Curador: Gerard ′t Hooft

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Figure 2: diagramas de Feynman para emissão de fótons de Yang-Mills. Acima: electrões transformando-se em en electron-neutrino; abaixo: neutrões transformando-se em prótons.

onde a matriz (U=esquerda(a) b=atop c=quadd}direita) pode conter quatro números complexos arbitrários, já que longas é unitário (U=,U^dagger=I=)), e normalmente, o determinante de U=1 é restrito a 1. Como estas equações se assemelham às rotações que se pode fazer no espaço comum, para descrever o giro de uma partícula, a simetria em questão aqui foi chamada de isospin.

Em 1954, C.N. Yang e R.L. Mills publicaram uma idéia muito importante. Poder-se-ia modificar as equações de tal forma que estas isospinações pudessem ser consideradas como rotações de bitola local? Isto significaria que, ao contrário do caso que era conhecido, as matrizes deveriam poder depender do espaço e do tempo, tal como o gerador de bitolas (Lambda x,t) inelectromagnetismo. Yang e Mills também foram inspirados pela observação de que a teoria da gravidade de Einstein, Relatividade Geral, também permite transformações muito semelhantes às transformações locais: a substituição do quadro de coordenadas por outras coordenadas de forma arbitrária, dependente do espaço-tempo.

Para escrever equações de campo para prótons e nêutrons, são necessárias as derivações destes campos. A forma como estas derivadas se transformam sob uma transformação local implica que haverá termos que contenham os gradientes das matrizes (U).\Para tornar a teoria de calibre-invariante, esses gradientes teriam que ser cancelados, e para isso, Yang e Mills substituíram as derivadas por covariantderivativas (vec D=vecnabla -igec A(vec x,t),aswas foi feito em eletromagnetismo, veja Equação (11). Aqui, no entanto, os campos tiveram de ser valorizados como matrizes, tal como as matrizes da isospina:

Desde que as matrizes contêm quatro coeficientes com uma restrição (o determinante tem de ser 1), um termina com um conjunto de três novos campos vectoriais (existem 3 vectores reais independentes na matriz (15)). À primeira vista, eles parecem ser os campos de uma partícula vectorial com isospina um. Na prática, isto deve corresponder a toparticles com uma unidade de spin (isto é, a partícula gira sobre itsaxis), e sua carga elétrica pode ser neutra ou uma ou menos uma unidade. A teoria de Yang-Mills prevê e descreve um novo tipo de partículas com spin um que transmite uma força não muito diferente da força eletromagnética.

Os campos que são equivalentes aos campos elétricos e magnéticos de Maxwell são obtidos considerando o comutador de derivados bi-ovariantes:

>=D_mu D_\u D_\u D_\u D_\u=-ig(\u A_\u A_\u A_\u A_\u A_\u A_\u) = -igF_{\u}nu

Desde F_{\u}=-F_{\u},{\u},} este tensor tem 6 componentes independentes, três formando um campo vectorial eléctrico, e três um campo magnético. Cada um destes componentes é também uma matriz. O comutador, é um novo, não linear, o que torna as equações Yang-Mills muito mais complicadas que o sistema Maxwell.

Em outros aspectos, as partículas Yang-Mills, sendo os quanta energia dos campos Yang-Mills, são semelhantes aos fótons, os quanta oflight. As partículas de Yang-Mills também não carregam massa intrínseca, e viajam com a velocidade da luz. De fato, estas características foram no início razões para descartar esta teoria, porque partículas sem massa deste tipo deveriam ter sido detectadas há muito tempo, enquanto que elas eram manifestamente ausentes.

3. O mecanismo Brout-Englert-Higgs

A teoria foi revivida quando foi combinada com a quebra espontânea da simetria local do calibre, também conhecida como mecanismoBrout-Englert-Higgs. Considere uma partícula escalar (sem spinless)descrita por um campo {\phi(vec x,t)}. Este campo é assumido como um campo vetorial, no sentido de que ele passa por uma somerotação quando uma transformação de bitola é realizada. Na prática isto significa que a partícula transporta um ou vários tipos de cargas que a tornam sensível à força Yang-Mills, e muitas vezes tem vários componentes, o que significa que existem várias espécies desta partícula, que devem obedecer às estatísticas de Bose-Einstein, o que significa que pode sofrer condensação de Bose-Einstein. Interms of its field \(\phi) this means the following:

Figure 3: Spontaneous symmetry breaking. Um objeto residente em um potencial rotacionalmente simétrico encontra uma posição estável e assimétrica. No caso BEH, é o campo Higgs, ((\phi_1, \phi_2)}) que encontra um valor assimétrico ((F,\,0)}

No vácuo, o campo (phi_1, \phi_2)} toma um valor não-vanescente.

Este é geralmente escrito como

Após uma transformação local de bitola, isto pareceria

Onde \( U(\vec x,t) \) é um campo matricial representando a transformação local de bitola.

Diz-se muitas vezes que, portanto, o vácuo não é invariável, mas, estritamente falando, isto não é correcto. A situação descrita pela Equação (18) é o mesmo vácuo que (17); só é descrita de forma diferente. No entanto, esta propriedade do vácuo tem conseqüências importantes. Devido ao fato de que o campo rotacionado agora descreve a mesma situação que o valor anterior, não há nenhuma partícula física diferente associada ao campo rotacionado. Apenas o comprimento do vetor (phi) tem significado físico. Portanto, apenas o comprimento do vetor (phi) está associado a um tipo de partícula, que deve ser neutra para as forças Yang-Mills. Esta partícula é agora chamada de partícula Higgs.

Como o campo Higgs é uma fonte constante para a força do campo Yang-Mills, as equações do campo Yang-Mills são modificadas por ele. Devido ao campo Higgs, os “fótons” Yang-Mills descritos pelo Yang-Millsfield (A_\mu(vec x,t)}) recebem uma massa. Isto também pode ser explicitado da seguinte forma. Os fotões sem massa só podem ter dois helicópteros, ou seja, só podem rodar em duas direcções. Isto está relacionado com o facto da luz poder ser polarizada em exactamente dois sentidos. Os fótons massivos (partículas com massa não-vanqueável e com uma unidade de spin), podem sempre rodar em três direções. Este terceiro modo de rotação é agora proporcionado pelo campo Higgs, o qual elimina vários dos seus componentes físicos. O número total de componentes físicos do campo permanece o mesmo antes e depois do mecanismo de Brout-Englert-Higgsmechanism. Uma outra consequência deste efeito sobre o Yang-Millsfield é que a força transmitida pelos fotões maciços é de cinzas de gama um (sendo o alcance da força inversamente proporcional à massa do fotão).

Figure 4: Os seis sabores e três cores dos quarks e suas antipartículas. As setas mostram as transições fracas e fortes

As interacções fracas podem agora ser descritas com sucesso por uma teoria de Yang-Mills. O conjunto de transformações locais de medida do grupo matemático (SU(2)} vezes U(1){\i} Este grupo gera 4 espécies de fótons (3 para {(SU(2)}) e 1 para {(U(1)}). O mecanismo Brout-Englert-Higgs quebra este grupo de tal forma que um subgrupo da forma U(1)} permanece. Esta é a teoria eletromagnética, com apenas um fóton. Os outros três fótons se tornam massivos; eles são responsáveis pelas interações fracas, que na prática parecem ser fracas só porque estas forças têm um alcance muito curto. No que diz respeito ao eletromagnetismo, dois desses bósons vetoriais intermediários, (W^pm ,^) estão eletricamente carregados, e um terceiro, Z^0,^0,^) é eletricamente neutro. Quando a existência deste último foi derivada de argumentos teóricos de grupo, isto deu origem à previsão de uma forma até então desconhecida da interacção fraca: a interacção da corrente neutra. Esta teoria, que combina o eletromagnetismo e a força fraca em uma só, é chamada de teoria da fraqueza elétrica, e foi a primeira teoria totalmente renormalizável para a força fraca (ver Capítulo 5).

4. Cromodinâmica Quântica

Quando foi entendido que as interações fracas, juntamente com as eletromagnéticas, podem ser atribuídas a uma teoria de calibre Yang-Mills, foi feita a pergunta como abordar a força forte, uma força muito forte com relativamente curto alcance de ação, que controla o comportamento das partículas hadrônicas, como os núcleons e os campeões. Compreendeu-se desde 1964 que estas partículas se comportam se construídas a partir de subunidades, chamadas quarks. Três variedades de quarks eram conhecidas (para cima, para baixo e estranhas), e mais três seriam descobertas mais tarde (charme, topo e fundo). Estes quarks têm a peculiar propriedade de se colarem em trigémeos, ou um quark sticks com um anti-quark. No entanto, quando se aproximam uns dos outros de uma forma muito fechada, começam a comportar-se mais livremente como indivíduos.

Figure 5: diagramas de Feynman para emissão de gluões QCD. Os quarks mudam de cor, mas seu sabor permanece o mesmo: u permanece u e d permanece d.

Estas características agora entendemos como, novamente, sendo devido a uma teoria de Yang-Millsgauge. Aqui, temos o grupo matemático \(SU(3)\)como grupo de bitola local, enquanto agora a simetria não é afetada por nenhum mecanismo Brout-Englert-Higgs. Devido à natureza não linear do campo Yang-Mills, ele se auto-interage, o que força os campos a se tocarem em padrões bem diferentes do caso eletromagnético: linhas vortex são formadas, que formam laços inquebráveis entre quarks. Em distâncias próximas, a força dos Yang-Mills torna-se fraca, e esta é uma característica que pode ser derivada de uma forma elementar utilizando expansões de perturbação, mas é uma propriedade do sistema quantizedYang-Mills que até então se pensava ser impossível para qualquer teoria de campo quântico, chamada liberdade assimptótica. A descoberta desta característica tem uma história complicada.

Figure 6: Os campos cromodinâmicos quânticos formam vórtices que mantêm os quarks e antiquarks (esquerda) ou sistemas de três quadrados (direita) permanentemente confinados.

\(SU(3)\) implica que cada espécie de quark vem em três tipos, referidos como cor: são “vermelhos”, “verdes” ou “azuis”. O campo de um quark é portanto um vector de 3 componentes num espaço ‘cor’ interno. Os próprios campos Yang-Mills formam 3 por 3 matrizes, com uma restrição (uma vez que o determinante das matrizes de medição Yang-Mills deve ser mantido igual a uma). Portanto, o campo Yang-Mills tem 8 partículas de fotões coloridos, calledgluons. Os antiquarks carregam as cores conjugadas (“cyan”, “magenta” ou “yellow”). A teoria é agora chamada de Cromodinâmica Quântica (QCD). É também uma teoria renormalizável.

Os gluões efectivamente mantêm os quarks juntos de tal forma que as suas cores se somam a um total que é neutro (“branco” ou uma “tonalidade de cinza”). É por isso que ou três quarks ou um quark e um anti-quark podem se sentar juntos para formar uma partícula fisicamente observável (um hadron). Esta propriedade da teoria é chamada quark quarkermanent confinamento permanente. Devido à forte não-linearidade dos campos, a quark confinamento é de fato bastante difícil, enquanto a propriedade da liberdade assimptótica pode ser demonstrada de forma indexada. De fato, uma demonstração matematicamente hermética do confinamento, com o fenômeno associado de uma brecha de massa na teoria (a ausência de objetos estritamente hadrónicos sem massa) ainda não foi dada, e é o assunto de um, emitido pelo Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts.

5. O Lagrangiano

Não se pode escolher todas as equações de campo à vontade. Isto implica que existe um princípio de ação (ação = reação), e este princípio é expresso de forma mais convincente ao escrever o Lagrangiano para a teoria. O Lagrangiano (mais precisamente, a densidade de Lagrange) (“Lagrangian”) é uma expressão dos campos do sistema. Para um campo escalar real é

e para os campos de Maxwell é

> onde a soma é a soma covariante de Lorentz sobre os índices de Lorentz.\As equações de campo podem ser todas derivadas desta expressão ao exigir que a integral de ação,

onde a soma é a soma dos Lagrangianos de todos os campos do sistema, seja estacionária sob todas as infinitesimais variações destes campos. Isto é chamado o princípio de Euler-Lagrange,e as equações são as equações de Euler-Lagrange.

Para as teorias gauge isto generaliza diretamente: escreve-se

usando a expressão (16) para os campos gauge \(F_{\u}nu},} e adiciona-se todos os termos associados aos outros campos que são introduzidos. Todas as simetrias da teoria são as simetrias do Lagrangiano, e a dimensionalidade de todas as forças de acoplamento podem ser facilmente lidas do Lagrangiano também, o que é importante para o procedimento de renormalização (ver próximo capítulo).

6. Renormalização e Anomalias

De acordo com as leis da mecânica quântica, a energia em um campo consiste de pacotes de energia, e esses pacotes de energia são de fato as partículas associadas ao campo. A mecânica quântica dá prescrições extremamente precisas sobre como essas partículas interagem, assim que as equações de campo são conhecidas e podem ser dadas na forma de um Lagrangiano. A teoria é então chamada de teoria quântica de campo (QFT), e itexplains não apenas como as forças são transmitidas pela troca de partículas, mas também afirma que as trocas múltiplas devem ocorrer. Em muitas teorias mais antigas, estas trocas semples deram origem a dificuldades: os seus efeitos parecem não ter limites, ou infinitos. Numa teoria de bitola, no entanto, a estrutura da pequena distância é prescrita com muita precisão pela exigência de variação de bitola. Em tal teoria pode-se combinar os efeitos infinitos das múltiplas trocas com redefinições de massas e cargas das partículas envolvidas. Este procedimento é a calledrenormalização. Em 3 dimensões espaciais e 1 dimensão temporal, a maioria das aferições são renormalizáveis. Isto permite calcular com alta precisão os efeitos das trocas múltiplas de partículas, permitindo assim uma comparação detalhada com dados experimentais.

Figure 7: Diagramas de Feynman contendo loops, devido às trocas múltiplas de partículas. Os loops frequentemente geram expressões infinitas.

Renormalização requer que as massas e as forças de acoplamento das partículas sejam definidas com muito cuidado. Se todos os parâmetros de acoplamento de uma teoria recebem uma dimensão de massa que é zero ou positiva, o número de expressões divergentes permanece sob controle. Normalmente, exigir que a teoria permaneça invariante durante todo o procedimento de renormalização não deixa ambigüidade para as definições. No entanto, não é obvio que existem definições inequívocas e invariantes de bitola, uma vez que a invariância de bitola tem de se manter para todas as interacções, enquanto que apenas algumas expressões infinitas podem ser substituídas por finitas.

A prova que mostrou como e porque podem ser obtidas expressões renormalizadas inequívocas, pode ser obtida de forma mais elegante se considerarmos que as teorias de bitola podem ser formuladas em qualquer número de dimensões espaço-tempo. Foi mesmo possível definir todos os Feynmandiagramas sem ambiguidade para teorias em espaços onde as dimensões são aninfinitesimais (3-epsilon). Tomar o limite do “righttarrow0” requer a subtracção dos pólos da forma (C_n/epsilon^n) do original, massa “nua” e parâmetros de acoplamento. O resultado é um conjunto de invariantexpressões únicas, finitas e de calibre. Na prática, verificou-se que este procedimento, chamado regularização dimensional e renormalização também é conveniente para a realização de cálculos tecnicamente complicados de diagramas de loopop.

Figure 8: O diagrama onde uma partícula fermiônica forma um triângulo fechado, acoplado a três partículas bitola, é a principal fonte de anomalias.

No entanto, há um caso especial onde a extensão para dimensões diferentes das dimensões canônicas é impossível. Isto é quando as partículasfermiônicas exibem simetria quiral. A simetria quiral é a assimetria que distingue as partículas rotativas esquerdas das direitas e desempenha um papel crucial no Modelo Standard. A simetria quiral só é possível se o espaço for 3 dimensões, e os sodoes não permitem a renormalização dimensional. Na verdade, às vezes a simetria quiral não pode ser preservada ao renormalizar a teoria. Ocorre uma anomalia, chamada anomalia quiral. Foi descoberta pela primeira vez quando um cálculo da amplitude de decaimento do modelo padrão deu respostas que não seguiam o padrão de simetria esperado.

Desde que as simetrias de medida do modelo padrão distinguem partículas rotativas esquerdas das direitas (em particular, apenas neutrinos rotativos esquerdos são produzidos numa interacção fraca), as anomalias eram uma grande preocupação. Acontece, porém, que as amplitudes alanómalas que comprometeriam a invariância do calibre e a autoconsistência das nossas equações, todas se anulam. Isto está relacionado com o facto de certas extensões “grand unified” do ModeloStandard serem baseadas em grupos de medida livres de anomalias (ver Capítulo7).

A anomalia tem uma implicação física directa. Uma configuração de campo topologicamente torcida chamada instanton (porque representa um evento em um dado instante no tempo), representa exatamente a configuração do campo de medida onde a anomalia é máxima. Provoca a aviolação da conservação de algumas das cargas do gabarito. Quando há uma anomalia, pelo menos uma das cargas envolvidas não pode ser uma carga calibre, mas deve ser uma carga à qual nenhum campo calibre está acoplado, como a carga bariátrica. De fato, na teoria do electroweak, os instantâneos desencadeiam a violação das leis de conservação dos bariões. Acredita-se agora que isto pode explicar o desequilíbrio entre matéria e antimatéria que deve ter surgido durante as fases iniciais do Universo.

7. Modelo padrão

Parte da força fraca, da força eletromagnética e da força forte, há a força gravitacional agindo sobre as partículas elementares. Nenhuma outra força elementar é conhecida. Ao nível das partículas individuais, a gravidade é tão fraca que pode ser ignorada nos casos mais ínfimos. Suponhamos agora que tomamos o SU(2)timesU(1){\i} O sistema Yang-Mills, juntamente com o campo Higgs, descrevem o electromagnetismo e a força fraca, e acrescentam a isso o A teoria de Yang-Mills para a força forte, e nós incluímos todos os campos elementares conhecidos, sendo os quarks e os leptões, com as suas regras de transformação apropriadas sob a transformação agauge; suponhamos que acrescentamos a isto todas as formas possíveis que estes campos se podem misturar, uma característica observada experimentalmente, que pode ser contabilizada como um tipo básico de auto-interacção dos campos. Então obtemos o que se chama Modelo Padrão. É uma teoria de greatgauge que literalmente representa todos os nossos presentes compreendendo as partículas subatômicas e suas interações.

O Modelo Standard deve sua força ao fato de que érenormalizável. Ele tem sido objeto de numerosas experiências e observações. Ele tem resistido a todos estes testes de forma notável. Uma modificação importante tornou-se inevitável por volta do início dos anos 90: no setor leptônico, também os neutrinos carregam uma pequena quantidade de massa, e seus campos se misturam. Isto não era totalmente esperado, mas experiências com muito sucesso com neutrinos (em particular a experiência japonesa Kamiokande) tinham agora tornado claro que estes efeitos estão realmente presentes. Eles realmente aplicaram um reforço adicional do Modelo Padrão.

Um ingrediente ainda não foi confirmado: a partícula Higgs. A observação deste objeto é esperada num futuro próximo, notavelmente pelo Grande Colisor de Hadron no CERN, Genebra. As versões mais simples do modelo Standard requerem apenas uma única partícula Higgs, electricamente neutra, mas o ‘sector Higgs’ poderia ser mais complicado: o Higgs poderia ser muito mais pesado do que se esperava actualmente, ou então haveria mais do que uma variedade, em cujo caso também se encontrariam partículas de cicatriz electrostática.

O Modelo Standard não é perfeito do ponto de vista matemático.Com energias extremamente elevadas (energias muito mais elevadas do que as que podem ser batidas actualmente nos aceleradores de partículas), a teoria torna-se desnatural. Na prática, isto significa que não acreditamos mais que tudo vai acontecer exatamente como prescrito na teoria; novos fenômenos são de se esperar. O cenário mais popular é a emergência de uma nova simetria chamada super-simetria, uma simetria de bósons com fermions (partículas como elétrons e quadrados, que requerem campos Dirac para sua descrição).

8. Grand Unified Theories

É natural suspeitar que as forças eletromagnéticas e as forças fortes também devem ser conectadas por rotações de bitola. Isto implicaria que todas as forças entre as partículas subatômicas estão de fato relacionadas por transformações de calibre. Não há evidência direta para isto, mas há várias circunstâncias que parecem apontar para esta direção. Na presente versão do Modelo Padrão, a SU(3)}(SU(3)}(SU) Os campos de Yang-Mills, descrevendo a força forte, na verdade, expõem forças de acoplamento muito grandes, enquanto que o setor elétrico (e parte do setor fraco), descrevendo o setor elétrico, tem força de acoplamento atiny. Pode-se agora usar a matemática da ofrenormalização, em particular o chamado grupo de renormalização, para calcular as forças efetivas dessas forças atmuito mais altas energias. Descobre-se que as forças diminuem de força, devido à liberdade assimptótica, mas que a força de acoplamento aumenta. A força varia mais lentamente. Em energias extremamente altas, correspondentes a escalas de distância ultra curta, cerca de 10^ (32) cm, as três forças de acoplamento parecem se aproximar, como se fosse o lugar onde as forças se unem.

Foi descoberto que as forças U(2)^(1)^) e SU(3)^) se encaixam muito bem em um grupo chamado SU(5)^ .^) Eles de facto formam um subgrupo de… Pode-se então presumir que um mecanismo de Brout-Englert-Higgsmechanism quebra esse grupo para um subgrupo de U(2){\i1}(1){\i1}vezes U(3){\i}. Obtém-se a chamada teoria do Grande Campo Unificado. Nesta teoria, supõe-se três gerações de oferendas, cada uma se transformando da mesma forma sob as transformações (matematicamente, elas formam uma representação de 10 mathbf e 5 mathbf).

A teoria SU(5)}, no entanto, prevê que a candeia de prótons, extremamente lenta, se transforma em leptões e piões. A decadência foi pesquisada, mas não encontrada. Também, neste modelo, não é fácil contabilizar a massa de neutrino e suas misturas. Uma teoria melhor foi encontrada onde a SU(5) é ampliada em SO(10) .\As representações do campo de neutrinos de Mathbf (10) e do campo de sobreposição de Mathbf (5), juntamente com um único campo de neutrinos de mão direita, combinam-se para uma representação de Mathbf (10) (uma para cada uma das três gerações).Este grande modelo unificado coloca os neutrinos no mesmo nível que os leptões carregados. Muitas vezes, ele é estendido para uma versão supersymmetric.

9. Observações finais

Any gauge theory é construída da seguinte forma. Primeiro, escolha o grupo de aferição. Este pode ser o produto directo de qualquer número de grupos de mentiras irreduzíveis e compactos, tanto da série SU(N),SO(N)} ou Sp(2N)},ou dos grupos excepcionais G_2,F_4,E_6,E_7,} ou E_8.\Em seguida, os campos choosefermionic (spin 1/2) e scalar (spin 0) formam representações deste grupo de bitola local. O helicóptero esquerdo e os componentes do helicóptero direito dos campos fermiônicos podem ser representações indiferentes, desde que as anomalias se anulem. Além do grupo de bitola local, podemos impor simetrias exatas e/ou aproximadas globais também. Finalmente, escolher termos de massa e interacções no Lagrangiano, descritos por parámetros de acoplamento livremente ajustáveis. Haverá apenas um número finito de tais parâmetros, desde que todas as interações sejam escolhidas para serem do tipo renormalizável (isto agora pode ser lido facilmente do Lagrangiano da teoria).

Existem infinitas maneiras de construir teorias de bitolas ao longo destas linhas. No entanto, parece que os modelos que são mais úteis para descrever as partículas elementares observadas hoje em dia, são os elementos relativamente simples, baseados em grupos e representações matemáticas bastante elementares. Podemos nos perguntar por que a Natureza parece ser tão simples, e se ela permanecerá assim quando novas partículas e interações forem descobertas. Conceitualmente, teorias mais elaboradas de bitolas serão benfeitas para descrever interações em energias que ainda não são possíveis nos aceleradores de partículas de hoje.

Os assuntos relacionados são Supersymmetry e Superstring theory. São ideias mais recentes sobre a estrutura de partículas e simetrias de partículas, onde a invariância do calibre também desempenha um papel muito basicrole.

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Ver também

Becchi-Rouet-Stora-Tyutin symmetry, Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble_mechanism, Gauge invariance, Slavnov-Taylor identities, Zinn-Justin equation

• http://www.phys.uu.nl/~thooft/