Introducere

Pregătirea unui obiect, efectuarea unei măsurători asupra lui și înregistrarea rezultatului constituie o imagine simplificată a unui experiment fizic asupra obiectului. Repetarea de mai multe ori a aceleiași proceduri permite să se colecteze statistici (frecvențe relative) ale rezultatelor înregistrate. Ideea de cauzalitate statistică exprimă apoi convingerea că această statistică ar putea fi aproximată și modelată printr-o măsură de probabilitate care depinde de măsurare și de pregătire.

Această imagine simplă este adesea dată ca un fundal intuitiv în formularea teoriilor fizice probabilistice ale obiectelor, construite pe dualitatea statistică între conceptele de stări (clase de echivalență a preparatelor) și observabile (clase de echivalență a măsurătorilor) unde dualitatea este dată de o funcție de probabilitate care atribuie cu fiecare stare și fiecare observabil o măsură de probabilitate care pune în evidență probabilitățile rezultatelor măsurătorilor pentru acest observabil în acea stare.

Într-o abordare axiomatică, se urmărește introducerea unor structuri plauzibile din punct de vedere fizic pentru colecțiile tuturor stărilor (preparate) și observabilelor (măsurători) imaginabile, astfel încât să se poată determina forma funcției de probabilitate.

În această lucrare, schițăm o astfel de abordare pentru mecanica cuantică. În §2, se reamintesc pe scurt cadrul general și structurile relevante ale spațiului Hilbert. În §3, o teoremă a lui Solér este utilizată pentru a identifica structura generală ortomodulară cu una hilbertiană. Este expus rolul simetriei ascunse în această teoremă crucială. În cele din urmă, trecem în revistă câteva argumente care indică faptul că mecanica cuantică trebuie formulată într-un spațiu Hilbert complex (§4).

Structuri de bază

(a) Punct de plecare

Să fie S și O două seturi nevide, seturile tuturor stărilor și tuturor observabilelor unui sistem fizic ce urmează a fi studiat. O observabilă merge împreună cu un ansamblu nevid Ω și cu o sigma-algebră de subansambluri ale lui Ω. Lăsăm , sau doar E, să denumească o observabilă. Se consideră că setul Ω descrie rezultatele posibile ale măsurătorilor pentru observabil, în timp ce elementele σ-algebrei sunt înțelese ca seturi de testare în cadrul cărora se numără grupurile de rezultate. În majoritatea aplicațiilor, acest ansamblu este un subansamblu (deschis sau închis) al dreptei reale (sau al planului), iar σ-algebra reprezintă ansamblurile Borel corespunzătoare.

Ipoteza de bază a abordării urmate aici este următoarea: pentru fiecare stare α∈S și pentru fiecare observabil E, există o măsură de probabilitate , care dă probabilitățile rezultatelor măsurării pentru observabilul E în starea α.

Setul S de stări este în mod natural înzestrat cu o structură convexă și, ca atare, poate fi privit ca un subansamblu convex al unui spațiu vectorial real. Această structură permite să se facă distincția între stările pure, elementele extreme ale lui S, și stările mixte, elementele sale neextreme. Lăsăm ex(S) să desemneze ansamblul stărilor pure, deși, pentru început, acesta poate fi gol. Dacă α=λβ1+(1-λ)β2 este un amestec al stărilor β1,β2, cu o pondere 0≤λ≤1, atunci, prin definiția structurii convexe a lui S, p(α,E,X)=λp(β1,E,X)+(1-λ)p(β2,E,X) pentru fiecare observabil E și un set de valori . Fiecare pereche (E,X) definește astfel o funcție afină S∋α↦p(α,E,X)∈. Spunem că o funcție afină f:S→ este o funcție experimentală, sau efect, dacă f(α)=p(α,E,X) pentru o anumită pereche (E,X). Lăsăm E⊂S să denumească ansamblul tuturor funcțiilor experimentale. Evident, 0,1∈E și dacă f∈E, atunci și f⊥=1-f∈E. Ordinea naturală a funcțiilor S→ conferă lui E structura unui ansamblu parțial ordonat cu limitele universale 0,1, iar harta f↦f⊥ este un anti-automorfism involutiv. În mod evident, E nu trebuie să fie neapărat o rețea (în raport cu ≤), iar harta f↦f⊥ nu trebuie neapărat să fie o ortocomplementare. Ocazional, putem, de asemenea, să considerăm stările ca funcții pe E scriind α(f)=f(α). Acestea păstrează atât ordinea, cât și involuția.

Se pare că în formularea axiomelor pentru teorie perechea (S,E) de stări și funcții experimentale este mai ușor de manevrat decât perechea de stări și observabile. De asemenea, observăm că fiecare f∈E, împreună cu f⊥∈E, poate fi înțeleasă ca o măsurătoare da-nu (sau o observabilă cu două valori), cu f(α)=p(α,E,X) și f⊥(α)=p(α,E,X′) care dau probabilitățile pentru rezultatele da și, respectiv, nu.

(b) Cazul spațiului Hilbert

Înainte de a merge mai departe cu structura generală, să reamintim câteva aspecte bine cunoscute ale mecanicii cuantice în spațiul Hilbert. Să presupunem că ansamblul S de stări poate fi identificat cu ansamblul de operatori cu urmă unu pozitivă pe un spațiu Hilbert complex separabil . Atunci fiecare funcție experimentală f se extinde la o funcție liniară pozitivă pe , clasa de urme autoadjunctă. Prin urmare, pentru orice f, există un unic operator pozitiv pozitiv mărginit unitar 0≤E≤I astfel încât f(α)=tr pentru toți α∈S. Fie (E,X) o pereche pentru care f(α)=p(α,E,X)=tr. Cum, pentru orice α, harta X↦p(α,E,X) este o măsură de probabilitate, concluzionăm că observabilul E este o măsură operator pozitivă normalizată . Aici este firesc să presupunem că ansamblul E al tuturor funcțiilor experimentale se identifică cu întregul ansamblu de operatori de efect, operatori limitați unitar pozitiv pe .

Să presupunem în continuare că ansamblul funcțiilor experimentale E coincide cu rețeaua de proiecție a lui . În acest caz, orice stare poate fi privită ca o măsură de probabilitate pe . Prin teorema lui Gleason, dacă orice măsură de probabilitate pe provine dintr-un operator unic pozitiv de urmă unu și avem din nou formula de urmă pentru probabilități: pentru orice , P(α)=α(P)=tr, unde starea α se identifică cu elementul din dat de teorema lui Gleason. În această abordare, este firesc să presupunem că ansamblul S de stări coincide cu ansamblul tuturor măsurilor de probabilitate pe și deci , astfel încât observabilele pot fi identificate cu măsurile cu valoare de proiecție normalizată .

Se poate porni și de la ipoteza că setul E de funcții experimentale se identifică cu întregul set de operatori de efect. Atunci, din nou, orice stare, atunci când este restrânsă la subansamblul său , poate fi identificată cu un element din , formula urmei dând probabilitățile.

În cele din urmă, se poate presupune că și că orice stare α:E→ nu numai că păstrează ordinea și involuția, dar este și parțial aditivă (adică, pentru toate , dacă , atunci α(A+B)=α(A)+α(B)) și are următoarea proprietate de continuitate: dacă (Ai)i∈I este o rețea crescătoare în , atunci . Atunci, din nou, fără a utiliza teorema lui Gleason, fiecare stare α poate fi identificată cu un element unic din și α(E)=tr.

(c) Cazul ortomodular

(i) Structura generală

Într-o abordare axiomatică bazată pe dualitatea statistică (S,E), strategia este de a pune ipoteze fizic plauzibile privind posibilitățile de pregătire și măsurători. Atât abordarea Mackey (logică cuantică), cât și abordarea Davies-Lewis (convexitate) au acest fundal comun.

Pentru preparate, o ipoteză tipică se referă la existența unui set suficient de mare de stări pure (stări de informație maximă), de exemplu, în sensul că acest set este suficient de mare pentru a determina ordinea funcțiilor experimentale. O altă ipoteză obișnuită este aceea că stările pure pot fi nu numai pregătite, ci și identificate cu măsurători adecvate de tip da-nu. Această ipoteză împletește deja seturile de stări și funcțiile experimentale, măsurătorile da-nu, dincolo de dualitate. Alte ipoteze privind structura ansamblului E sunt de obicei formulate ca o cerință pentru existența unui subansamblu suficient de mare L⊂E de măsurători da-nu care se califică drept măsurători ideale, de primă clasă și repetabile.

De la lucrările de pionierat ale lui Mackey și Davies & Lewis & , tipurile de argumente de mai sus au fost studiate pe larg în literatura de specialitate; a se vedea, de exemplu, monografiile sau studiul nostru recent . Nu repetăm aceste argumente, ci doar enunțăm rezultatul final bine cunoscut:

• (a) Există un subansamblu L⊂E de efecte, numite propoziții sau efecte ascuțite, care are o structură L=(L,≤,⊥,0,1) a unei rețele complete parțial ordonate, ortocomplementate, ortomodulare, cu limitele universale 0 și 1, care este atomistă, separabilă, are proprietatea de acoperire și este ireductibilă.

• (b) Ansamblul S de stări poate fi privit ca un ansamblu σ-convex de măsuri de probabilitate pe L, care are un ansamblu suficient ex(S) de stări pure: pentru orice a,b∈L, a≤b dacă α(a)≤α(b) pentru orice α∈ex(S).

• (c) Există o corespondență bijectivă între ansamblurile ex(S), stările pure ale lui S, și At(L), atomii lui L, dată de proiecția suport α↦s(α), cu s(α) fiind cel mai mic element pentru care α(b)=1,b∈L.

Comentăm aici doar cele două proprietăți, poate, cele mai tehnice în aparență: separabilitatea și ireductibilitatea. Orice observabil E ale cărui funcții experimentale asociate sunt propoziții (sau efecte ascuțite) poate fi văzut ca un σ-homomorfism , domeniul fiind o subσ-algebră booleană a lui L. Separabilitatea lui L implică faptul că orice subσ-algebră booleană a lui L poate fi văzută ca un domeniu al unui observabil cu spațiul valorilor reale . Ireductibilitatea lui L arată că dualitatea (S,E) descrie un obiect cuantic propriu-zis. Într-adevăr, această proprietate rezultă, de exemplu, din ipoteza că pentru orice două stări pure α,β∈ex(S), α≠β, există o a treia γ∈ex(S), α≠γ≠β, care este superpoziția lor (de ex. în sensul că suportul lui γ este conținut în alăturarea suporturilor lui α și β).

Harta ⊥, atunci când este restrânsă la L, este, într-adevăr, o ortocomplementare și face ca L să fie ortomodulară; adică, pentru orice a,b∈L, dacă a≤b, atunci b=a∨(a∧b⊥). Reamintim că se spune că a și b sunt ortogonale între ele, a⊥b, dacă a≤b⊥. Aceste structuri sunt cele care permit definirea măsurilor de probabilitate pe L. Fie ca Prob(L) să denumească ansamblul tuturor măsurilor de probabilitate pe L; adică toate hărțile μ:L→ pentru care pentru orice secvență de elemente ortogonale pe perechi ai∈L. Prin itemul (b), setul S de stări este un subansamblu sigma-convex al Prob(L) și, prin (c), stările pure sunt în corespondență unu-la-unu onto cu atomii din L. Deși evident, subliniem că setul de stări poate fi un subansamblu propriu-zis al tuturor măsurilor de probabilitate pe L.

Se știe că setul L de propoziții cu proprietățile de la itemul (a) de mai sus admite o coordonare în spațiu vectorial.

(ii) Realizarea spațiului ortomodular

Să fie (V,K,*,f) un spațiu hermitian, adică V este un spațiu vectorial (stâng) peste un inel de diviziune K, harta K∋λ↦λ*∈K este un anti-automorfism involutiv, iar harta V ×V ∋(u,v)↦f(u,v)∈K este o formă hermitiană (nesingulară).

Un subspațiu M⊂V se spune că este f-închis dacă M=M⊥⊥, unde

Asamblul Lf(V) al tuturor subspațiilor f-închise ale lui V formează o rețea ortocomplementată completă ireductibilă cu privire la includerea subsetului ⊆ și la harta M↦M⊥. Ea este, de asemenea, atomistă și are proprietatea de acoperire. Ea conține toate subspațiile finit-dimensionale, iar subspațiile unidimensionale ={λv | λ∈K},v≠0, sunt atomi ai Lf(V). Se știe că rețeaua Lf(V) este ortomodulară exact atunci când spațiul (V,K,*,f) este ortomodular ; adică, dacă pentru orice M∈Lf(V),

Afirmația inversă este o colecție de rezultate fundamentale din geometria proiectivă. Demonstrații detaliate sunt date în cărțile lui Varadarajan și Maeda & Maeda . Acest rezultat presupune că lungimea rețelei L, adică lungimea unui lanț maxim în L, este de cel puțin 4, ceea ce înseamnă că spațiul vectorial V este cel puțin tridimensional.

Teorema 2.1

Dacă lungimea luieste de cel puțin 4, atunci există un spațiu ortomodular (V,K,*,f) astfel încât rețeauade subspații f-închise ale lui V este orto-izomorfă cu, pe scurt,.

Setul S de stări poate fi identificat acum ca un subset al tuturor măsurilor de probabilitate pe Lf(V), adică S⊂Prob(Lf(V)); fiecare α∈S are suportul său s(α)∈Lf(V) și fiecare M∈Lf(V) este un suport al unor α∈S. Mai mult, stările pure α∈ex(S) sunt în corespondență unu la unu pe onto cu atomii ∈Lf(V) și sunt determinate în mod unic de valorile lor pe atomi, adică de numerele α()∈. În mod evident, dacă (V,K,*,f) este un spațiu ortomodular clasic, adică un spațiu Hilbert peste atunci f este produs interior și prin teorema lui Gleason

pentru orice v′∈,v′≠0,u′∈,u′≠0. În acest caz, ansamblul Prob(Lf(V)) al tuturor măsurilor de probabilitate pe Lf(V) coincide cu ansamblul stărilor S ale obiectului, deoarece acum.

Structurile generale de mai sus privind perechea (S,L), L⊂E, implică faptul că spațiul vectorial ortomodular V trebuie să admită un ansamblu bogat de măsuri de probabilitate pe Lf(V). În cazul finit-dimensional, acest lucru nu este suficient pentru ca spațiul să devină un spațiu Hilbert. Într-adevăr, dacă , , , cu harta identitate ca involuție , atunci este un spațiu ortomodular. Ansamblul este ansamblul tuturor subspațiilor lui și pentru fiecare dintre ele formula de mai sus definește o măsură de probabilitate pe . Dacă desemnează coca σ-convexă a tuturor acestor măsuri de probabilitate pe , atunci perechea are în comun toate proprietățile enumerate la punctele (a)-(c) de mai sus, deși nu este un spațiu Hilbert. În acest caz, este un subansamblu propriu al . (Pentru detalii, vezi .) Există, de asemenea, spații ortomodulare infinit-dimensionale care nu sunt spații Hilbert, dar care admit seturi bogate de măsuri de probabilitate . Cu toate acestea, este încă o întrebare deschisă dacă un spațiu ortomodular infinit-dimensional, cu proprietățile (b) și (c), trebuie sau nu să fie un spațiu Hilbert.

O teoremă a lui Solér caracterizează spațiile Hilbert dintre spațiile ortomodulare infinit-dimensionale cu o proprietate care este, cel puțin parțial, deschisă unei justificări operaționale. Ne ocupăm în continuare de această chestiune.

Teorema lui Solér și simetria

(a) Teorema lui Solér

Considerăm din nou dualitatea statistică (S,E) cu proprietățile (a)-(c) din §2c(i). Prin separabilitatea lui L, orice familie de elemente reciproc ortogonale din L este cel mult infinită numeric. Este firesc să se presupună că există astfel de secvențe numeric infinite; de exemplu, în cazul cel mai natural în care obiectul fizic care urmează să fie considerat poate fi localizat într-un spațiu euclidian, această condiție este garantată. Astfel, presupunem că există cel puțin o secvență infinită de atomi reciproc ortogonali în L. În acest caz, spațiul ortomodular (V,K,*,f) asociat cu L este infinit dimensional și există cel puțin o secvență infinită de vectori (non-zero) (ei)⊂V care este ortogonală; adică, f(ei,ej)=0 pentru toți i≠j. Teorema lui Solér caracterizează spațiile Hilbert dintre astfel de spații ortomodulare.

Teorema 3.1

Să fie (V,K,*,f) un spațiu ortomodular infinit-dimensional. Dacă există o secvență ortogonală infinităcu proprietatea

3.1

atunci K este(numere reale),(numere complexe) sau(quaternioni), iar (V,K,*,f) este spațiul Hilbert corespunzător. Pentru, involuția * este harta identitate; pentru, este conjugarea complexă; iar pentru, este conjugarea quaternionică.

Condiția suplimentară de „normă” (3.1) pare destul de nevinovată, dar este de fapt o condiție foarte puternică, după cum se poate înțelege din lucrările lui Keller . Deși această proprietate este exprimată în termenii formei f și nu este direct legată de proprietățile dualității, ea are o legătură cu aceasta prin intermediul teoriei simetriei.

(b) Simetrie

Există mai multe formulări naturale ale noțiunii de simetrie în mecanica cuantică și toate se dovedesc a fi echivalente (de exemplu ). Acest lucru rămâne valabil și pentru dualitățile statistice cu proprietățile (a)-(c) din §2c(i). În vederea aplicării teoriei simetriei în contextul teoremei 3.1, adoptăm următoarea definiție a noțiunii de simetrie: o simetrie este o corespondență bijectivă ℓ:At(L)→At(L) care este astfel încât, pentru orice p,q∈At(L), atomii p și q sunt reciproc ortogonali dacă și numai dacă imaginile lor ℓ(p) și ℓ(q) sunt astfel. Reamintim că pentru Lf(V), atomii și sunt ortogonali exact atunci când f(v′,u′)=0 pentru unii și, deci, toți vectorii v′∈, u′∈ care nu sunt zero. Deoarece atomii și stările pure sunt în corespondență unu la unu pe onto, putem la fel de bine să considerăm o simetrie ca o bijecție pe ex(S), înțelegând că ortogonalitatea reciprocă a stărilor pure înseamnă ortogonalitatea reciprocă a atomilor corespunzători, suporturile stărilor pure.

Ca și în teoria spațiilor Hilbert, orice simetrie ℓ poate fi implementată printr-o hartă S care acționează asupra spațiului vectorial de bază V . Într-adevăr, extinzând o simetrie ℓ:At(L)→At(L) la o proiectivitate a (V,K,*,f), adică o bijecție care păstrează ordinea pe rețeaua tuturor subspațiilor lui V (de exemplu ), prima teoremă fundamentală de reprezentare a geometriei proiective împreună cu versiunea infinit-dimensională a teoremei Birkhoff-von Neumann dau următorul rezultat.

Teorema 3.2

Pentru orice simetrie, există o hartă bijectivă g-liniară ortogonală conservatoare de ortogonalitate S:V →V astfel încât, pentru orice v∈V , v≠0, ℓ()={Sv′ | v′∈}. Dacă T este o altă hartă h-liniară bijectivă V →V care induce aceeași simetrie, atunci există un λ∈K astfel încât Sv=λTv pentru orice v∈V . Mai mult, există un ρ∈Cent(K), ρ≠0, ρ=ρ*, astfel încât

3.2

pentru toți u,v∈V .

Reamintim că noțiunea de hartă g-liniară S:V →V înseamnă că S este aditivă pe V, g:K→K este un izomorfism și S(λv)=g(λ)Sv pentru toți v∈V,λ∈K.

Lemma 3.3

Să fie , doi atomi oarecare reciproc ortogonali înLf(V). Dacă există vectorix′∈ șiy′∈ nezero astfel încât

atunci există o simetrie ℓ care schimbă atomii și , adică ℓ()= și ℓ()= și are ca punct fix o suprapunere a acestora, adică există un atom ≤∨ astfel încât ℓ()=.

Această lemă, demonstrată în , sugerează că, pentru ca o dualitate statistică (S,E) cu proprietățile (a)-(c) din §2c(i) să aibă o realizare în spațiul Hilbert, setul de simetrii trebuie să fie suficient de bogat. Merită subliniat faptul că noțiunea de suprapunere de stări pure, care se află și la baza ireductibilității lui L, joacă un rol în această lemă. Mai mult, este interesant de amintit că un obiect cuantic este elementar în raport cu un grup de simetrie G dacă există un omomorfism de grup definit pe G și care ia valori în ansamblul Sym(L) al tuturor simetriilor lui At(L) astfel încât pentru orice stare pură α∈ex(S) ansamblul {ℓg(α) | g∈G} este complet în sensul superpozițiilor, adică orice altă stare pură β∈ex(S) poate fi exprimată ca o suprapunere a unor stări pure ℓg(α), g∈G .

Să presupunem acum că pentru oricare doi atomi ortogonali între ei și există o simetrie ℓ astfel încât ℓ()= și ℓ()= pentru un oarecare ≤∨. Fie S,g,ρ o triplă care implementează ℓ în conformitate cu teorema 3.2. Pentru orice y′∈, există un x′∈ astfel încât Sx′=y′. Atunci, f(y′,y′)=f(Sx′,Sx′)=g(ρ)g(f(x′,x′)). Presupunând că forma f este astfel încât, pentru fiecare v∈V, numărul f(v,v) este un element comutativ al lui K, adică f(v,v)∈Cent(K), atunci, pentru orice z′∈, Sz′=λz′ pentru un oarecare λ∈K, și astfel λλ*f(z′,z′)=f(λz′,λz′)=g(ρ)g(f(z′,z′)). Această ecuație dă g(ρ)=λλ* cu condiția ca g(f(f(z′,z′))=f(z′,z′). Atunci și f(y′,y′)=f(λx′,λx′), ceea ce este necesar în teorema 3.

Observațiile de mai sus arată că dacă setul de simetrii este suficient de abundent în sensul că pentru fiecare pereche de atomi ortogonali există o simetrie care schimbă atomii și păstrează o suprapunere a acestora ca punct fix și dacă forma f este suficient de regulată în sensul că pentru fiecare v∈V , f(v,v)∈Cent(K) și g(f(v,v))=f(v,v) pentru orice automorfism g al lui K, atunci sunt îndeplinite condițiile teoremei lui Solér și, prin urmare, spațiul ortomodular infinit-dimensional (V,f,*,K) care modelează o dualitate statistică (S,E), cu proprietățile (a)-(c) din §2c(i), este un spațiu Hilbert peste sau .

Concludem că, până la problema regularității formei, necesitatea unei realizări în spațiu Hilbert infinit-dimensional a dualității statistice (S,E) a unui sistem cuantic este bine înțeleasă.

Cazul pentru

Ne rămâne problema alegerii câmpului numeric. Nu suntem în măsură să dăm un răspuns definitiv la această întrebare, dar dorim să subliniem câteva rezultate, în esență bine cunoscute, care, luate împreună, susțin alegerea câmpului complex ca fiind cel pentru mecanica cuantică.

Este bine cunoscut faptul că structurile de bază ale mecanicii cuantice sunt la fel de valabile în fiecare dintre cele trei cazuri ale unui spațiu Hilbert infinit-dimensional peste sau . Prin teorema lui Gleason , teorema 4.23, stările sistemului pot fi identificate cu operatorii pozitivi de urmă unitară, iar observabilele ca măsuri normalizate ale operatorilor pozitivi , cu formula de urmă tr care dă probabilitățile rezultatelor măsurătorilor. Mai mult, observabilele ascuțite (cu valoare de proiecție) sunt în corespondență unu la unu pe onto cu operatorii autoadjuncți , teorema 4.11; pentru un studiu sistematic al teoriei operatorilor în spațiile Hilbert quaternionice (de exemplu, ). În plus, cu teorema lui Solér, teorema 3.2 se reduce la teorema lui Wigner , teorema 4.29.

Este la fel de bine cunoscut faptul că cele trei cazuri prezintă unele diferențe remarcabile. Numai în cazul complex, în care grupurilor unparametrice unitare le corespund, prin teorema lui Stone, operatorii autoadjuncți A care acționează în . În cazurile reale și cuaternionice, acest lucru implică schimbări importante în structura observabilelor definite în funcție de proprietățile lor de simetrie caracteristică (de exemplu , cap. 22, , cap. 18, ). Reamintim, de asemenea, că există transformări de simetrie care pot fi realizate numai în cazul complex (de exemplu, ). Mai mult, derivabilitatea relațiilor de incertitudine de pregătire de tip Heisenberg-Kennard-Robertson și operația de inversare a timpului par să necesite numere complexe (de exemplu, p. 66, , , , p. 47-49). În special, se pare că o interpretare sistematică a mecanicii cuantice într-un spațiu Hilbert real necesită efectiv încorporarea acestuia într-unul complex. Prin urmare, deși nu este o necesitate logică, s-ar putea aplica briciul lui Occam pentru a lăsa deoparte cazul real ca fiind o complicație inutilă în comparație cu formularea mecanicii cuantice într-un spațiu Hilbert complex.

Cum rămâne cu quaternionii? Având în vedere ampla monografie a lui Adler, Quaternionic Quantum Mechanics and Quantum Fields , s-ar putea considera că este deplasat să punem la îndoială această posibilitate. Cu toate acestea, din punct de vedere matematic și, de asemenea, în acord cu , s-ar putea sublinia faptul că majoritatea rezultatelor importante ale teoriei operatorilor în spațiile Hilbert cuaternionice sunt obținute printr-o reducere la cazul complex folosind tehnica „feliei”, așa cum este aplicată, de exemplu, în . Prin urmare, ca și în cazul real, lama lui Occam ar putea fi folosită pentru a exclude quaternionii. Cu toate acestea, există o problemă fundamentală cu mecanica cuantică quaternionică, și anume problema sistemelor compuse. Vom discuta pe scurt acest punct în cele ce urmează.

Teoria sistemelor compuse este una dintre cele mai esențiale părți ale mecanicii cuantice, atât din punct de vedere fundațional, cât și din punct de vedere practic. Prin urmare, fie (S,L,E), (S1,L1,E1) și (S2,L2,E2) descrierile statistice a trei sisteme cuantice propriu-zise și, respectiv, , și fie , , i=1,2, dau realizările lor în spațiul Hilbert, cu K,Ki fiind una dintre sau în fiecare caz.

Să presupunem că este o compoziție din și ; adică și sunt subsisteme ale și este compusă din ele și din nimic altceva. Această idee conduce la unele cerințe evidente privind descrierile statistice ale celor trei sisteme (de exemplu , cap. 24). În special, trebuie să existe morfisme injective unitale (hărți de recunoaștere) hi:Li→L astfel încât pentru fiecare a1∈L1,a2∈L2, propozițiile h1(a1),h2(a2)∈L să fie compatibile (măsurabile în comun), iar pentru orice doi atomi (stări pure) p1∈At(L1) și p2∈At(L2), h1(p1)∧h2(p2) să fie un atom (stări pure) din L.

Analogic cu teorema 3.2, se poate arăta că harta

poate fi, în contextul de față, implementată printr-o hartă (g1,g2)-biliniarăastfel încât

(vezi , teorema 2.22, sau , teorema 9 și , teorema 24.4.1). În particular, rezultă că morfismele gi:Ki→KK comută cu involuțiile respective, adică, pentru fiecare λi∈Ki, precum și între ele, adică g1(λ1)g2(λ2)=g2(λ2)g1(λ1) pentru toate λi∈Ki.

Considerăm acum cazul cuaternionic; adică să presupunem că (și deci și ). Deoarece orice automorfism al lui este interior, se are acum că ambii gi sunt de forma pentru o anumită . Dar nu există nici o , cu |c1|=|c2|=1, pentru care

poate fi valabilă pentru toate. Acest lucru ne conduce la concluzia că mecanica cuantică pe spații Hilbert quaternionice este incapabilă să descrie sistemele compuse așa cum sunt formalizate în termenii hărților de recunoaștere descrise mai sus. Evident, acest rezultat, datorat lui , este legat de problema produsului tensorial al spațiilor Hilbert cuaternionice (de exemplu ).

Pe de altă parte, dacă , atunci și , teorema 12, caz în care funcțiile g1,g2 sunt fie identitatea, fie conjugările complexe. Cele patru cazuri (g1,g2) conduc la cele patru soluții de produs tensorial: , , și , fiind spațiul dual al (vezi sau , cap. 24). Deși spațiile Hilbert subiacente sunt izomorfe doar în perechile și , logicele (rețelele de proiecție) sunt izomorfe în fiecare caz. Prin urmare, le considerăm ca fiind echivalente și alegem să folosim , celelalte opțiuni apărând astfel mai degrabă ca niște complicații inutile.

Concluzie

Utilizând cadrul general al teoriilor fizice probabiliste, se pot pune ipoteze fizic plauzibile cu privire la posibilitățile de pregătiri și măsurători asupra unui sistem fizic, astfel încât teoria rezultată să ia, în esență, forma mecanicii cuantice pe un spațiu Hilbert infinitezimal pe numerele reale, pe numerele complexe sau pe quaternioni. În fiecare caz, trăsăturile de bază ale mecanicii cuantice rămân valabile: stările ca operatori cu o urmă pozitivă, observabilele ca măsuri de operatori pozitivi normalizați și regula lui Born (formula urmei) care dă probabilitățile rezultatelor măsurătorilor. Cu toate acestea, în cazurile reale și cuaternionice, definirea observabilelor concrete în funcție de proprietățile lor naturale de simetrie devine o problemă delicată. Aceste complicații pot fi oricum tratate, în cazul real prin înglobarea spațiului Hilbert real într-unul complex, iar în cazul cuaternionic prin reducerea teoriei la teoria complexă. Prin urmare, se pare că ambele opțiuni implică doar complicații inutile în comparație cu teoria complexă. Mai mult, mecanica cuantică quaternionică suferă de faptul că nu poate descrie sistemele compuse.

Accesibilitatea datelor

Acest articol nu conține date suplimentare.

Contribuțiile autorilor

Acest articol este un produs secundar al unei colaborări pe termen lung între autori. Autorii au contribuții egale, reciproc împletite.

Interesele concurente

Declarăm că nu avem interese concurente.

Finanțare

Nu am primit nicio finanțare pentru acest studiu.

Note de subsol

O contribuție din 15 la un număr tematic „Second quantum revolution: foundational questions”.

Dedicăm acest articol profesorului Maciej Ma̧czynski cu ocazia împlinirii vârstei de 80 de ani.