ p=â x:A|f(x)| pp {\|f\|f\|_p} = \root p {\sum_{x: A} {|f(x)|^p}}

    există ca număr real finit. (Din nou, âfâ â=sup x:A|f(x)|{\|f\|_\infty} = \sup_{x\colon A} {|f(x)|}.) Atunci l p(A)l^p(A) este un spațiu Banach. (Acest exemplu include exemplele anterioare, pentru AA un ansamblu numărabil.)

  • În orice spațiu de măsură XX, spațiul Lebesgue â p(X)\mathcal{L}^p(X) este ansamblul funcțiilor măsurabile cu valori reale definite aproape pretutindeni pe XX astfel încât

    âfâ p=â”|f| pp {\|f\|_p} = \root p {\int {|f|^p}}.

    există ca număr real finit. (Din nou, singura întrebare este dacă integrala converge sau nu. Și din nou p=âp = \infty este o limită, cu rezultatul că âfâ â{\|f\|_\infty} este supremul esențial al lui |f|{|f|}}). Ca atare, â p(X)\mathcal{L}^p(X) este un spațiu vectorial pseudonormat complet; dar identificăm funcții care sunt egale aproape peste tot pentru a-l transforma într-un spațiu Banach. (Acest exemplu include exemplele anterioare, pentru XX un ansamblu cu măsură de numărare.)

  • Care spațiu Hilbert este spațiu Banach; aceasta include toate exemplele de mai sus pentru p=2p = 2.

Operații asupra spațiilor Banach

Categoria BanBan a spațiilor Banach este mică completă, mică cocompletă și monoidală simetrică închisă în ceea ce privește homul său intern standard (descris la hom intern). Urmează câteva detalii.

  • Categoria spațiilor Banach admite produse mici. Dată fiind o familie mică de spații Banach {X α}. αâA\{X_\alpha\}_{\alpha \în A}, produsul său în BanBan este subspațiul produsului spațiilor vectoriale

    â αâAX α\prod_{\alpha \în A} X_\alpha

    constituit din AA-tupluri â¨x αâ©\langle x_\alpha \rangle care sunt uniform delimitate (adică, există CC astfel încât âαâA:âx αââââ¤C\pentru toate \alpha \în A: {\|x_\alpha\|} \leq C), luând cea mai mică astfel de limită superioară ca fiind norma lui â¨x αâ©\langul x_\alpha \rangul. Această normă se numește norma â\infty; în particular, produsul unei familii indexate AA de copii ale lui â\mathbb{R} sau â\mathbb{C} este ceea ce se notează în mod normal ca l â(A)l^{\infty}(A).

  • Categoria spațiilor Banach admite egalizatori. Într-adevăr, egalizatorul unei perechi de hărți f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y în BanBan este nucleul lui fâgf-g sub norma moștenită de la XX (nucleul este închis deoarece fâgf-g este continuu, și este deci complet). De fapt, orice egalizator este chiar o secțiune prin teorema Hahn-Banach. Orice monomorfism extremal este deja chiar un egalizator (și o secțiune): Fie f:XâYf\colon X \la Y un monomorfism extrem, ι:â(f)âY\iota\colon \Im(f) \la Y înglobarea lui Im(f)Im(f) în codominiul lui ff și fâ²:XâIm(f)f\prime \colon X \la Im(f) ff cu codominiu restrâns. Deoarece fâ²f\prime este un epimorfism, f=ιfâ²f=\iota f\prime, iar ff este extremă, fâ²f\prime este un izomorfism, deci ff este o înglobare.

  • Categoria spațiilor Banach admite coproduse mici. Dată fiind o familie mică de spații Banach {X α}. αâA\{X_{X_\alpha\}_{\alpha \în A}, coprodusul său în BanBan este completarea coprodusului spațiului vectorial

    ⨠αâAX αâBigoplus_{\alpha \în A} X_\alpha

    cu respectarea normei date de

    â⨠sâSx sâ=â sâSâx sâ, {\left\| \bigoplus_{s \în S} x_s \right\|} = \sum_{s \în S} {\|x_s\|} ,

    unde SâAS \subseteq A este finit și âx sâ{{\|x_s\|} reprezintă norma unui element din X sX_s. Această normă se numește norma 11; în particular, coprodusul unei familii indexate AA de copii ale lui â\mathbb{R} sau â\mathbb{C} este ceea ce se notează în mod normal ca l 1(A)l^1(A).

  • Categoria spațiilor Banach admite coeficienți. Într-adevăr, coequalizatorul unei perechi de hărți f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y este cokernelul lui fâgf-g sub norma de cvorum (în care norma unui coset y+Cy + C este norma minimă atinsă de elementele lui y+Cy + C; aici CC este imaginea (fâg)(X)(f-g)(X), care este închisă). Este standard faptul că norma de cvorum pe Y/CY/C este completă, dat fiind că norma pe YY este completă.

  • Pentru a descrie produsul tensorial Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y a două spații Banach (ceea ce face ca BanBan să fie închis monoidal simetric în raport cu homul său intern obișnuit), fie F(XÃY)F(X \times Y) spațiul vectorial liber generat de ansamblul XÃYX \times Y, cu norma pe un element tipic definită prin

    â 1â¤iâ¤na i(x iây i)â=â 1â¤iâ¤n|a i|âx iââââ ây iâ. {\left\| \sum_{1 \leq i \leq n} a_i (x_i \otimes y_i) \right\||} = \sum_{1 \leq i \leq n} {|a_i|} {\|x_i\|} \cdot {\|y_i\|}.

    Să se numească F¯(XÃY)\overline{F}(X \ ori Y) completarea sa în raport cu această normă. Apoi se ia cokernelul lui F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y) prin închiderea subspațiului cuprins de relațiile biliniare evidente. Acest coeficient este Xâ BanYX \otimes_{Ban}. Y.

În literatura de specialitate privind spațiile Banach, produsul tensorial de mai sus se numește de obicei produsul tensorial proiectiv al spațiilor Banach; vezi alt produs tensorial al spațiilor Banach. Produsul și coprodusul sunt considerate sume directe; a se vedea alte sume directe ale spațiilor Banach.

De descris:

  • duale (p+q=pqp + q = p q);
  • completare (BanBan este o subcategorie reflexivă a PsNVectPsNVect (spații vectoriale pseudo-normate)).
  • BanBan ca o categorie (ceva mai mare) cu duali.

Integrarea în spații Banach

Acest paragraf descrie unele aspecte ale teoriei integrării în spații Banach care sunt relevante pentru a înțelege literatura despre AQFT. În contextul dat, elementele unui spațiu Banach â¬\mathcal{B} se numesc uneori vectori, o funcție sau o măsură care ia valori în â¬\mathcal{B} se numesc, prin urmare, funcții vectoriale și măsuri vectoriale. Funcțiile și măsurile care iau valori în câmpul pe care este definit spațiul Banach ca spațiu vectorial se numesc funcții scalare și măsuri scalare.

Se vor considera două tipuri de integrale:

  • integrale ale funcțiilor vectoriale în raport cu o măsură scalară, în special integrala Bochner,

  • integrale ale funcțiilor scalare în raport cu o măsură vectorială, în special integrala spectrală a unui operator normal pe un spațiu Hilbert.

Integrala Bochner

Integrala Bochner este o generalizare directă a integralei Lesbegue la funcțiile care iau valori într-un spațiu Banach. Ori de câte ori întâlniți în literatura AQFT o integrală a unei funcții care ia valori într-un spațiu Banach, se poate presupune că este vorba de o integrală Bochner. Două puncte deja explicate de Wikipedia sunt de interes:

  1. O versiune a teoremei convergenței dominate este adevărată pentru integrala Bochner.
  2. Există teoreme care nu sunt valabile pentru integrala Bochner, în special teorema Radon-Nikodym nu este valabilă în general.
  • Wikipedia

referință: Joseph Diestel: âSequences and Series in Banach Spacesâ (ZMATH entry), capitolul IV.

Integrala spectrală

Integrala în raport cu măsura spectrală a unui operator normal delimitat pe un spațiu Hilbert este un exemplu de integrală a unui spațiu Banach în raport cu o măsură vectorială. În acest paragraf prezentăm un rezultat bine cunoscut, dar ceva mai puțin citat, care este de folos în unele demonstrații din unele abordări ale AQFT, este versiunea teoremei convergenței dominate pentru cadrul dat.

Să fie A un operator normal delimitat pe un spațiu Hilbert și E măsura spectrală a acestuia (ârezoluția identitățiiâ în termenii lui Dunford și Schwartz). Fie Ï(A)\sigma(A) spectrul lui A. Pentru o funcție Borel complexă mărginită f avem atunci

f(A)ââ” Ï(A)f(Δ)E(dΔ) f(A) \coloneqq \int_{\sigma(A)} f(\lambda) E(d\lambda)
Teorema (convergență dominată)

Dacă secvența uniform mărginită {f n}\{{f_n\} de funcții complexe Borel converge în fiecare punct din Ï(A)\sigma(A) la funcția ff, atunci f n(A)âf(A)f_n(A) \ la f(A) în topologia operatorului puternic.

Vezi Dunford, Schwartz II, capitolul X, corolarul 8.

Proprietăți

Relație cu spațiile bornologice

Care limită inductivă a spațiilor Banach este un spațiu vectorial bornologic. (Alpay-Salomon 13, prop. 2.3)

În sens invers, orice spațiu vectorial bornologic este o limită inductivă a spațiilor normate, și a spațiilor Banach dacă este cvasi-complet (Schaefer-Wolff 99)

  • spațiu Banach reflexiv

  • spațiu Banach proiectiv

  • spațiu analitic Banach

Numit după Stefan Banach.

  • Walter Rudin, Analiză funcțională

  • Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.: „Operatori liniari. Part I: General theory.â (ZMATH entry), âLinear operators. Part II: Spectral theory, self adjoint operators in Hilbert space.â (ZMATH entry)

  • Z. Semadeni, Spații Banach de funcții continue, vol. I, Editura științifică poloneză. Warszawa 1971

  • Daniel Alpay, Guy Salomon, On algebras which are inductive limits of Banach spaces (arXiv:1302.3372)

  • H. H. Schaefer cu M. P. Wolff, Spații vectoriale topologice, Springer 1999

categorie: analiză

.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.