Compulsia matematicienilor de a face lucrurile din ce în ce mai complexe este atât o binecuvântare, cât și un blestem. Nevoia lor de a lua o idee și de a o întinde cât mai mult posibil poate da naștere la noi perspective fascinante. Reversul medaliei este că, pe măsură ce matematica devine mai abstractă și capătă puterea de a descrie întinderi uriașe de cunoștințe conceptuale, devine din ce în ce mai greu de descris în cuvinte.

De aceea, cu capul greu, îndrept atenția acestei serii despre Problemele Premiului Mileniului către Conjectura Hodge. Este o intersecție uimitoare a mai multor domenii ale matematicii, dar este o durere în tors să o rezumăm. Așa că, pentru că este Ziua Mondială a Matematicii, voi începe cu o promisiune: de îndată ce lucrurile devin prea complexe, voi renunța cât sunt în față.

Oamenii au studiat matematica formelor cu mult înainte ca un triunghi să atragă pentru prima dată atenția lui Pitagora în jurul anului 500 î.Hr. De-a lungul generațiilor, au fost studiate forme din ce în ce mai complicate, până când, aproximativ două mii de ani mai târziu, se părea că se epuizează. Matematicienii făcuseră tot ce se puteau gândi cu formele și, de-a lungul timpului, au oferit baza pentru orice, de la inginerie până la pictura în perspectivă. Apoi, în 1637, un tânăr matematician-filozof strălucit și-a dat seama că, dacă o abstractizezi cu un pas mai departe, geometria era de fapt același lucru cu algebra.

Utilizând sistemul de coordonate carteziene care îi poartă acum numele, Descartes s-a gândit mult la faptul că o linie geometrică era doar un set de numere. Ecuațiile pot produce, de asemenea, un set de numere ca soluții ale acestora. Dacă ambele seturi de numere ar fi exact aceleași, atunci o linie trasată pe o bucată de hârtie ar putea fi considerată a fi același lucru cu soluția unei ecuații.

Acesta a fost un moment de cotitură în matematică care a permis ca toate instrumentele dezvoltate în algebră să fie aplicate în geometrie. Acesta este motivul pentru care profesorul tău de matematică de la școală a fost atât de entuziasmat de transformarea graficelor liniare în ecuații: orice linie aleatorie poate fi considerată ca fiind ansamblul soluțiilor unei ecuații precum y = mx + c. Orice cerc este ansamblul soluțiilor la (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Acum, dacă doriți să vedeți unde o anumită linie intersectează un anumit cerc, puteți fie să desenați geometric formele, fie să comparați ecuațiile din punct de vedere algebric. Ambele metode vor da același răspuns.

Matematicienii nu s-au mulțumit să se oprească la linii și au descoperit rapid că ecuații mai complicate, sau chiar seturi de ecuații care lucrează toate împreună, pot produce forme uimitoare în tot felul de dimensiuni. Unele puteau fi încă vizualizate ca forme – cum ar fi ecuațiile al căror set de soluții trasează suprafața unui inel, cunoscut sub numele de tor – dar multe dintre ele erau dincolo de ceea ce ne putem imagina și erau accesibile doar prin algebră și o imaginație foarte întinsă.

Cum matematicienii aveau acum de-a face cu obiecte dincolo de ceea ce putem vizualiza, aceste „forme” au devenit cunoscute în general sub numele de „cicluri algebrice”. Dacă un ciclu algebric era o formă plăcută, netedă și, în general, bine comportată, își câștiga și titlul de „manifold”.

Două lucruri s-au întâmplat apoi deodată. Primul: un grup de matematicieni cunoscuți sub numele de topologi au început să analizeze ce se întâmplă dacă desenezi forme pe o manifold. V-ați putea imagina că aveți o gogoașă inelară și că desenați un triunghi chiar în jurul vârfului (vezi imaginea de mai sus). Sau poate un pentagon.

De fapt, aveți nevoie de ambele? Dacă forma ar putea să alunece și să se întindă, atunci triunghiul ar putea fi distorsionat în pentagon. Topologii au grupat toate formele care ar putea fi distorsionate din una în alta (fără a fi ridicate de pe suprafața manifoldului) într-o „clasă de omologie” – un fel de formă generalizată. Toate formele care trec prin „gaura” gogoașei ar forma o clasă homologică diferită.

În al doilea rând, un grup de matematicieni care s-au autointitulat algebrici au început să ia seturi de ecuații care produceau deja manifolduri frumos ordonate și să adauge mai multe ecuații. Aceste ecuații suplimentare au produs noi cicluri algebrice în cadrul acelor manifolduri.

Nu a trecut mult timp până când oamenii și-au dat seama că topologii care desenau clase omologice pe manifolduri și algebrii care încorporau cicluri algebrice în manifolduri erau de fapt același lucru. A fost o repetare a momentului în care formele geometrice au întâlnit pentru prima dată ecuațiile algebrice. Dificultatea a fost că nimeni nu știa cu siguranță când o clasă de omologie pe un manifold conținea cel puțin o formă care era de asemenea descriptibilă ca un ciclu algebric.

Pentru a rezuma, un manifold este o formă ciudată (posibil de dimensiuni mari) care poate fi descrisă printr-un set de ecuații. Adăugând ecuații suplimentare, veți obține forme mai mici, cunoscute sub numele de cicluri algebrice, în cadrul acelei manifolduri.

Problema este următoarea: dacă ați desena orice formă aleatorie – posibil neplăcută – pe un manifold, cum ați ști dacă aceasta poate fi întinsă într-o formă diferită care poate fi descrisă ca un ciclu algebric frumos?

Mateticianul scoțian William Hodge a avut o idee grozavă despre cum ați putea spune ce clase de omologie pe orice manifold dat sunt echivalente cu un ciclu algebric. Numai că nu a putut să o demonstreze. Dacă puteți dovedi că metoda lui funcționează întotdeauna, atunci premiul de 1 milion de dolari este al vostru.

Problema mea este că până acum am vorbit în termeni de coordonate numerice obișnuite și dimensiuni spațiale normale. Conjectura lui Hodge folosește de fapt ceea ce se numește coordonate numerice complexe și dimensiuni spațiale complexe. Așadar, oricât de mult mi-ar plăcea să vă descriu întreaga conjectură, acesta este exact punctul în care am promis că mă voi opri.

Matt Parker lucrează în cadrul departamentului de matematică de la Queen Mary, University of London, și poate fi găsit online la standupmaths.com
Pentru a afla mai multe despre conjectura Hodge, acest videoclip cu o prelegere a lui Dan Freed de la Universitatea Texas din Austin este foarte recomandat

• Share on Facebook
• Share on Twitter
• Share via Email
• Share on LinkedIn
• Share on Pinterest
• Share on WhatsApp
• Share on Messenger

.