Esta é uma breve introdução à teoria Galois. O nível deste artigo é necessariamente bastante alto comparado com alguns artigos da NRICH, porque a teoria Galois é um tópico muito difícil, normalmente só introduzido no último ano de um curso de matemática de graduação. Este artigo apenas descuida a superfície da teoria Galois e deve provavelmente ser acessível a um estudante de 17 ou 18 anos de idade com um forte interesse em matemática. Há uma breve e muito vaga visão geral de duas importantes aplicações da teoria de Galois na introdução abaixo. Se você quiser saber mais sobre a teoria de Galois o resto do artigo é mais profundo, mas também mais difícil.
As duas coisas mais importantes a saber para entender a parte mais profunda do artigo são números complexos e teoria de grupo. Se você ainda não se deparou com números complexos antes de poder ler Uma Introdução aos Números Complexos , que deve ser acessível a estudantes de 15 ou 16 anos de idade. Se você ainda não se deparou com a teoria do grupo, não se preocupe. Apresento abaixo a teoria de um grupo, embora possa ser melhor tentar encontrar um livro ou website que entre em mais detalhes.
1.1 Motivação
Teoria Galois é um assunto muito grande, e até que você esteja bastante imerso no estudo da matemática de uma forma que é incomum, a menos que você estude para uma graduação em matemática, pode parecer bastante inútil. No entanto, existem dois problemas que fornecem alguma motivação para estudar a teoria Galois – a existência de polinómios que não são solúveis por radicais, e alguns resultados sobre a geometria Euclidiana clássica, por exemplo, que você não pode trisseccionar um ângulo usando uma régua e bússola, e que certos polígonos regulares não podem ser construídos usando uma régua e bússola.
Definição Quando podemos encontrar as soluções para um polinómio com coeficientes racionais utilizando apenas números racionais e as operações de adição, subtracção, divisão, multiplicação e encontrar a enésima raiz, dizemos que $p(x)$ é solúvel pelos radicais.
1.2 História
Então, porque é que a teoria Galois se chama teoria Galois? A resposta é que ela tem o nome de um matemático francês Evariste Galois (1811-1832) que fez um trabalho muito importante nesta área. Ele teve uma vida muito dramática e difícil, falhando em conseguir que muito do seu trabalho fosse reconhecido devido à sua grande dificuldade em se expressar claramente. Por exemplo, ele não foi admitido na principal universidade de Paris, a Ecole Polytechnique , e teve que se contentar com a Ecole Normale . Ele também encontrou dificuldades devido às suas simpatias políticas, ele era republicano. Isto levou-o a ser expulso da Ecole Normale quando escreveu uma carta a um jornal criticando o diretor da escola. Juntou-se a um ramo republicano da milícia e depois foi preso (duas vezes) por causa da sua filiação. A segunda vez na prisão apaixonou-se pela filha do médico da prisão, Stephanie-Felice du Motel e depois de libertado morreu num duelo com Perscheux d’Herbinville . As razões para o duelo não são muito claras, mas parece provável que tenha tido algo a ver com Stephanie. A sua morte começou tumultos e comícios republicanos que duraram vários dias.
Embora Galois seja frequentemente creditado com a teoria de inventar grupos e teoria Galois, parece que um matemático italiano Paolo Ruffini (1765-1822) pode ter surgido com muitas das ideias primeiro. Infelizmente as suas ideias não foram levadas a sério pelo resto da comunidade matemática na altura. Há alguns links no final deste documento para qualquer pessoa interessada em saber mais sobre a história da teoria dos grupos e da teoria Galois.
1.3 Overview
A forma como o resultado sobre solubilidade por radicais acima é provado (usando a teoria Galois) é provar um resultado sobre a coleção de simetrias entre as raízes de um polinômio dado que as raízes são construídas usando apenas as operações especiais acima. (Acontece que a coleção de simetrias deve formar o que se chama um grupo solúvel. Mais sobre isto perto do final deste artigo). Então você encontra um polinômio para o qual as simetrias das raízes não têm esta propriedade especial, então você sabe que as raízes não poderiam ser construídas a partir das operações especiais.
O assunto do resto deste artigo é tornar preciso o que queremos dizer com uma simetria das raízes e sobre a estrutura da colecção destas simetrias.
1.4 Notação
1.5 Conselhos de leitura deste artigo
O resto deste artigo é bastante difícil. Um grande número de novas idéias são introduzidas e usadas repetidamente, e há muitas palavras desconhecidas. No final do artigo estarei usando frases como $Q$ é uma extensão de campo radical de $Q$ porque pode ser construída usando apenas extensões de campo ciclotômico em cada estágio. Não fique muito adiado por esta linguagem aparentemente alienígena, cada palavra é explicada à medida que é introduzida. A melhor estratégia para lê-la é ir devagar e ter certeza de que você entende exatamente o que cada palavra significa antes de ir para a próxima seção, porque essa palavra será usada de novo e de novo, e se você não entender bem, então tudo vai ficar cada vez mais confuso à medida que você lê. No entanto, se estiver a ler esta linha pode simplesmente clicar em qualquer uma das palavras sublinhadas e a definição original irá aparecer numa pequena janela.
2 Grupos e Campos
Neste ponto, pode querer verificar o que seguiu até agora. Veja se você pode provar que $S_n$ é um grupo e que ele tem elementos $n!$. Se está satisfeito com a ideia de conjuntos e funções então pode provar que $S_X$ é um grupo mesmo que $X$ seja um conjunto infinito.
2.2 Campos
2.3 Extensões de campo
Definição (Extensão de Campo):
Uma extensão de campo $F$ é um campo $K$ contendo $F$ (escrevemos uma extensão de campo como $F\subseteq K$ ou $K/F$). Por exemplo, os números reais são uma extensão de campo dos números racionais, porque os reais são um campo e todo racional é também um número real.
2.4 Splitting Fields
Here’s onde a teoria Galois começa.
Outro exemplo é que o campo divisor de $p(x)=x^4-5x^2+6$ é $Q$. Você pode ver porque?
3 Automorfismos e Grupos Galois
Você pode verificar que para a função $f$ acima realmente satisfaz todas as condições.
A idéia de um automorfismo de campo é que é apenas uma forma de reetiquetagem dos elementos do campo sem alterar a estrutura de forma alguma. Em outras palavras, podemos substituir o símbolo $\sqrt{2}$ pelo símbolo $-\sqrt{2}$, fazer todos os nossos cálculos e depois mudar o símbolo $-\sqrt{2}$ de volta para $\sqrt{2}$ e obtemos a resposta certa. Autómorfismos de campo são a forma correcta de expressar esta ideia,porque as condições que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ preservam a multiplicação, adição e assim por diante.
3.2 O Grupo Galois
4 Solubilidade por Radicals
Para ir mais longe na teoria Galois seria, infelizmente, demasiado complicado. Vou esboçar o resto da prova da existência de polinómios que não são solúveis por radicais.
5 Ângulos de trissecção
Como mencionei acima, você pode usar a teoria Galois para mostrar que é impossível trissectar todos os ângulos usando métodos de régua e bússola. Eu vou delinear uma prova de que você não pode construir um ângulo de $20^{\circ}$ usando régua e bússola (e assim você não pode trissectar um ângulo de $60^{\\circ}$).
Não é óbvio que qualquer número construível deve estar numa extensão de campo desta forma, mas podemos ver porque é que dado segmentos de linha de comprimento $x$, $y$, é possível construir outros segmentos de linha de comprimento $x+y$, $x y$ e $1/x$ usando construções geométricas. Além disso, você pode construir um segmento de linha de comprimento $\sqrt{x}$ usando apenas construções geométricas. Na verdade, você pode também mostrar que estas são as únicas coisas que você pode fazer com construções geométricas. (Se você quiser tentar, a maneira de provar isso é usar o fato de que tudo que você pode fazer com réguas e bússolas não marcadas é encontrar a intersecção entre duas linhas, o que só lhe dá operações aritméticas, encontrar a intersecção entre uma linha e uma circunferência, o que lhe dá raízes quadradas, e intersecções entre círculos e círculos, o que lhe dá raízes quadradas). Consegue ver porque é que isto significa que um número numa extensão de campo construível (como definido acima) pode ser construído usando apenas uma régua e bússola não marcadas, e que apenas números em extensões de campo construíveis podem ser feitos desta forma?
Next, você mostra que se tiver um polinómio cúbico $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$ cujas raízes não são números racionais então as raízes não são construíveis? Isto não é muito difícil de provar mas requer algum conhecimento para além do que estou a assumir para este artigo.
Aqui está a parte inteligente. Suponha que você poderia construir um ângulo de $20^{\circ}$, então o número $20^{\circ}$ seria construível (você pode simplesmente deixar cair uma perpendicular de um ponto em uma linha a $20^{\circ}$ para a horizontal, distância de $1$ da origem). No entanto, você pode mostrar que $\alpha=\cos(20^{\circ})$ é uma raiz da equação $8x^3-6x-1=0$ (expandindo $\cos(60^{\circ})$ em termos de $\cos(20^{\circ})$ usando a fórmula de adição). É fácil mostrar que isto não tem raízes racionais, e por isso as raízes não são construíveis. Isto significa que não poderíamos ter construído um ângulo de $20^{\i1}{\i1}$, porque assim poderíamos construir $20^{\i}$, o que é impossível. Então um ângulo de $60^{\circ}$ não pode ser trisseccionado.
Você pode usar métodos como este para provar outros resultados sobre quais formas podem ou não ser construídas e assim por diante.
6 Leitura Adicional