Funcție legată de reprezentările integrale ale soluțiilor problemelor de valoare la limită pentru ecuații diferențiale.
Funcția Green a unei probleme de valoare la limită pentru o ecuație diferențială liniară este soluția fundamentală a acestei ecuații care satisface condiții omogene la limită. Funcția Green este nucleul operatorului integral invers operatorului diferențial generat de ecuația diferențială dată și de condițiile la limită omogene (cf. Kernel of an integral operator). Funcția Green generează soluții ale ecuației neomogene care satisfac condițiile la limită omogene. Găsirea funcției Green reduce studiul proprietăților operatorului diferențial la studiul proprietăților similare ale operatorului integral corespunzător.
Funcția Green pentru ecuații diferențiale ordinare.
Să fie $ L $operatorul diferențial generat de polinomul diferențial
$$ l = \ \sum _ {k = 0 } ^ { n } p _ {k} ( x)\frac{d ^ {k} y }{dx ^ {k} } ,\ \ a < x < b,$$
și condițiile la limită $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \puncte n $, unde
$$$ U _ {j} = \ \ \sum _ {k = 0 } ^ { n } \alpha _ {jk} y ^ {(} k) ( a) +\beta _ {jk} y ^ {(} k) ( b).$$
Funcția Green a lui $ L $este funcția $ G ( x, \xi ) $care îndeplinește următoarele condiții:
1) $ G ( x, \xi ) $este continuă și are derivate continue în raport cu $ x $până la ordinul $ n – 2 $pentru toate valorile lui $ x $și $ \xi $în intervalul $ $ $.
2) Pentru orice $ \xi $în $ ( a, b) $funcția $ G ( x, \xi ) $are derivate uniform-continue de ordinul $ n $în raport cu $ x $în fiecare dintre semi-intervale $ $și derivata de ordinul $ n – 1 $satisface condiția
$$ \frac{\partial ^ {n – 1 } }{\partial x ^ {n – 1 } }G ( \xi + , \xi ) -\frac{\partial ^ {n – 1 } }{\partial x ^ {n – 1 } }G ( \xi – , \xixi ) = \ \frac{1}{p _ {n} ( \xi ) }$$
dacă $ x = \xi $.
3) În fiecare dintre semicercurile $ $funcția $ G ( x, \xi ) $, privită ca o funcție de $ x $, satisface ecuația $ l = 0 $și condițiile la limită $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \puncte n $.
Dacă problema valorii limită $ Ly = 0 $ are numai soluții triviale, atunci $ L $ are una și numai o singură funcție Green . Pentru orice funcție continuă $ f $ pe $ $ există o soluție a problemei valorii limită $ Ly = f $, iar aceasta poate fi exprimată prin formula
$$ y ( x) = \ \ \int\limite _ { a } ^ { b } G ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi .$$
Dacă operatorul $ L $ are o funcție Green $ G ( x, \xi ) $, atunci operatorul adiacent $ L ^ {*} $ are, de asemenea, o funcție Green, egală cu $ \overline{ {G ( \xi , x) }}}\; $. În special, dacă $ L $ este autoadjunct ( $ L = L ^ {*} $), atunci $ G ( x, \xi ) = \overline{ {G ( \xi , x) }}}\; $, adică funcția Green este un nucleu hermitian în acest caz. Astfel, funcția Green a operatorului autoadjunct de ordinul doi $ L $generată de operatorul diferențial cu coeficienți reali
$$$ l = \ \ \frac{d}{dx}\left ( p\frac{dy }{dx }\right ) +q ( x) y,\ \ a < x < b,$$
și condițiile la limită $ y ( a) = 0 $, $ y ( b) = 0 $ are forma:
$$ $$ G ( x, \xi ) = \ \left \{\begin{array}{ll}Cy _ {1} ( x) y _ {2} ( \xi ) &\textrm{ if } x \leq \xi , \\Cy _ {1} ( \xi ) y _ {2} ( x) &\textrm{ if } x > \xi . \\end{array} \right .$$
Aici $ y _ {1} ( x) $și $ y _ {2} ( x) $sunt soluții independente arbitrare ale ecuației $ l = 0 $ care satisfac, respectiv, condițiile $ y _ {1} ( a) = 0 $, $ y _ {2} ( b) = 0 $; $ C = ^ {-} 1 $, unde $ W $este determinantul Wronski (Wronskian) al lui $ y _ {1} $și $ y _ {2} $. Se poate demonstra că $ C $este independent de $ \xi $.
Dacă operatorul $ L $are o funcție Green, atunci problema valorilor proprii la limită $ Ly = \lambda y $este echivalentă cu ecuația integrală $ y ( x) = \lambda \int _ {a} ^ {b} G ( x, \xi ) y ( \xi ) d \xi $, la care se aplică teoria lui Fredholm (a se vedea și teoremele lui Fredholm). Din acest motiv, problema valorii limită $ Ly = \lambda y $ poate avea cel mult un număr numărabil de valori proprii $ \lambda _ {1} , \lambda _ {2} \dots $fără puncte limită finite. Problema conjugată are valori proprii complex-conjugate de aceeași multiplicitate. Pentru fiecare $ \lambda $care nu este o valoare proprie a lui $ L $este posibilă construirea funcției Green $ G ( x, \xi , \lambda ) $a operatorului $ L – \lambda I $, unde $ I $este operatorul identitate. Funcția $ G ( x, \xi , \lambda ) $este o funcție meromorfă a parametrului $ \lambda $; polii săi pot fi doar valori proprii ale lui $ L $. Dacă multiplicitatea valorii proprii $ \lambda _ {0} $ este unu, atunci
$$ G ( x, \xi , \lambda ) = \ \frac{u _ {0} ( x) \overline{ {v _ {0} ( \xi ) }}}\; }{\lambda – \lambda _ {0}}. } +G _ {1} ( x, \xi , \lambda ),$$
unde $ G _ {1} ( x, \xi , \lambda ) $este regulat într-o vecinătate a punctului $ \lambda _ {0} $, iar $ u _ {0} ( x) $și $ v _ {0} ( x) $sunt funcțiile proprii ale lui $ L $și $ L ^ {*} $ care corespund valorilor proprii $ \lambda _ {0} $ și $ \overline{ {\lambda _ {0} }}}; $și normalizate astfel încât
$$$ \int\limite _ { a } ^ { b } u _ {0} ( x) \overline{ {v _ {0} ( x) }}}\; dx = 1.$$
Dacă $ G ( x, \xi , \lambda ) $are infinit de mulți poli și dacă aceștia sunt numai de ordinul întâi, atunci există un sistem biortogonal complet
$ u _ {1} ( x),\ u _ {2} ( x) ,\dots ; \ \ \ v _ {1} ( x),\ v _ {2} ( x) \dots$$$
de funcții proprii ale lui $ L $și $ L ^ {*} $. Dacă valorile proprii sunt numerotate în succesiune crescătoare a valorilor lor absolute, atunci integrala
$$ I _ {R} ( x, f ) = \ \frac{1}{2 \pi i }\int\limitele _ {| \lambda | = R } \ d \lambda\int\limite _ { a } ^ { b } G ( x, \xi , \lambda )f ( \xi ) d \xi$$
este egal cu suma parțială
$$ S _ {k} ( x, f ) = \ \sum _ {| \lambda _ {n} | < R }u _ {n} ( x)\int\limits _ { a } ^ { b } f ( \xi )\overline{ {v _ {n} ( \xi ) }}}}; \ d \xi$$
din expansiunea lui $ f $ în raport cu funcțiile proprii ale lui $ L $. Numărul pozitiv $ R $ este ales astfel încât funcția $ G ( x, \xi , \lambda ) $ să fie regulată în $ \lambda $ pe cercul $ | \lambda | = R $. Pentru o problemă de valoare la limită regulată și pentru orice funcție liniară $ f $ în intervalul $ a < x < b $, ecuația
$$$ \limită _ {R \rightarrow \infty } \ I _ {R} ( x, f ) = \ {\frac{1}{2} } $$
este valabilă, adică este posibilă o expansiune într-o serie convergentă .
Dacă funcția Green $ G ( x, \xi , \lambda ) $a operatorului $ L – \lambda I $are mai mulți poli, atunci partea sa principală este exprimată prin sisteme canonice de funcții proprii și adjuncte ale operatorilor $ L $și $ L ^ {*} $.
În cazul considerat mai sus, problema valorii la limită $ Ly = 0 $ nu are soluții netriviale. Dacă, pe de altă parte, există astfel de soluții netriviale, se introduce o așa-numită funcție Green generalizată. Fie că există, de exemplu, exact $ m $ soluții liniar independente ale problemei $ Ly = 0 $. Atunci o funcție Green generalizată $ \widetilde{G} ( x, \xi ) $există care are proprietățile 1) și 2) ale unei funcții Green obișnuite, satisface condițiile la limită în funcție de $ x $dacă $ a < \xi < b $și, în plus, este o soluție a ecuației
$$$ l _ {x} = -\sum _ {k = 1 } ^ { m } \phi _ {k} ( x)\overline{ {v _ {k} ( \xi ) }}}}; .$$
Aici $ \{ v _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ este un sistem de soluții liniar independente ale problemei adiacente $ L ^ {*} y = 0 $, în timp ce $ \{{ \phi _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ este un sistem arbitrar de funcții continue biortogonale la aceasta. Atunci
$$ y ( x) = \ \ \int\limits _ { a } ^ { b } \widetilde{G} ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi$$
este soluția problemei valorii limită $ Ly = f $dacă funcția $ f $este continuă și satisface criteriul de rezolvabilitate, adică este ortogonală la toate $ v _ {k} $.
Dacă $ \widetilde{G} _ {0} $ este una dintre funcțiile Green generalizate ale lui $ L $, atunci orice altă funcție Green generalizată poate fi reprezentată sub forma
$$ \widetilde{G} ( x, \xi ) = \ \ \widetilde{G} _ {0} ( x, \xi ) +\sum _ {k = 1 } ^ { m } u _ {k} ( x) \psi _ {k} ( \xi ),$$
unde $ \{ u _ {k} ( x) \} \} $este un sistem complet de soluții liniar independente ale problemei $ Ly = 0 $, iar $ \psi _ {k} ( \xi ) $sunt funcții continue arbitrare.
Funcție verde pentru ecuații cu derivate parțiale.
1) Ecuații eliptice. Fie $ A $operatorul diferențial eliptic de ordin $ m $generat de polinomul diferențial
$$ a ( x, D) = \ \sum _ {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x) D ^ \alpha $$
într-un domeniu mărginit $ \Omega \subansamblu \mathbf R ^ {N} $și condițiile de frontieră omogene $ B _ {j} u = 0 $, unde $ B _ {j} $sunt operatori de frontieră cu coeficienți definiți pe limita $ \parțial \Omega $de $ \Omega $, care se presupune că este suficient de netedă. Se spune că o funcție $ G ( x, y) $ este o funcție Green pentru $ A $ dacă, pentru orice valoare fixă $ y \în \Omega $, aceasta satisface condițiile de frontieră omogene $ B _ {j} G ( x, y) = 0 $și dacă, privită ca o funcție generalizată, satisface ecuația
$$ a ( x, D)G ( x, y) = \ \delta ( x – y).$$
În cazul operatorilor cu coeficienți netezi și condiții normale la limită, care asigură că soluția problemei omogene de valoare la limită este unică, există o funcție Green și soluția problemei de valoare la limită $ Au = f $ poate fi reprezentată sub forma (cf. )
$$ u ( x) = \ \ \int\limite _ \Omega G ( x, y)f ( y) dy.$$
În acest caz, estimările uniforme pentru $ x , y \în \ suprapunere \Omega \; $,
$$$ | G ( x, y) | \leq \ C | x – y | ^ {m – n } \ \ \ \textrm{ if } m < n,$$
$$$ | G ( x, y) | \leq C + C | \mathop{\rm ln} | x – y | | \ \ \textrm{ if } m = n,$$
sunt valabile pentru funcția Green, iar aceasta din urmă este uniform mărginită dacă $ m > n $.
Problema valorilor proprii la limită $ Au = \lambda u $ este echivalentă cu ecuația integrală
$$ u ( x) = \ \lambda \int\limits _ \Omega G ( x, y) u ( y) dy,$$
la care se aplică teoria lui Fredholm (cf. ) (cf. teoremele lui Fredholm). Aici, funcția Green a problemei de valoare limită adiacentă este $ \overline{ {G ( y, x) }}}\; $. Rezultă, în special, că numărul de valori proprii este cel mult numărabil și nu există puncte limită finite; problema de valoare limită adiacentă are valori proprii complex-conjugate de aceeași multiplicitate.
O funcție Green a fost studiată mai amănunțit pentru ecuațiile de ordinul doi, deoarece natura singularității soluției fundamentale poate fi scrisă în mod explicit. Astfel, pentru operatorul Laplace, funcția Green are forma
$$ G ( x, y) = \ – \frac{\Gamma ( n / 2) }{2 \pi ^ {n/2} ( n – 2) }| x – y | ^ {2 – n } +\gamma ( x, y) \ \ \ \textrm{ if } n > 2,$$
$$$ G ( x, y) = + \frac{1}{2 \pi } \mathop{\rm ln} | x – y | + \gamma ( x, y) \ \ \textrm{ if } n = 2,$$
unde $ \gamma ( x, y) $este o funcție armonică în $ \Omega $aleasă astfel încât funcția Green să satisfacă condiția la limită.
Funcția Green $ G ( x, y) $a primei probleme de valoare la limită pentru un operator eliptic de ordinul doi $ a ( x, D) $cu coeficienți netezi într-un domeniu $ \Omega $cu limită de tip Lyapunov $ \parțial \Omega $, face posibilă exprimarea soluției problemei
$$$ a ( x, D) u( x) = \ f ( x) \ \ \textrm{ dacă } \ \ \ x \în \Omega ,\ \ \ \left . u \right | _ _ {\partial \Omega } = \phi ,$$
în forma
$$ u ( x) = \ \int\limite _ \Omega G ( x, y) f ( y) dy +\int\limite _ {\partial \Omega }\frac \partial {\partial \nu _ {y} }G ( x, y) \phi ( y) d \sigma _ {y} ,$$
unde $ \partial / \partial \nu _ {y} $ este derivata de-a lungul co-normalei exterioare a operatorului $ a ( x, D) $și $ d \sigma _ {y} $ este elementul de suprafață pe $ \partial \Omega $.
Dacă condiția la limită omogenă $ Au = 0 $ are soluții netriviale, se introduce o funcție Green generalizată, la fel ca în cazul ecuațiilor diferențiale ordinare. Astfel, o funcție Green generalizată, așa-numita funcție Neumann , este disponibilă pentru operatorul Laplace.
2) Ecuații parabolice. Fie $ P $operatorul diferențial parabolic de ordinul $ m $generat de polinomul diferențial
$$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\ \frac \partial {\partial t } \right ) = \ \frac \partial {\partial t } -\sum _ {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x, t) D _ {x} ^ \alpha ,$$
$$$ x \în \Omega ,\ t > 0,$$
și condițiile inițiale și la limită omogene
$$ u ( x, 0) = 0,\ \ B _ {j} u ( x, t) = 0,$$
unde $ B _ {j} $sunt operatori de frontieră cu coeficienți definiți pentru $ x \în \parțial \Omega $și $ t \geq 0 $. Funcția Green a operatorului $ P $este o funcție $ G ( x, t, y, \tau ) $care pentru o valoare fixă arbitrară $ ( y , \tau ) $cu $ t > \tau \geq 0 $și $ y \în \Omega $satisface condițiile de frontieră omogene $ B _ {j} = 0 $și satisface, de asemenea, ecuația
$$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\ \frac \partial {\partial t }\drept )G ( x, t, y, \tau ) = \ \delta ( x – y , t – \tau ) .$$
Pentru operatorii cu coeficienți netezi și condiții normale la limită, ceea ce asigură unicitatea soluției problemei $ pu = 0 $, există o funcție Green, iar soluția ecuației
$$$ p \left (x, t, D _ {x} ,\ \frac \partial {\partial t }\right )u ( x, t) = \ f ( x, t)$$
satisfăcând condițiile la limită omogene și condițiile inițiale $ u ( x, 0) = \phi ( x) $, are forma
$$ u ( x, t) = \ \ \int\limite _ { 0 } ^ { t } \ d \tau \int\limits _ \Omega G ( x, t, y, \tau )f ( y, \tau ) dy +$$
$$$ + \int\limits _ \Omega G ( x, t, y, 0) \phi ( y) dy.$$
În studiul sistemelor eliptice sau parabolice, funcția Green este înlocuită cu conceptul de matrice Green, cu ajutorul căreia soluțiile problemelor de valoare la limită cu condiții la limită omogene pentru aceste sisteme sunt exprimate ca integrale ale produselor unei matrice Green cu vectorii laturilor drepte și condițiile inițiale .
Funcțiile Green poartă numele lui G. Green (1828), care a fost primul care a studiat un caz special de astfel de funcții în studiile sale privind teoria potențialului.
| M.A. Naimark, „Lineare Differentialoperatoren” , Akademie Verlag (1960) (Tradus din limba rusă) MR0216049 | |
| M.V. Keldysh, „On the characteristic values and characteristic functions of certain classes of non-self-adjoint equations” Dokl. Akad. Nauk. SSSR , 77 : 1 (1951) pp. 11-14 (În limba rusă) | |
| V.V. Sobolev, „Course in theoretical astrophysics” , NASA , Washington, D.C. (1969) (Tradus din limba rusă) | |
| L. Bers, F. John, M. Schechter, „Partial differential equations” , Interscience (1964) MR0163043 Zbl 0126.00207 | |
| L. Gårding, „Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations” , Math. Scand. , 1 : 1 (1953) pp. 55-72 MR64979 | |
| A. Friedman, „Partial differential equations of parabolic type” , Prentice-Hall (1964) MR0181836 Zbl 0144.34903 | |
| S.D. Eidel’man, „Parabolic systems” , North-Holland (1969) (Tradus din limba rusă) Zbl 0181.37403 |
| J.K. Hale, „Ordinary differential equations” , Wiley (1980) MR0587488 Zbl 0433.34003 | |
| P.R. Garabedian, „Partial differential equations” , Wiley (1964) MR0162045 Zbl 0124.30501 |
Funcția verde în teoria funcțiilor.
În teoria funcțiilor de o variabilă complexă, prin funcție Green (reală) se înțelege o funcție Green pentru prima problemă de valoare la limită pentru operatorul Laplace, adică o funcție de tipul
$$ \tag{1 }G ( z, z _ {0} ) = \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +\gamma ( z, z _ {0} ),\ \ \ z \in \Omega ,$$
unde $ z = x + iy $este variabila complexă, $ z _ {0} = x _ {0} + iy _ {0} $este polul funcției Green, $ z _ {0} \în \Omega $, iar $ \gamma ( z, z _ {0} ) $este o funcție armonică a lui $ z $care ia valorile $ – \mathop{\rm ln} 1/ | z – z _ {0} | $ la limita $ \parțial \Omega $. Fie ca domeniul $ \Omega $să fie simplu-conectat și fie $ w = f ( z, z _ {0} ) $funcția analitică ce realizează maparea conformă a lui $ \Omega $pe discul unitar astfel încât $ z _ {0} $să se mapeze pe centrul discului, și astfel încât $ f ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, $ f ^ { \prime } ( z _ {0} , z _ {0} ) > 0 $.
Atunci
$$$ \tag{2 }G ( z, z _ {0} ) = \ \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| f ( z, z _ {0} } ) | } .$$
Dacă $ H ( z, z _ {0} ) $ este funcția armonică conjugată cu $ G ( z, z _ {0} ) $ $, $ H ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, atunci funcția analitică $ F ( z, z _ {0} ) = G ( z, z _ {0} ) + iH ( z, z _ {0} ) $ se spune că este o funcție Green complexă de $ \Omega $cu polul $ z _ {0} $. Prin inversarea formulei (2) se obține
$$$ \tag{3 }f ( z, z _ {0} ) = \ e ^ {- F ( z, z _ {0} ) } .$$
Formulele (2) și (3) arată că problemele de construire a unei hărți conforme a lui $ \Omega $în disc și de găsire a unei funcții Green sunt echivalente. Funcțiile Green $ G ( z, z _ {0} ) $, $ F ( z, z _ {0} ) $sunt invariante în cazul mapelor conforme, ceea ce poate facilita uneori identificarea lor (vezi Metoda de cartografiere).
În teoria suprafețelor Riemann este mai convenabil să se definească funcțiile Green cu ajutorul unei proprietăți de minim, valabilă pentru o funcție (1): Dintre toate funcțiile $ U ( z, z _ {0} ) $pe o suprafață Riemann $ \Omega $care sunt pozitive și armonice pentru $ z \neq z _ {0} $și care au într-o vecinătate a lui $ z _ {0} $forma
$$ \tag{4 }U ( z, z _ {0} ) = \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +\gamma ( z, z _ {0} ),$$
unde $ \gamma ( z, z _ {0} ) $ este o funcție armonică care este regulată pe întreaga suprafață $ \Omega $, funcția Green, dacă există, este cea mai mică, adică $ G ( z, z _ {0} ) \leq U ( z, z _ {0} ) $. Aici, existența unei funcții Green este tipică pentru suprafețele Riemann de tip hiperbolic. Dacă o funcție Green este astfel definită, ea nu mai dispare, în general, oriunde pe frontiera (ideală) a suprafeței Riemann. Situația este similară în teoria potențialului (vezi și Teoria potențialului, abstract). Pentru un ansamblu deschis arbitrar $ \Omega $, de exemplu în spațiul euclidian $ \mathbf R ^ {n} $, $ n \geq 2 $, funcția Green $ G ( x, x _ {0} ) $ poate fi de asemenea definită cu ajutorul proprietății de minim discutate mai sus, dar pentru $ n \geq 3 $expresia $ | x – x _ {0} | ^ {2 – n } $trebuie să fie înlocuită cu $ \mathop{\rm ln} {1/ | x – x _ {0} | } $în formula (4). În general, o astfel de funcție Green nu tinde neapărat spre zero pe măsură ce se apropie de granița $ \partial \Omega $. O funcție Green nu există pentru suprafețele Riemann de tip parabolic sau pentru anumite domenii în $ \mathbf R ^ {2} $ (de exemplu, pentru $ \Omega = \mathbf R ^ {2} $).
| S. Stoilov, „Teoria funcțiilor de o variabilă complexă” , 1-2 , Moscova (1962) (În limba rusă; tradus din limba română) | |
| R. Nevanlinna, „Uniformisierung” , Springer (1953) MR0057335 Zbl 0053.05003 | |
| M. Brélot, „Eléments de la théorie classique du potentiel” , Sorbonne Univ. Centre Doc. Univ. , Paris (1959) MR0106366 Zbl 0084.30903 |
E.D. Solomentsev
Vezi, de asemenea, și pentru funcțiile Green în teoria clasică a potențialului și pentru funcțiile Green în teoria axiomatică a potențialului.
În teoria funcțiilor de mai multe variabile complexe, mai precis în teoria pluri-potențială (cf. și teoria potențialului), au fost introduse funcțiile Green pentru ecuația complexă Monge-Ampère. În mod ideal, o astfel de funcție Green ar trebui să fie o soluție fundamentală pentru operatorul complex Monge-Ampère $ M A = \mathop{\rm det} ( \partial ^ {2} / \partial z _ {i} \partial \overline{z}\; _ {j} ) $, cu valori la limită $ 0 $ și, în plus, plurisubarmonică (cf. și funcția plurisubarmonică). Este posibilă doar realizarea unei analogii corecte a teoriei clasice unidimensionale pentru domenii pseudo-convexe (cf. Pseudo-convexe și pseudo-concave). Au fost propuse mai multe definiții neechivalente ale funcției Green. Una dintre acestea este următoarea. Fie $ \Omega $un domeniu în $ \mathbf C ^ {n} $, $ w \în \Omega $. Fie $ \mathop{\rm PSH} ( \Omega ) $denotează funcțiile plurisubarmonice (cf. Funcția plurisubarmonică) pe $ \Omega $. Funcția Green pentru $ \Omega $cu polul în $ w $ este
$$ G ( z , w ) =$$
$$$ = \ \sup \{ u ( z) : u \în \mathop{\rm PSH} ( \Omega ) , u \leq 0 ,\ u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} | \zeta – w | < C _ {u} \} ,$$
unde $ C _ {u} $ este o constantă care depinde de $ u $. Astfel, pentru orice $ w $ fix, $ G ( \cdot , w ) $ este plurisubarmonică. Pentru $ n = 1 $, $ – G $ echivalează cu funcția Green obișnuită. Desigur, se dorește ca $ G ( \cdot , w ) \mid _ {\partial \Omega } = 0 $și, de asemenea, $ G ( \cdot , w ) $o funcție continuă la $ $ $, dar acest lucru este echivalent cu faptul că $ \Omega $este un domeniu hiperconvex (adică un domeniu pseudoconvex care admite o funcție de epuizare plurisubarmonică continuă și mărginită). Dacă acesta este cazul, se mai are:
1) $ M A ( G ( \cdot , w ) ) = ( 2 \pi ) ^ {n} \delta _ {w} $, unde $ \delta _ {w} $ este măsura lui Dirac la $ w $,
2) $ G ( z , w ) \sim \mathop{\rm log} | z – w | | $ca $ z \rightarrow w $și $ G $este continuu pe $ \overline \Omega \; \times \Omega $.
Dacă $ \Omega $este strict convexă, atunci $ G $este simetrică: $ G ( z , w ) = G ( w , z ) $și $ C ^ \infty $pe $ \Omega \setminus \{ w \} $. Dacă $ \Omega $este doar strict pseudo-convexă, atunci $ G $nu trebuie să fie simetrică și nici măcar $ C ^ {2} $. Se poate introduce un fel de funcție Green în care simetria este încorporată, vezi , dar se pot pierde 1) și 2). Pentru $ \Omega $strict pseudo-convexă este valabilă următoarea inegalitate (L. Lempert):
$$ $ \mathop{\rm log} \mathop{\rm tanh} C ( z , w ) \leq \ G ( z , w ) < \mathop{\rm log} \mathop{\rm tanh} K ( z , w ) ,$$
cu egalitate pentru domenii convexe. Aici $ C $și $ K $denotează distanța Carathéodory și, respectiv, distanța Kobayashi.
Dacă $ E $este un ansamblu mărginit în $ \mathbf C ^ {n} $, funcția Green cu polul la $ \infty $pentru $ E $este
$$ L _ {E} ( z) =$$
$$$ = \ \sup \{ u ( z) : u \în \mathop{\rm PSH} ( \Omega) , u \leq 0 \mathop{\rm on} E , u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} ( 1 + | \zeta | ) < C _ {u} \} ,$$
și, analogic cu cazul cu o singură variabilă, există o funcție Robin
$$ R _ {E} ( z) = \limită \sup _{început{array}{c}\lambda \in \mathbf C \\\ \lambda \rightarrow \infty \end{array} L _ {E} ( \lambda z ) – \mathop{\rm log} | \lambda z | )$$
și o capacitate logaritmică
$$ \mathop{\rm Cap} ( E) = \mathop{\rm exp} \{ – \sup R _ {E} \} .$$
Pentru seturi generale $ E $, $ \mathop{\rm Cap} ( E) = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } \mathop{\rm cap} ( E \cap \{ | z | < n \} ) $ $. Această capacitate are proprietatea că ansamblurile de capacitate zero sunt tocmai ansamblurile pluri-polare.
| L.L. Helms, „Introduction to potential theory” , Wiley (Interscience) (1969) | |
| K. Janssen, „On the existence of a Green function for harmonic spaces” Math. Annalen , 208 (1974) pp. 295-303 MR0350045 Zbl 0265.31018 | |
| N.S. Landkof, „Foundations of modern potential theory” , Springer (1972) (Tradus din limba rusă) MR0350027 Zbl 0253.31001 | |
| E. Bedford, „Survey of pluri-potential theory” (în curs de apariție) MR1207855 Zbl 0786.31001 | |
| U. Cegrell, „Capacities in complex analysis” , Vieweg (1988) MR0964469 Zbl 0655.32001 | |
| J.P. Demailly, „Mesures de Monge-Ampère et mesures pluriharmoniques” Math. Z. , 194 (1987) pp. 519-564 MR881709 Zbl 0595.32006 |
Funcția lui Green în mecanica statistică.
O combinație liniară ordonată în timp a funcțiilor de corelație (cf. Funcția de corelație în mecanica statistică), care este o mărime intermediară convenabilă în calculele particulelor aflate în interacțiune.
Funcția lui Green în mecanica cuantică statistică.
Funcțiile Green de temperatură cu comutator în doi timpi sunt cele mai des utilizate: întârziată $ ( \mathop{\rm ret} , + ) $, avansată $ ( \mathop{\rm adv} , – ) $și cauzală (c). Acestea sunt definite prin relațiile:
$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm ret} ) } }( t – t ^ \prime ) = \ \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{\rm ret} ) } \equiv$$
$$ \equiv \ \theta ( t – t ^ \prime ) \langle _ \eta \rangle ,$$
$$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } } ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{\rm adv} ) } \equiv$$
$$ \equiv \ – \theta ( t ^ \prime – t) \langle _ \eta \rangle ,$$
$$$ G _ {AB} ^ {(} c) ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {(} c) \equiv \langle T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) \rangle ,$$
unde
$$$ _ \eta = \ A ( t) B ( t ^ \prime ) – \eta B ( t ^ \prime ) A ( t),$$
$$ T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) = \theta ( t – t ^ \prime ) A ( t)B ( t ^ \prime ) + \eta \theta ( t ^ \prime – t) B ( t ^ \prime ) A ( t),$$
$$ \theta ( x) = \left \{ \begin{array}{ll}1, & x > 0 \\\0, & x < 0 \\\\end{array} ,\ \ \eta = \pm 1 . \right .$$
Aici, $ A ( t) $și $ B ( t ^ \prime ) $sunt variabile dinamice dependente de timp (operatori pe spațiul de stări al sistemului în reprezentarea Heisenberg); $ \langle \dots \rangle $reprezintă media asupra agregatului statistic Gibbs; valoarea lui $ \eta = \pm 1 $este aleasă din motive de comoditate. Eficiența utilizării funcțiilor Green depinde în mare măsură de utilizarea reprezentărilor spectrale ale transformărilor Fourier ale acestora $ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) $, $ n = \mathop{\rm ret} , \mathop{\rm adv} , \textrm{ c } $. Astfel, pentru o temperatură diferită de zero, următoarea reprezentare este valabilă pentru funcțiile Green avansată și întârziată:
$$ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) = \ \ll A \mid B \gg _ {E} ^ {(} n) =$$
$$$ = \ \ \frac{i}{2 \pi } \int\limits _ {- \infty } ^ { {+ } \infty } \frac{(e ^ {\omega / \theta } – \eta ) J _ {AB} (\omega ) }{E – \omega + i \epsilon \alpha _ {n} } d \omega ,$$
$$$ \epsilon \rightarrow + 0,\ \ \alpha _ {n} = \left \{ \begin{array}{rl}1, & n = \mathop{\rm ret} , \\\- 1, & n = \mathop{\rm adv} . \\\end{array} \right .$$
Aici $ J _ {AB} ( \omega ) $ este densitatea spectrală, $ \theta = kT $, unde $ T \neq 0 $ este temperatura absolută, iar $ k $ este constanta Boltzmann. În sistemul de unități utilizat, $ \hbar = h/2 \pi = 1 $ unde $ h $ este constanta Planck. În particular, este valabilă următoarea formulă:
$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm ret} ) } ( \omega ) -G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } ( \omega ) = \ \left ( e ^ {\omega / \theta } – \eta\right ) J _ {AB} ( \omega ) .$$
Această formulă face posibilă calcularea densității spectrale (și astfel și a unui număr de caracteristici fizice ale sistemului) prin intermediul unei funcții Green. Formule spectrale similare există, de asemenea, pentru temperatura zero. Singularitățile (polii din planul complex) ale transformatei Fourier a unei funcții Green caracterizează spectrul și amortizarea perturbațiilor elementare din sistem. Principalele surse pentru calculul unei funcții Green includ: a) soluția aproximativă a unui lanț infinit de ecuații întrepătrunse, care este derivată direct din definiția funcției Green prin „divizarea” lanțului pe baza unor idei fizice; b) însumarea termenilor fizici „fundamentali” ai seriilor din teoria perturbațiilor (însumarea diagramelor); această metodă este utilizată în principal în calculul funcțiilor Green cauzale și seamănă în multe privințe cu metoda de calcul a funcției Green în teoria cuantică a câmpurilor.
Funcția Green în mecanica statistică clasică
sunt funcții Green întârziate (ret) și avansate (adv) în doi timpi, obținute prin înlocuirea operatorilor $ A ( t) $și $ B ( t ^ \prime ) $în formulele cuantice corespunzătoare stabilite pentru cazul cuantic (pentru $ \eta = \pm 1 $) cu funcțiile de stare dinamice ale sistemului clasic studiat, și înlocuind comutatorul $ A ( t) B ( t ^ \prime ) – B ( t ^ \prime ) A ( t) $ (parantezele Poisson cuantice) cu parantezele Poisson clasice (obișnuite); $ \langle \dots \rangle $denotă, în mod corespunzător, medierea asupra agregatului clasic al lui Gibbs. Introducerea unei funcții Green cauzale nu are nicio semnificație aici, deoarece produsul variabilelor dinamice este comutativ. Prin analogie cu cazul cuantic, există reprezentări spectrale ale transformatei Fourier a unei funcții Green și pot fi utilizate în mod eficient. Principala sursă pentru calculul unei funcții Green clasice este sistemul de ecuații obținut prin variația infinitezimală a hamiltonianului unui sistem de ecuații pentru funcțiile de corelație: lanțul de ecuații Bogolyubov, un sistem de ecuații hidrodinamice etc.
| N.N. Bogolyubov, S.V. Tyablikov, „Retarded and advanced Green functions in statistical physics” Soviet Phys. Dokl. , 4 (1960) pp. 589-593 Dokl. Akad. Nauk SSSR , 126 (1959) pp. 53 Zbl 0092.21703 | |
| D.N. Zubarev, „Double-time Green functions in statistical physics” Soviet Phys. Uspekhi , 3 (1960) pp. 320-345 Uspekhi Fiz. Nauk , 71 (1960) pp. 71-116 MR0122068 | |
| N.N. Bogolyubov, jr., B.I. Sadovnikov, Zh. Eksperim. Teor. Fiz. , 43 : 8 (1962) pp. 677 | |
| N.N. Bogolyubov jr, B.I. Sadovnikov, „Some questions in statistical mechanics” , Moscova (1975) (În limba rusă) | |
| , Fizica statistică și teoria cuantică a câmpurilor , Moscova (1973) (În limba rusă) Zbl 1195.81005 Zbl 1153.81302 Zbl 1153.81301 Zbl 1119.81300 Zbl 1110.00014 Zbl 1112.81301 Zbl 1099.81500 Zbl 1062.81500 Zbl 1064.81500 Zbl 1014.00503 Zbl 1062.81501 Zbl 0994.81077 Zbl 1016.81042 Zbl 0967.00039 Zbl 1087.82505 Zbl 1074.81537 Zbl 1014.00509 Zbl 0947.00014 Zbl 0967.00041 Zbl 0956.81504 |
V.N. Plechko