Acest text prezintă o introducere la nivel de absolvire a geometriei diferențiale pentru studenții la matematică și fizică. Expunerea urmărește dezvoltarea istorică a conceptelor de conexiune și curbură cu scopul de a explica teoria Chern-Weil a claselor caracteristice pe un pachet principal. Pe parcurs întâlnim unele dintre cele mai importante momente din istoria geometriei diferențiale, de exemplu, Teorema Egregium a lui Gauss și teorema Gauss-Bonnet. Exercițiile de pe parcursul cărții testează înțelegerea materialului de către cititor și uneori ilustrează extinderi ale teoriei. Inițial, printre condițiile prealabile pentru cititor se numără o familiaritate trecătoare cu multitudinea. După primul capitol, devine necesar să se înțeleagă și să se manipuleze formele diferențiale. O cunoaștere a cohomologiei de Rham este necesară pentru ultima treime a textului.

Materialul prealabil este conținut în textul autorului, An Introduction to Manifolds, și poate fi învățat într-un semestru. În beneficiul cititorului și pentru a stabili notații comune, Anexa A reamintește elementele de bază ale teoriei multiplelor. În plus, în încercarea de a face expunerea mai autonomă, sunt incluse secțiuni privind construcțiile algebrice, cum ar fi produsul tensorial și puterea exterioară.

Geometria diferențială, după cum îi spune și numele, este studiul geometriei cu ajutorul calculului diferențial. Ea datează de la Newton și Leibniz în secolul al XVII-lea, dar abia în secolul al XIX-lea, odată cu lucrările lui Gauss asupra suprafețelor și ale lui Riemann asupra tensorului de curbură, geometria diferențială a înflorit și s-au pus bazele sale moderne. În ultimii o sută de ani, geometria diferențială s-a dovedit a fi indispensabilă pentru înțelegerea lumii fizice, în teoria generală a relativității a lui Einstein, în teoria gravitației, în teoria gauge și, în prezent, în teoria corzilor. Geometria diferențială este, de asemenea, utilă în topologie, mai multe variabile complexe, geometrie algebrică, mulțimi complexe și sisteme dinamice, printre alte domenii. Domeniul a găsit chiar și aplicații în teoria grupurilor, ca în cazul lucrărilor lui Gromov, și în teoria probabilităților, ca în cazul lucrărilor lui Diaconis. Nu este prea exagerat să susținem că geometria diferențială ar trebui să facă parte din arsenalul fiecărui matematician.

.