Electrodinamica cuanticăEdit
Până la apariția mecanicii cuantice, singurul exemplu bine cunoscut de simetrie gauge era în electromagnetism, iar semnificația generală a conceptului nu era pe deplin înțeleasă. De exemplu, nu era clar dacă mărimile fundamentale erau câmpurile E și B sau potențialele V și A; dacă erau primele, atunci transformările gauge puteau fi considerate doar un truc matematic.
Experimentul Aharonov-BohmEdit
Difuzie cu fantă dublă și model de interferență
În mecanica cuantică, o particulă, cum ar fi un electron, este descrisă și ca o undă. De exemplu, dacă experimentul cu două fante este realizat cu electroni, atunci se observă un model de interferență asemănător unei unde. Electronul are cea mai mare probabilitate de a fi detectat în locațiile în care părțile de undă care trec prin cele două fante sunt în fază una cu cealaltă, rezultând o interferență constructivă. Frecvența undei electronice este legată de energia cinetică a unei particule individuale de electron prin intermediul relației cuantico-mecanice E = hf. Dacă în acest experiment nu sunt prezente câmpuri electrice sau magnetice, atunci energia electronului este constantă și, de exemplu, va exista o probabilitate mare de a detecta electronul de-a lungul axei centrale a experimentului, unde, prin simetrie, cele două părți ale undei sunt în fază.
Dar să presupunem acum că electronii din experiment sunt supuși unor câmpuri electrice sau magnetice. De exemplu, dacă un câmp electric ar fi impus pe o parte a axei, dar nu și pe cealaltă, rezultatele experimentului ar fi afectate. Partea undei electronice care trece prin acea parte oscilează cu o viteză diferită, deoarece energiei sale i s-a adăugat -eV, unde -e este sarcina electronului și V potențialul electric. Rezultatele experimentului vor fi diferite, deoarece relațiile de fază dintre cele două părți ale undei electronice s-au schimbat și, prin urmare, locațiile interferențelor constructive și distructive vor fi deplasate într-o parte sau alta. Aici apare potențialul electric, nu câmpul electric, iar aceasta este o manifestare a faptului că potențialele și nu câmpurile sunt cele care au o importanță fundamentală în mecanica cuantică.
Schema experimentului cu două fante în care se poate observa efectul Aharonov-Bohm: electronii trec prin două fante, interferând la un ecran de observare, modelul de interferență fiind deplasat atunci când un câmp magnetic B este activat în solenoidul cilindric, marcat cu albastru pe diagramă.
Explicație cu potențialeEdit
Este posibil chiar să existe cazuri în care rezultatele unui experiment diferă atunci când se schimbă potențialele, chiar dacă nicio particulă încărcată nu este expusă vreodată la un câmp diferit. Un astfel de exemplu este efectul Aharonov-Bohm, prezentat în figură. În acest exemplu, pornirea solenoidului determină doar existența unui câmp magnetic B în interiorul solenoidului. Dar solenoidul a fost poziționat astfel încât electronul nu are cum să treacă prin interiorul său. Dacă cineva ar crede că câmpurile sunt mărimile fundamentale, atunci s-ar aștepta ca rezultatele experimentului să rămână neschimbate. În realitate, rezultatele sunt diferite, deoarece pornirea solenoidului a schimbat potențialul vectorial A în regiunea prin care electronii trec. Acum că s-a stabilit că potențialele V și A sunt cele fundamentale, și nu câmpurile E și B, putem vedea că transformările de gabarit, care schimbă V și A, au o semnificație fizică reală, în loc să fie simple artefacte matematice.
Invarianța de gabarit: rezultatele experimentelor sunt independente de alegerea gabaritului pentru potențialeEdit
Rețineți că, în aceste experimente, singura mărime care afectează rezultatul este diferența de fază dintre cele două părți ale undei electronice. Să presupunem că ne imaginăm cele două părți ale undei electronice ca pe niște ceasuri minuscule, fiecare cu o singură manetă care se învârte în cerc, urmărindu-și propria fază. Deși această caricatură ignoră unele detalii tehnice, ea reține fenomenele fizice care sunt importante aici. Dacă ambele ceasuri sunt accelerate cu aceeași viteză, relația de fază dintre ele rămâne neschimbată, iar rezultatele experimentelor sunt aceleași. Nu numai atât, dar nici măcar nu este necesar să se modifice viteza fiecărui ceas cu o cantitate fixă. Am putea modifica unghiul acelor de pe fiecare ceas cu o valoare variabilă θ, unde θ ar putea depinde atât de poziția în spațiu, cât și de timp. Acest lucru nu ar avea niciun efect asupra rezultatului experimentului, deoarece observarea finală a locației electronului are loc într-un singur loc și la un singur moment, astfel încât defazajul în „ceasul” fiecărui electron ar fi același, iar cele două efecte s-ar anula. Acesta este un alt exemplu de transformare gauge: este locală și nu modifică rezultatele experimentelor.
RezumatEdit
În rezumat, simetria gauge își atinge întreaga importanță în contextul mecanicii cuantice. În aplicarea mecanicii cuantice la electromagnetism, adică în electrodinamica cuantică, simetria gauge se aplică atât undelor electromagnetice, cât și undelor electronice. Aceste două simetrii gauge sunt, de fapt, strâns legate între ele. Dacă se aplică o transformare gauge θ undelor electronice, de exemplu, atunci trebuie să se aplice o transformare corespunzătoare și potențialelor care descriu undele electromagnetice. Simetria gauge este necesară pentru a face din electrodinamica cuantică o teorie renormalizabilă, adică, una în care predicțiile calculate ale tuturor mărimilor măsurabile fizic sunt finite.
Tipuri de simetrii gaugeEdit
Descrierea electronilor din subsecțiunea de mai sus ca fiind niște mici ceasuri este, de fapt, o declarație a regulilor matematice conform cărora trebuie adăugate și scăzute fazele electronilor: acestea trebuie tratate ca numere obișnuite, cu excepția faptului că, în cazul în care rezultatul calculului iese din intervalul 0≤θ<360°, îl forțăm să se „înfășoare” în intervalul permis, care acoperă un cerc. Un alt mod de a spune acest lucru este că un unghi de fază de, să zicem, 5° este considerat a fi complet echivalent cu un unghi de 365°. Experimentele au verificat această afirmație testabilă despre modelele de interferență formate de undele electronice. Cu excepția proprietății de „înfășurare”, proprietățile algebrice ale acestei structuri matematice sunt exact aceleași cu cele ale numerelor reale obișnuite.
În terminologia matematică, fazele electronilor formează un grup abelian sub adiție, numit grupul cercului sau U(1). „Abelian” înseamnă că adunarea comută, astfel încât θ + φ = φ + θ. Grup înseamnă că adunarea se asociază și are un element identitar, și anume „0”. De asemenea, pentru fiecare fază există un invers astfel încât suma unei faze și a inversului său să fie 0. Alte exemple de grupuri abeliene sunt numerele întregi sub adiție, 0 și negație și fracțiile nenule sub produs, 1 și reciproca.
Fixarea de gabarit a unui cilindru răsucit.
Ca o modalitate de a vizualiza alegerea unui gabarit, să ne gândim dacă este posibil să ne dăm seama dacă un cilindru a fost răsucit. Dacă cilindrul nu are lovituri, semne sau zgârieturi pe el, nu ne putem da seama. Am putea, totuși, să desenăm o curbă arbitrară de-a lungul cilindrului, definită de o anumită funcție θ(x), unde x măsoară distanța de-a lungul axei cilindrului. Odată ce s-a făcut această alegere arbitrară (alegerea gabaritului), devine posibil să o detectăm dacă cineva răsucește ulterior cilindrul.
În 1954, Chen Ning Yang și Robert Mills au propus generalizarea acestor idei la grupurile necomutative. Un grup gauge noncomutativ poate descrie un câmp care, spre deosebire de câmpul electromagnetic, interacționează cu el însuși. De exemplu, relativitatea generală afirmă că câmpurile gravitaționale au energie, iar relativitatea specială concluzionează că energia este echivalentă cu masa. Prin urmare, un câmp gravitațional induce un alt câmp gravitațional. Forțele nucleare au, de asemenea, această proprietate de auto-interacțiune.
Bosoni gaugeEdit
În mod surprinzător, simetria gauge poate oferi o explicație mai profundă pentru existența interacțiunilor, cum ar fi interacțiunile electrice și nucleare. Acest lucru rezultă dintr-un tip de simetrie gauge legată de faptul că toate particulele de un anumit tip sunt imposibil de distins din punct de vedere experimental unele de altele. Imaginați-vă că Alice și Betty sunt gemene identice, etichetate la naștere cu brățări pe care scrie A și B. Deoarece fetele sunt identice, nimeni nu ar putea spune dacă ar fi fost schimbate la naștere; etichetele A și B sunt arbitrare și pot fi schimbate între ele. O astfel de interschimbare permanentă a identităților lor este ca o simetrie gauge globală. Există, de asemenea, o simetrie gauge locală corespunzătoare, care descrie faptul că, de la un moment dat, Alice și Betty ar putea schimba rolurile în timp ce nimeni nu se uită și nimeni nu și-ar putea da seama. Dacă observăm că vaza preferată a mamei este spartă, putem doar să deducem că vina aparține unui geamăn sau altuia, dar nu putem spune dacă vina este 100% a lui Alice și 0% a lui Betty sau invers. Dacă Alice și Betty sunt, de fapt, particule de mecanică cuantică și nu persoane, atunci ele au, de asemenea, proprietăți ondulatorii, inclusiv proprietatea de superpoziție, care permite ca undele să fie adăugate, scăzute și amestecate în mod arbitrar. Rezultă că nu ne limităm nici măcar la schimburi complete de identitate. De exemplu, dacă observăm că o anumită cantitate de energie există într-o anumită locație din spațiu, nu există niciun experiment care să ne poată spune dacă acea energie este 100% A și 0% B, 0% A și 100% B, sau 20% A și 80% B, sau un alt amestec. Faptul că simetria este locală înseamnă că nici măcar nu ne putem baza pe faptul că aceste proporții vor rămâne fixe pe măsură ce particulele se propagă în spațiu. Detaliile modului în care acest lucru este reprezentat matematic depind de aspecte tehnice legate de spinii particulelor, dar pentru scopurile noastre actuale luăm în considerare o particulă fără spini, pentru care se pare că amestecul poate fi specificat printr-o anumită alegere arbitrară a ecartamentului θ(x), unde un unghi θ = 0° reprezintă 100% A și 0% B, θ = 90° înseamnă 0% A și 100% B, iar unghiurile intermediare reprezintă amestecuri.
Conform principiilor mecanicii cuantice, particulele nu au de fapt traiectorii prin spațiu. Mișcarea poate fi descrisă doar în termeni de unde, iar momentul p al unei particule individuale este legat de lungimea sa de undă λ prin p = h/λ. În ceea ce privește măsurătorile empirice, lungimea de undă poate fi determinată doar prin observarea unei modificări a undei între un punct din spațiu și un alt punct din apropiere (matematic, prin diferențiere). O undă cu o lungime de undă mai scurtă oscilează mai rapid și, prin urmare, se modifică mai rapid între punctele apropiate. Să presupunem acum că fixăm în mod arbitrar un gabarit într-un punct din spațiu, spunând că energia în acel loc este 20% A și 80% B. Măsurăm apoi cele două unde într-un alt punct, aflat în apropiere, pentru a le determina lungimile de undă. Dar există două motive complet diferite pentru care undele s-ar fi putut schimba. S-ar fi putut schimba pentru că ele oscilau cu o anumită lungime de undă sau s-ar fi putut schimba pentru că funcția de gabarit s-a schimbat de la un amestec 20-80 la, să zicem, 21-79. Dacă ignorăm cea de-a doua posibilitate, teoria rezultată nu funcționează; vor apărea discrepanțe ciudate în ceea ce privește impulsul, încălcând principiul conservării impulsului. Ceva în teorie trebuie schimbat.
Există din nou probleme tehnice legate de spin, dar în mai multe cazuri importante, inclusiv particule încărcate electric și particule care interacționează prin intermediul forțelor nucleare, soluția problemei este de a imputa o realitate fizică funcției gauge θ(x). Spunem că, în cazul în care funcția θ oscilează, aceasta reprezintă un nou tip de undă mecanică cuantică, iar această nouă undă are un moment propriu p = h/λ, care se dovedește a remedia discrepanțele care, altfel, ar fi rupt conservarea momentului. În contextul electromagnetismului, particulele A și B ar fi particule încărcate, cum ar fi electronii, iar unda mecanică cuantică reprezentată de θ ar fi câmpul electromagnetic. (Aici ignorăm problemele tehnice ridicate de faptul că electronii au de fapt spin 1/2, nu spin zero. Această simplificare excesivă este motivul pentru care câmpul gauge θ se dovedește a fi un scalar, în timp ce câmpul electromagnetic este de fapt reprezentat de un vector format din V și A). Rezultatul este că avem o explicație pentru prezența interacțiunilor electromagnetice: dacă încercăm să construim o teorie cu simetrie gauge a unor particule identice, care nu interacționează, rezultatul nu este autoconsistent și poate fi reparat doar prin adăugarea de câmpuri electrice și magnetice care fac ca particulele să interacționeze.
Deși funcția θ(x) descrie o undă, legile mecanicii cuantice cer ca aceasta să aibă și proprietăți de particulă. În cazul electromagnetismului, particula corespunzătoare undelor electromagnetice este fotonul. În general, astfel de particule se numesc bosoni gauge, unde termenul „boson” se referă la o particulă cu spin întreg. În cele mai simple versiuni ale teoriei, bosonii gauge sunt lipsiți de masă, dar este de asemenea posibil să se construiască versiuni în care aceștia au masă, așa cum este cazul bosonilor gauge care transmit forțele de dezintegrare nucleară.
.