Funcții indicatoare

Written by on in Articles

de Marco Taboga, PhD

Funcția indicatoare a unui eveniment este o variabilă aleatoare care ia valoarea 1 când evenimentul se produce și valoarea 0 când evenimentul nu se produce. Funcțiile indicatoare sunt adesea folosite în teoria probabilităților pentru a simplifica notația și pentru a demonstra teoreme.

Tabelă de materii

Definiție

În cele ce urmează este o definiție formală.

Definiție Fie Omega un spațiu de eșantionare și $Esubseteq Omega $ un eveniment. Funcția indicatoare (sau variabila aleatoare indicatoare) a evenimentului E, notată cu $1_{E}$, este o variabilă aleatoare definită după cum urmează:

În timp ce indicatorul unui eveniment E este de obicei notat cu $1_{E}$, uneori este notat și cu unde $chi $ este litera greacă Chi.

Exemplu Aruncăm un zar și unul dintre cele șase numere de la 1 la 6 poate apărea cu fața în sus. Spațiul de probă esteDefiniți evenimentul descris de propoziția „Un număr par apare cu fața în sus”. O variabilă aleatoare care ia valoarea 1 atunci când un număr par apare cu fața în sus și valoarea 0 în caz contrar este un indicator al evenimentului E. Definiția cazuistică a acestui indicator este

Din definiția de mai sus, se poate observa cu ușurință că $1_{E}$ este o variabilă aleatoare discretă cu suport și funcție de masă de probabilitate

Proprietăți

Funcțiile indicatoare se bucură de următoarele proprietăți.

Putere

Puterea n-a a $1_{E}$ este egală cu $1_{E}$:pentru că $1_{E}$ poate fi fie 0, fie 1 și

Valoarea așteptată

Valoarea așteptată a lui $1_{E}$ este egală cu :

Varianța

Varianța lui $1_{E}$ este egală cu . Mulțumită formulei uzuale a varianței și proprietății puterilor de mai sus, obținem

Intersecții

Dacă E și F sunt două evenimente, atuncideoarece:

  1. dacă $omega în Ecap F$, atunci și

  2. dacă , atunciși

Indicatori ai evenimentelor cu probabilitate zero

Fie E un eveniment cu probabilitate zero și X o variabilă aleatoare integrabilă. Atunci,În timp ce o demonstrație riguroasă a acestui fapt depășește scopul acestei expuneri introductive, această proprietate ar trebui să fie intuitivă. Variabila aleatoare este egală cu zero pentru toate punctele de eșantionare omega cu excepția, eventual, a punctelor $omega din E$. Valoarea așteptată este o medie ponderată a valorilor pe care le poate lua $X1_{E}$, unde fiecare valoare este ponderată cu probabilitatea sa respectivă. Valorile diferite de zero pe care le poate lua $X1_{E}$ sunt ponderate cu probabilități zero, deci trebuie să fie zero.

Exerciții rezolvate

Mai jos găsiți câteva exerciții cu rezolvarea explicată.

Exercițiu 1

Se consideră o variabilă aleatoare X și o altă variabilă aleatoare Y definită ca funcție de X.

Exprimați Y folosind funcțiile indicatoare ale evenimentelor și .

Soluție

Denotați prin indicatorul evenimentului și notați prin indicatorul evenimentului . Putem scrie Y ca

Exercițiu 2

Fie X o variabilă aleatoare pozitivă, adică o variabilă aleatoare care poate lua numai valori pozitive. Fie $c$ o constantă. Să se demonstreze că unde este indicatorul evenimentului .

Soluție

În primul rând observați că suma indicatorilor și este întotdeauna egală cu 1:În consecință, putem scrieAcum, observați că este o variabilă aleatoare pozitivă și că valoarea așteptată a unei variabile aleatoare pozitive este pozitivă:Atunci,

Exercițiu 3

Fie E un eveniment și să notăm funcția sa indicatoare prin $1_{E}$. Fie $E^{c}$ complementul lui $E și să se noteze funcția sa indicatoare prin $1_{E^{c}}$. Se poate exprima $1_{E^{c}}$ ca funcție a lui $1_{E}$?

Soluție

Suma celor doi indicatori este întotdeauna egală cu 1:De aceea,

Cum se citează

Citează ca:

Taboga, Marco (2017). „Funcții indicatoare”, Lectures on probability theory and mathematical statistics, ediția a treia. Kindle Direct Publishing. Apendice online. https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/indicator-functions.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.