Aceasta face parte dintr-o serie despre concepții greșite frecvente.

Verificat sau fals?

Infinitul este numărul de la capătul liniei numerelor reale.

De ce spun unii oameni că este adevărat: pentru că infinitul este numărul care este mai mare decât toate celelalte numere.

De ce unii oameni spun că este fals: pentru că infinitul nu este un număr și pentru că linia numerelor nu are un capăt.

Afirmația este falsă \color{#D61F06}{\textbf{false}}}false.

Probă:

Concepția greșită care acționează aici este că „dacă continui să continui să urci de-a lungul liniei numerice trecând pe lângă numere de numărat din ce în ce mai mari, atunci, în cele din urmă, numerele de numărat pur și simplu renunță (undeva după punctul în care profesorul tău se plictisește să mai facă semne de tic-tac), iar acolo va exista un semn de infinit (∞\infty∞) pentru a marca sfârșitul liniei numerice”. Alternativ, unii spun că „infinitul se află la capătul liniei numerelor, dar există încă infinit de multe numere mai mici decât infinitul și între infinit și orice alt punct de pe linie”. Ambele noțiuni își au rădăcinile în concepte legate de calcul; cu toate acestea, ambele sunt fundamental incorecte.

Când profesorul tău „termină linia numerelor” cu ∞\infty∞, aceasta este de fapt o prescurtare înșelătoare pentru a reprezenta faptul că linia numerelor continuă la nesfârșit. Un mod mai puțin înșelător de a reprezenta această noțiune ar putea fi prelungirea liniei numerice cu o săgeată. În plus, am putea indica faptul că numerele întregi continuă și după ce decidem să nu le mai înregistrăm, utilizând notația comună a seriilor de termen general: „…n,n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,…” pentru a descrie, în acest caz, ansamblul tuturor numerelor întregi nenegative. Acest set este, de asemenea, cunoscut în mod obișnuit sub numele de „numere naturale (N\mathbb{N}N)” sau „numere întregi nenegative”.

Înțelegerea greșită constă în alegerea de a trata ∞\infty∞ ca pe un număr întreg sau întreg sau ca pe unul dintre numerele reale. Acest lucru nu este același lucru cu a crede că ∞\infty∞ este „real” sau „ireal” în sensul englezesc al cuvântului. Infinitul este un concept „real” și util. Cu toate acestea, infinitul nu este un membru al setului de „numere reale” definit matematic și, prin urmare, nu este un număr de pe linia numerelor reale.

Setul numerelor reale, R\mathbb{R}R, este explicat în loc să fie definit în majoritatea școlilor preuniversitare. Și, chiar și atunci, este, de obicei, explicat doar pe scurt, cu o descriere în sensul de „toate punctele de pe o dreaptă numerică” și cu o continuare suplimentară conform căreia „numerele reale negative sunt cele din stânga lui 0, iar numerele pozitive sunt cele din dreapta lui 0”.

Majorității elevilor nu li se predă o definiție riguroasă a numerelor reale decât dacă devin specialiști în matematică la o universitate. Una dintre cele mai comune definiții care se învață atunci este că numerele reale sunt ansamblul tăieturilor Dedekind ale numerelor raționale. Având în vedere orice definiție riguroasă a numerelor reale, este imediat evident că „infinitul” nu este un membru al setului de numere reale.

Respingere: În studiul limitelor, infinitul (∞\infty∞) este tratat la fel ca orice alt număr. De ce facem acest lucru în calcul dacă infinitul nu este de fapt un număr?

Replică: Mulți sunt învățați despre limite în precalcul sau calcul exact așa cum descrieți, iar modul în care este tratat infinitul sugerează, în mod înșelător, că infinitul este doar un alt număr. De exemplu, având în vedere o funcție cu o asimptotă orizontală la 5, am putea spune că limita lui f(x)f(x)f(x) pe măsură ce xxx se apropie de infinit este cinci: f(x)x→∞=5f(x)_{x\rightarrow \infty} = 5f(x)x→∞=5, iar dacă f(x)f(x)f(x)f(x) are o asimptotă verticală la 171717, suntem învățați să spunem că f(x)x→17=∞f(x)_{x\rightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Aceasta este prima expunere a multor elevi la ∞\infty∞, și este o introducere foarte înșelătoare, deoarece implică faptul că ∞\infty∞ poate fi tratat ca un număr care este pur și simplu „mai mare decât toate celelalte numere.”

Cu toate acestea, în acest context, infinitul este doar o prescurtare pentru o noțiune bine definită a unei funcții care nu are o limită de nicio valoare reală, ci, în schimb, crește la nesfârșit fără limite. Pentru mai multe detalii, consultați wiki despre limitele funcțiilor!

Rezpingere: Am văzut cu siguranță infinitul în manualele de matematică, iar uneori este definit ca un număr mai mare decât toate numerele neinfinite. De ce se află acolo dacă nu este un concept real de matematică?

Replică: Există de fapt seturi de numere matematice, cum ar fi numerele cardinale și numerele ordinale, în care multe versiuni diferit definite ale lui ∞\infty∞ sunt numere. Iar sistemele de numere riguros definite care includ ∞\infty∞ au multe aplicații valoroase. De exemplu, în setul de numere cardinale, infinitul este de fapt o măsură a numărului de numere reale care există. Cu toate acestea, setul de numere reale R\mathbb{R}R este definit astfel încât să omită orice versiune a infinitului.

În plus, atunci când luăm în considerare numerele cardinale, trebuie să ne schimbăm intuiția cu privire la infinit: acesta nu este un număr în sensul „liniei numerelor”, așa cum sunt aplicate cele reale. În schimb, este un concept pentru măsurarea și compararea mărimilor seturilor.

Vezi și

• Numere reale
• Reprezentarea pe dreapta reală
• Tăieturi de Dedekind
• Limite ale funcțiilor
• Listă de concepții greșite frecvente

.